理论力学计算题复习

.12/12习题1-1图中设AB=l,在A点受四个大小均等于F的力、、和作用。试分别计算每个力对B点之矩。[解答]：。习题1-2如图所示正平行六面体ABCD,重为=100N,边长AB=60cm,AD=80cm。今将其斜放使它的底面与水平面成角,试求其重力对棱A的力矩。又问当等于多大时,该力矩等于零。[解法1——直接计算法]：设AC与BD的交点为O,∠BAO=,则：当时,重力的作用线必通过A点,即,所以：令→,得：→。[解法2——利用合力矩定理]：将重力分解为两个正交分力和,其中：,,则：,根据合力矩定理：确定等于多大时,令,即：→→→。习题1-11习题1-22习题2-1三力作用在正方形上,各力的大小、方向及位置如图所示,试求合力的大小、方向及位置。分别以O点和A点为简化中心,讨论选不同的简化中心对结果是否有影响。[解答]：〔1以O点为简化中心,求主矢和主矩。因此,主矢大小为：主矢与x轴夹角为：,如图中红色箭头所示。主矩大小为：〔逆时针,如图所示。〔2确定最终合成结果根据主矢和主矩均不为零,可知力系最终合成一个合力,合力大小和方向与主矢相同,即：合力作用线方程由下式确定：→这说明合力作用线通过A点,如上图所示。〔3如果以A点为简化中心,求得主矢为：主矩为：此时合力等于主矢。y习题2-2如图所示等边三角形ABC,边长为,现在其三顶点沿三边作用三个大小相等的力,试求此力系的简化结果。y[解答]：力系的合成结果与简化中心的选择无关,xx因此任选一点〔例如A点作简化中心,建立坐标系,xx计算主矢和主矩：〔注意三角形ABC为等边三角形因此主矢大小为：〔逆时针由此判断力系的简化结果是一个逆时针转动的力偶,力偶矩等于主矩。习题2-7求如图所示平行力系合力的大小和方向,并求平行力系中心。图中每格代表1m。[解答]：〔1根据题目示意图,合力大小为：写出各力的作用点坐标：,,,,,,,,〔2根据平行力系中心坐标公式,求力系的中心：m习题3-1如图所示简易起重机用钢丝绳吊起重为2kN的重物。不计杆件自重、摩擦及滑轮尺寸,A、B、C三处简化为铰链连接,试求杆AB和AC所受的力。[解答]：〔1选择销钉A为研究对象,画出其受力图忽略滑轮的大小尺寸,则AC杆、AB杆以及绳子作用在销钉上的力组成平面汇交力系而且处于平衡状态。根据定滑轮的性质可知：〔2列平衡方程,,〔3解平衡方程,确定未知量求解上面的方程组,得到：,〔书中答案有误,请更正习题3-2均质杆AB重力为、长为,两端置于相互垂直的两光滑斜面上,如图所示。已知一斜面与水平成角,求平衡时杆与水平所成的角及距离OA。[解答]：选择AB杆为研究对象,画出受力图。根据三力平衡汇交定理,AB杆保持平衡必须满足以下条件：、、的作用线汇交于一点〔图中D点。又因为AB杆的重心C必为其中点,则在矩形OADB中,AB为一条对角线,DCO连线也为对角线,所以重力的作用线必通过O点。根据图中几何关系可知：,得到如下结果：→,。习题3-3构件的支承及载荷情况如图所示,求支座A、B的约束力。[解答]：〔1选择构件AB为研究对象,画出受力图B端为活动铰支座,约束力必须垂直于斜支承面,再结合力偶只能与力偶平衡的性质,可知A端固定铰支座的约束力必与组成力偶〔等值、反向、平行,才能与主动力偶〔,相平衡。根据平面力偶系的平衡方程,得：,解方程,得：。习题3-8求如图所示物体在A、B处的支座约束力,图中长度单位为m。[解答]：此题示意图有一些问题,请按上图更正。〔1画出水平杆的受力图〔在题目示意图基础上加上A、B两处的约束力即可〔2列平衡方程并求解：,；,→,→。习题3-24重力为的矩形水平板由三根铅垂直杆吊挂,尺寸如图〔a所示,求各杆内力。若在板的形心处〔应改为在D点处放置一重物,则各杆内力又如何？〔b〔c[解答]：〔1画出矩形板的受力图如图〔b所示,为空间平行力系的平衡问题。〔2列出平衡方程：,〔1,→〔2,→〔3将〔2、〔3代入〔1得：〔3当在D点放一重物时,假设其重力大小为,画出受力图如图〔c所示。列平衡方程如下：,〔4,→〔5,→〔6将〔5、〔6代入〔4得：。习题3-25如图所示三圆盘A、B和C的半径分别为15cm、10cm和5cm,三轴OA、OB和OC在同一平面内,∠AOB为直角,在这三圆盘上分别作用力偶。组成各力偶的力作用在轮缘上,它们的大小分别等于10N、20N和F。若这三圆盘所构成的物系是自由的,求能使此物系平衡的角度力的大小。