建筑工程之结构力学讲义10

矩阵位移法第11章1矩阵代数复习1、矩阵定义一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵的元素排列为m行和n列，称为mn

阶矩阵。A=aaaaaaaaannmmmn111212122212LLMOMLéëêêêêêùûúúúúú2、方阵一个具有相同的行数和列数的矩阵，即m=n时，称为n阶方阵。3、行矩阵和列矩阵一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：A=[]aaaan1112131···由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：A=aaam11211┇éëêêêêêêùûúúúúúú24、纯量仅由一个单独的元素所组成的11阶矩阵称为纯量。5、矩阵乘法两个规则：（1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即ABCplmplnmn´´´==当时才能相乘AB=aaaabb111221221121éëêùûúéëêùûú共形2×22×1BA=bbaaaa112111122122éëêùûúéëêùûú非共形

2×12×2（2）不具有交换律，即

AB¹BA36、转置矩阵将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：A=aaaaaa111221223132éëêêêùûúúú其转置矩阵为AT=éëêùûúaaaaaa112131122232当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置矩阵之乘积。若A=BCD则AT=DTCTBT7、零矩阵元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。若AB=0，但不一定A=0或B=0。4任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即AI=AIA=A510、逆矩阵在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，

除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若AB=C则B=A-1C此处A-1称为矩阵A的逆矩阵。一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：AA-1=

A-1A=I矩阵求逆时必须满足两个条件：（1）矩阵是一个方阵。（2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩阵称为奇异矩阵）。11、正交矩阵若一方阵A每一行（列）的各个元素平方之和等于1，而所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正交矩阵，则A=cossinsincosaaaa-éëêùûú正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即A-1=AT6§11-1概述

矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵代数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。一、矩阵位移法的基本思路

矩阵位移法又可以称为杆件结构的有限元法；矩阵位移法的两个基本步骤是（1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析，任务意义单元分析建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵用矩阵形式表示杆件的转角位移方程整体分析由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整体刚度矩阵用矩阵形式表示位移法基本方程7指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件两端各有三个位移分量，这是平面结构杆件单元的一般情况。

符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的座标与杆轴重合；12eEAIl(a)图(b)表示的杆端位移均为正方向。单元编号杆端编号局部座标12(b)杆端位移编号12杆端力编号(c)二、杆端位移、杆端力的正负号规定一般单元：81212（1）单元杆端位移向量（2）单元杆端力向量凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。9

现在讨论单元刚度方程。单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力时的一组方程，可以用“”表示，由位移求力称为正问题。在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意指定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。e12eeeeee我们忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。§11-2单元刚度矩阵(局部座标系)进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。一、一般单元10eeeeeee分别推导轴轴向变形和和弯曲变形形的刚度方方程。首先，由两两个杆端轴轴向位移可推算出相相应的杆端端轴向力eeeee12其次，由杆端横向位移可以用角变变位移方程程推导出相相应的杆端端横向力eeee11eee将上面六个个方程合并并，写成矩矩阵形式：：12EAl6EIl26EIl2EAl12EIl312EIl34EIl2EIl上面的式子子可以用矩矩阵符号记记为eeee这就是局部部座标系中中的单元刚刚度方程。。e可求单元杆杆端力ee=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0000006EIl206EIl20-EAl-6EIl2-6EIl2EAl-12EIl312EIl32EIl4EIl000000-6EIl206EIl20只与杆件本身身性质有关而而与外荷载无无关通过这个式子子由单元杆端端位移局部座标系的的单元刚度矩矩阵13二、单元刚度度矩阵的性质质（1）单元刚刚度系数的意意义e—代表单元杆端端第j个位移分量等等于1时所引引起的第i个杆端力分量量。例如代表单元杆端端第2个位移分量时时所引起的第第5个杆端端力分分量的的数数值。。（2））单元元刚度度矩阵阵是是对对称矩矩阵，，e即。（3））一般般单元元的刚刚度矩矩阵是是奇异异矩阵阵；e从数学上可以证明一般单元的刚度矩阵e的行列式e=0因此它它的逆逆矩阵阵不存存在从力学学上的的理解解是，，根据据单元元刚度度方程程eeeeeee由有一组组力的的解答答(唯唯一的的)，，即正正问题题。由如果e不是一一组平平衡力力系则则无解解；若若是一一组平平衡力力系，，则解解答不不是唯唯一的的，即即反问问题。。14三、特特殊单单元若单元元六个个杆端端位移移中有有某一一个或或几个个已知知为零零，则则该单单元称称为特特殊单单元，，其刚刚度方方程是是一般般单元元刚度度方程程的特特例。。e以连续续梁为为例：：12eeee1512eeeeeeeee为了程程序的的标准准化和和通用用性，，不采采用特特殊单单元，，只用用一般般单元元，如如果结结构有有特殊殊单元元，可可以通通过程程序由由一般般单元元来形形成。。16§11-3单单元元刚度度矩阵阵(整整体座座标系系)exyX1Y1X2Y2eeeeeeeeeeeeeeeeeeeee座标转转换矩矩阵单元杆杆端力力的转转换式式、单单刚的的转换换式一、单单元座座标转转换矩矩阵17正交矩矩阵[T]-1=[T]T或[T][T]T=[T]T[T]=[I]于是可以以有同理可以有有eeeeeeⓔⓔ18（解决与[k]的关系）ee在局部座标标系中杆端端力与杆端端位移的关关系式表达达为：eee在整体座标标系中杆端端力与杆端端位移的关关系式可以以表达为：：(a)eee{F}=[k]{}(b)e{F}

