所谓三角级数就是指除常数项

Fourier级数所谓三角级数：就是指除常数项之外，每一项都是正弦函数和余弦函数的级数。具体来说，就是形如E/n兀,7•n兀、一、（acos——x+bsin——x）（1）n=0的函数级数，其中l,a”,b.都是给定的常数。这里介绍把一个已知函数表示成三角级数的问题。首先讨论1=兀情形。定理（三角函数系的正交性）如果m和n是非负整数，则卜sinmxsinnxdx=（。一兀［兀m=n。0卜sinmxcosnxdx=0—兀卜cosmxcosnxdx=］。一兀［兀m=n。0设f（x）是一个给定周期为2兀的周期函数，假定它已表成一三角级数的和，即（2）f(x)=号+工(acosnx+bsinnx)n（2）把(2)式两边从-n到n积分，可得a=L卜f(x)dx0兀-a=L卜f(x)dx0兀-兀以cosmx乘（2）式两端，再在区间［-兀，兀］上逐项积分，得到j”j”f(x)cosmxdx=nam—na=-卜f(x)cosmxdxmnrn—n同理，以sinmx乘（2）式两端，再在区间［-兀，兀］上逐项积分，得到卜f(x)sinmxdx=兀卜f(x)sinmxdx=兀b—兀'=1卜f(x)sinmxdx—n定义1设f（x）是在［-兀，兀］是可积的函数，令a=1jnf(x)conxdxnnn—n1jn=f(x)simxdx兀—n(n=0,1,2,…)(n=1,2,…)作三角级数:工(acosnx+bsinnx)（3）称为从/(x)导出的Fourier级数，或简称的/(x)的Fourier级数。而气,'〃称为/(x)的Fourier系数。Dirichlet收敛定理：设f(x)是以2兀为周期的周期函数。如果它满足条件：在区间［-兀,兀］上连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限多个极值点，则f(x)的Fourier级数收敛，并且(1)当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)；(2)当x是f(x)的间断点时，级数收敛于f(x—0)+f(x+0)正弦级数和余弦级数如果f(x)是［-兀，兀］上的偶函数，则它的Fourier级数不含有正弦项，而余弦项的系数(n=0,1,2,…)(4)a=—\nf(x(n=0,1,2,…)(4)如果f(x)是［-兀，兀］上的奇函数，则它的Fourier级数不含有余弦项，而正弦项的系数b=2b=2卜f(x)sinnxdx(n=1,2,…)(5)这样就可以将区间［0,兀］上的函数f(x)展开成正弦级数或是余弦级数。(1)设f(x)是［0,兀］上给定的函数，现将它展成正弦级数:定义函数f(=|f(x)xe[0,兀]1[-f(-x)xe[-兀,0]则f(x)是区间[-兀,兀]上的奇函数。于是在区间[0,兀]上有1f(x)=f(x)=芝bsinnxn=1b=—\Kf(x)sinnxdx(n=1,2,—)(2)将函数f(x)展成余弦级数定义函数f=|f(x)xe[0,兀]f2*—If(-x)xe[-K,0]则顷是区间［-兀,兀］上的偶函数。于是在区间［0,兀］上有

f(x)=f(x)=ao+工acosnx22nn=1(n=0,1,2,…)a=—\nf(x)cosnxdxn兀(n=0,1,2,…)设周期为2/的周期函数f(X满足收敛定理的条件，这里研究它的Fourier级数展开式。兀x作变量代换z=—,定义函数F(z)=f—z=f(x)则F(z)是周期为2兀的周期函数，且满足收敛定理的条件。将F(z)展成Fourier级数F(z)=%+工(acosnz+bsinnz)n兀x作变量代换z=—,定义函数F(z)=f—z=f(x)则F(z)是周期为2兀的周期函数，且满足收敛定理的条件。将F(z)展成Fourier级数F(z)=%+工(acosnz+bsinnz)n=1其中a=-!-卜F(z)conzdzn冗

儿一兀b=L卜F(z)sirnzdzn兀一兀兀x在以上各式中令z=—即有1/(n=0,1,2,…)(n=1,2,…)f(x)=&+工(acos^^x+bsin2n—nn=1n兀、Tx)(6)a=—flf(x)cos^^xdxb=—flf(x)sin^^xdx(n=0,1,2,…)(n=1,2,…)设f(x)是［0,l］上给定的函数，它可展成正弦级数f(x)=£bsin牛xn=1b=—\lf(x)sin号xdx(n=1,2,…)f(x)是还可展成［0,l］上的余弦级数f(x)=幻+工acosx2nln=1a=2卜f(x)cos^^xdxnl0l(n=0,1,2,…)F(&)=j+3f(x)e-t^xdx(7)一3我们将F皿)称为f⑴的Fourier变换，记作F(w)=F[f⑴]。由Fourier积分定理可知f(x)=—j3F(①)esd①(8)2兀-3f(x)称为F(°)的Fourier逆变换，记为f(x)=F-1[F(w)]。F0)称为f(x)的像函数。f⑴称为F(w)的象原函数。(7)式右端的积分运算，叫做取f(x)的Fourier变换，(8)式右端的积分运算，叫做取F(w)的Fourier逆变换。主要性质1、线性性质：设F(w)=F[f(x)]，F(w)=F[f(x)]，cc是两个常数。则有112212F[cf(x)+cf(x)]=cF[f(x)]+cF[f(x)]112211222、微分性质：若当|x|T+3时，f(x)—0，则有F[f'(x)]=iwF[f(x)]证明：F[f'(x)]=j+3f'(x)e-iwxdx-3=f(x)e-iwx+3+iwj+3f(x)e-iwxdx-3-3=iwF[f(x)]在这个证明过程中利用了分部积分公式。这说明一个函数导数的Fourier变换等于这个函数的Fourier变换乘以因子iw。推论：若limf(k)(x)=0，k=0,1,2,,n-1，则有xIt+3F[f(n)(x)]=(iw)nF[f(x)]3、卷积性质卷积定义：若已知函数f(x),f(x)，则积分j+3f(s)f(x-s)ds称为函数f(x)和12-3121f(x)的卷积，记为f(x)*f(x)。显然f(x)*f(x)=f(x)*f(x)，即卷积满足交换2121221

率。卷积性质：设F10)=F[f1(x)],秘)=F[f2(x)]，则有TOC\o"1-5"\h\zF[f(x)*f(x)]=F[①]-F[①]

1212F-i[F[o]-F[o]]=f(x)*f(x)1212证明：由Fourier变换的定义可有F[f(x)*f(x)]=f+8[f(x)*f(x)]e-ioxdx12-8