[解答]：用矢量表示A、B、C三个轮上作用的力偶矩,如图〔b所示。各力偶矩大小分别为：与的合力偶矩大小为：,使此物系平衡的条件是,与等值、反向、共线,即：,。由图中关系得：→。习题4-1试求如图所示各桁架上标有数字的各杆的内力。图〔a中各杆的长度相等。[〔a解答]：〔1取整体画受力图,列平衡方程,求一端约束力解方程,得：〔2用截面法截断1、2、3杆,取右半桁架为研究对象,画受力图,列平衡方程,求1、2、3杆的内力。解得：,解得：,解得：。[〔b解答]：本题用截面法截断1、2、3杆,取右半桁架为研究对象,画受力图,列平衡方程,不需要求出左端的约束力,即可求出1、2、3杆的内力。解得：；解得：解得：习题4-3如图所示AB杆的A端放在水平面上,B端放在斜面上,A、B处的摩擦因数都是0.25。试求能够支承荷重F的最大距离a。杆重不计。[〔b解答]：本题用全约束力和摩擦角的概念求解更简单。画出AB杆的临界平衡状态的受力图,则A、B两处的全约束力、与主动力应该满足三力平衡汇交定理,三力相交于C点。根据摩擦角概念和图中的几何关系,可知：,。直角三角形ADC和直角三角形BDC有一条公共边CD,在两个三角形中分别表示出来,在直角三角形ADC中,有：在直角三角形BDC中,有：结合上面两式,可得一个代数方程：解方程,得：。习题5-5动点A和B在同一笛卡尔坐标系中的运动方程分别为其中x、y以cm计,t以s计,试求：〔1两点的运动轨迹方程；〔2两点相遇时刻；〔3相遇时A、B点的速度、加速度。习题5-8图示摇杆机构的滑杆AB以匀速u向上运动,试建立摇杆OC上点C的运动方程,并求此点在的速度大小。假定初始瞬时,摇杆长,距离。习题5-9曲柄OA长r,在平面内绕O轴转动,如图所示。杆AB通过固定于点N的套筒与曲柄OA铰接于点A。设,杆AB长,试求点B的运动方程、速度和加速度。习题5-13一绳缠绕在鼓轮上,绳端系一重物M,M以速度和加速度向下运动,如图所示。问绳上两点A、D和轮缘上两点B、C的加速度是否相同？习题5-16搅拌机如图所示,已知O1A=O2B=R,O1O2=AB,杆O1A以不变的转速n转动。试分析BAM构件上M点的轨迹、速度和加速度。习题5-22如图所示为一偏心圆盘凸轮机构。圆盘C的半径为R,偏心距为e。设凸轮以匀角速度绕O轴转动,求导板AB的速度和加速度。习题5-24如图所示摩擦传动机构的主动轮I的转速为n=600r/min,它与轮Ⅱ的接触点按箭头所示的方向平移,距离d按规律变化,单位为厘米。摩擦轮的半径cm。求：〔1以距离d表示的Ⅱ的角加速度；〔2当时,轮Ⅱ边缘上一点的全加速度的大小。习题6-3汽车A以速度沿直线道路向东行驶,汽车B以沿另一岔道向东南方行驶,如图所示。求在B车上观察到A车的速度。[解答]：〔1因为需要在B车上观察到A车的速度,所以选A车为动点,则动参考系建立在B车上。〔2分析三种运动和三种速度绝对运动：A车向正东方向的直线运动,绝对速度大小,方向水平向右〔东。相对运动：在B车上观察到A车的运动,相对速度大小和方向均未知。牵连运动：B车沿东南方向的直线运动〔直线平动,则动参考系中任何一点的速度均相同,牵连速度大小为：〔2根据速度合成定理,作速度平行四边形,如右图所示。根据图中的几何关系和已知条件,由余弦定理求得相对速度大小为：则该速度平行四边形的一半为一个等腰直角三角形,因此。结论：在B车上观察到A车的运动速度大小为20km/h,方向指向正北方。习题6-5图示两种机构中,已知,。求图示位置时O2A杆的角速度。[解答]：〔1在图〔a中选O1A杆上的A点为动点,则动参考系建立在O2A杆上。由图中几何关系知：O1A=O1O2=a分析三种运动和三种速度绝对运动：O1A杆作定轴转动,则A点的绝对运动为圆周运动,速度大小为：方向垂直于O1A。相对运动：套管沿O2A的直线运动,相对速度方向已知,大小未知。牵连运动：O2A的定轴转动,牵连速度方向垂直于O2A,大小未知。根据速度合成定理,以为对角线,以、为邻边,作出如图所示的速度平行四边形。由图中的几何关系,得到：根据牵连速度与O2A杆的角速度关系,得：,得：〔2在图〔b中选O2A杆上的A点为动点,则动参考系建立在O1A杆上。由图中几何关系知：O1A=O1O2=a分析三种运动和三种速度绝对运动：O2A杆作定轴转动,则A点的绝对运动为圆周运动,速度大小未知,方向垂直于O2A。相对运动：套管沿O1A的直线运动,相对速度方向已知,大小未知。