=[T]T[T]{}ee(d)k[T]{F}=e[T]{}(c)eke[k]=[T]T

ke[T]e(e)[k]e的性质与ek一样。二、整体座座标系中的的单元刚度度矩阵（a）式可转换为为：两边前乘[T]T比较式(b)和(d)可得：19例1.试试求图示示刚架中各各单元在整整体座标系系中的刚度度矩阵[k]。设和和杆杆的杆杆长和截面面尺寸相同同。1l=5ml=5m2xyl=5m，bh=0.5m1m,A=0.5m2,I=m4,124解:(1)局局部座标系系中的单元元刚度矩阵阵(2)整体体座标系中中的单元刚刚度矩阵e[k]ke单元1：：=0，[T]=[I]k1=1[k]单元2：：=90，单元元座座标转转换矩阵为为12k=k201l=5ml=5m2xy单元2：=90，单元座标转换矩阵为[k]=[T]T

k[T]21§11-4连连续梁梁的整体刚刚度矩阵按传统的位位移法i1i21214i112i110i1i21222i122i22(4i1+4i2)2i1i212302i234i23每个结点位位移对{F}的单独贡献F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i24i2123={F}=[K]{}根据据每每个个结结点点位位移移对对附附加加约约束束上上的的约约束束力力{F}的贡贡献献大大小小进进行行叠叠加加而而计计算算所所得得。。传统统位位移移法法22一、、单单元元集集成成法法的的力力学学模模型型和和基基本本概概念念分别考虑每个个单元对{F}的单独贡献，，整体刚度矩矩阵由单元直直接集成i1i212123F3{F}1=[F11F211]TF11F21F31令i2=0，则F31=0[k]=4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i112（a）（b）F11F21F31=4i12i14i12i1000001231[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i100000单元1的的贡献矩阵单元1对对结点力{F}的贡献略去其它单元元的贡献。23i1i212123F12F22F32[k]=4i22i24i22i22F12F22F32=4i12i14i12i1000001232[K]{}{F}=2设i1=0，，则F12=0[K]=24i12i14i12i100000单元的贡献献矩阵阵F3{F}2=[F12F222]T单元对结点点力{F}的贡献献略去单单元的贡献献。241[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i1000002[K]{}{F}=2[K]=24i12i14i12i100000i1i2121212[K]=（[K]+[K]）=12ee[k][K][K]ee{F}={F}+{F}=（[K]+[K]）{}12{F}=[K]{}整体刚刚度矩矩阵为为：单元集集成法法求整整体刚刚度矩矩阵步步骤：：根据单单元和单元元分别对对结点点力{F}的贡献献，可可得整整体刚刚度方方程：：25[k][K][K]ee12[k]=4i12i14i12i11[K]=14i12i14i12i100000[k]=4i22i24i22i22[K]=24i22i24i22i2000001214i12i14i12i1000002i22i24i2[K]=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i226二、按按照单单元定定位向向量由由[k]求

e[K]e(1)在在整体体分析析中按按结构构的结结点位位移统统一编编码，，称为为总码码。(2)在单单元分分析中中按单单元两两端结结点位位移单单独编编码，，称为为局部部码。。以连续续梁为为例121231(1)(2)2(1)(2)位移统统一编编码，，总码单元12对应关关系局部码码总码码单元定定位向向量e(1)1(2)21=(1)2(2)32=确定中的元素在中的位置。为此建立两种编码：[k]

e[K]e位移单单独编编码局部码码由单元元的结结点位移总总码组组成的向量量27（3）单刚[k]

e[K]e和单元贡献中元素的对应关系单元单元[k]=4i12i14i12i11(1)(2)(1)(2)1=[K]=11230000000004i12i12i14i1123[k]=4i22i24i22i22(1)(2)(1)(2)2=[K]=20000000004i22i24i22i2123123单元定定位向向量描述了了单元元两种种编码码（总总码、、局部部码））之间间的对对应关关系。。单元定定位向向量定义了了整体体坐标标系下下的单单元刚刚度矩矩阵中中的元元素在在整体体刚度度矩阵阵中的的具体体位置置，故故也称称为““单元换换码向向量”。单元贡贡献矩矩阵是是单元元刚度度矩阵阵，利利用““单元定定位向向量””进行““换码重重排位位”。28三、单单元元集成成法的的实施施（定位位累累加））[K]123123000000000[k]110000000004i12i12i14i1123123[k]224i12i14i12i1000002i22i24i24i1+4i2123123（1）将将[K]置零，，得[K]=[0]；（2））将[k]的元素素在[K]中按{}定位并并进行行累加加，得得[K]=[K]；（3））将[k]的元素素在[K]中按{}定位并并进行行累加加，得得[K]=[K]+[K]；按此作作法对对所有有单元元循环环一遍遍，最最后即即得整整体刚