牵连运动：O1A的定轴转动,牵连速度方向垂直于O1A,牵连速度大小为：根据速度合成定理,以为对角线,以、为邻边,作出如图所示的速度平行四边形。由图中的几何关系,得到：根据牵连速度与O2A杆的角速度关系,得：,得：。习题6-15如图所示曲柄滑道机构中,曲柄长OA=10cm,可绕O轴转动。在某瞬时,其角速度,角加速度,,求导杆上点C的加速度和滑块A在滑道上的相对加速度。[解答]：〔1选OA杆上的销钉A点为动点,则动参考系应该建立在导杆BC上。同时在地面建立静参考系。〔2分析三种运动和三种加速度绝对运动：A点随同OA杆转动而作圆周运动,因为以下确定A点的绝对加速度需要A点的绝对速度,因此先确定绝对速度。绝对速度方向垂直于OA,其大小为：绝对切向加速度方向垂直于OA,其大小为：绝对法向加速度方向沿OA指向圆心O,其大小为：相对运动：销钉A带动滑块A在BC杆滑道中的左右直线运动,相对加速度方向水平〔假定向右,大小未知。牵连运动：导杆BC的上下平动,牵连加速度方向沿竖直线〔假定向上,大小未知。根据上面的分析画出各加速度矢量,如图所示。〔3根据牵连运动为平动时的加速度合成定理,将各加速度矢量向x轴投影,得到滑块A在滑道上的相对加速度大小为：将各加速度矢量向y轴投影,得到导杆上点C〔任何一点的加速度大小：。习题7-8如图所示四连杆机构中,OA=O1B=AB,曲柄以角速度=3rad/s绕O轴转动。求在图示位置时杆AB和杆O1B的角速度。[解答]：此题用瞬心法较方便。〔1OA杆和O1B杆作定轴转动,AB杆作平面运动。根据A、B两点的速度方向,可以确定AB杆的瞬时速度中心为O点。〔2求AB杆的角速度,得：rad/s。题目不要求计算A点速度,可以不求解。〔3求杆O1B的角速度根据,得：rad/s。习题7-10习题7-16在图中,两个轮子沿水平面只滚不滑,它们彼此用杆AB相连。P点的速度为m／s,方向向右。求AB的角速度。[解答]：两个轮子和AB杆均作平面运动,两个轮子的瞬时速度中心为它们各自与地面的接触点。据此确定A、B两点的速度方向,可知AB杆作瞬时平动,其角速度习题8-1质量m＝6kg的小球,放在倾角＝30的光滑面上,并用平行于斜面的软绳将小球固定在图示位置。如斜面以的加速度向左运动,求绳之张力FT及斜面的约束力,欲使绳之张力为零,斜面的加速度a应该多大？[解答]：〔1画出小球的受力图当绳子的张力不等于零时,小球与斜面之间无相对运动,则此时小球与斜面具有相同的绝对加速度。〔2建立如图所示的直角坐标系,则小球的加速度分量为：,写出小球〔质点直角坐标形式的动力学基本方程：,将加速度分量和力的投影代入,得：求解上面的方程组,得：〔2当绳子拉力为零时,即：,将上面的结果代入,得：,解方程,得此时斜面的加速度为：习题8-5物块A、B的质量分别为m1=20kg和m2=40kg,用弹簧相连,如图所示。物块A沿铅垂线以作简谐运动,式中振幅H=l0mm,周期T=0.25s。弹簧的质量略去不计。求水平面所受压力的最大值和最小值。[解答]：〔1分别画出A、B两个物块的受力图〔2物块A受弹簧的作用力大小和方向周期性变化,因此其加速度也随时间而变化,写出质点运动微分方程：,将代入,得：〔1〔3物块B受到弹簧作用力,自身重力和地面支持力,在地面保持静止〔弹簧作用力向下或弹簧作用力虽然向上,但小于物块B的重力时；或者向上作加速运动〔弹簧作用力向上且超过物块B的重力时。按平衡条件列方程,得：,得地面支持力为：当时,地面支持力达到最大,其值为：当时,地面支持力达到最小,其值为：因为地面支持力最小值大于零,因此物块B始终静止在地面上。根据作用与反作用定律,物块B对地面压力的最大值为714.33N,最小值为461.67N。习题8-9已知物体的质量为m,自高度h处以速度v0水平抛出,空气阻力可视为与速度的一次方成正比,即F=kmv,式中k为比例常数,m为物体的质量,v为物体速度。求物体的运动方程和轨迹。[解答]：〔1画出物体在任意位置的受力图物体受自身重力和空气阻力,在水平方向和竖直方向均做变速运动。〔2写出质点运动微分方程：根据,,得到如下微分方程：,约去质量m,并分离变量求解,考虑运动初始条件：,,,得运动方程为：消去参数t,得轨迹方程为：。习题8-10桥式起重机下挂着重物M,吊索长l,开始起重机和重物都处于静止状态,如图所示。若起重机以匀加速a作直线运动,求重物的相对速度与其摆角θ的关系。[解答]：研究重物M,其加速度矢量图如图示,由加速度合成定