积分变换第二章拉氏变换

第二章

Laplace

变换第一节

Laplace变换概念第二节

Laplace变换性质第三节

Laplace逆变换第一节

Laplace变换的概念引入傅里叶变换的前提

绝对可积

在整个数轴上面有意义

工程上用到的函数的特点

非绝对可积

t<0，无意义第一节

Laplace变换的概念引入第一节

Laplace变换的概念引入第一节

Laplace变换的概念定义

设函数当时有定义，且积分

在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为：可记为

F(s)=£[f(t)]其：F(s)称作f(t)的Laplace变换（或象函数）相应地：f(t)

称作F(s)的Laplace逆变换（或象原函数），记为f(t)=£-1[F(s)]上式（*）称为函数f(t)的Laplace变换式拉氏变换存在定理若函数f(t)满足条件:

1，在t≥0任一有限区间上分段连续;

2，当t→+时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即，存在一常数M>0及

c

≥0使：结论成立，则f(t)的Laplace变换（形如式（*）表示）在半平面Re(s)>c上一定存在，右端的积分在Re(s)≥c1>c上绝对收敛且一致收敛，并且在Re(s)>c的半平面内，F(s)为解析函数。举例例1：求单位阶跃函数的Laplace变换。例2：求正弦函数的Laplace变换。p69,p71周期函数的Laplace变换一般地，以T为周期的函数f(t)

，当f(t)在一个周期上是分段连续时，则f(t)的拉氏变换式为：tf(t)b4b3b2bb例3：求周期性三角波的Laplace变换。p75拉氏变换中积分下限的讨论1.满足拉氏变换存在定理条件的函数f(t)

在t=0处有界时，则下式积分与下限是还是无关。即：

£+[f(t)]=

£-[f(t)]

其中，£+[f(t)]为：2.若函数f(t)

在t=0处包含脉冲函数时，则下式积分中必须指明下限是还是。即：

£+[f(t)]≠

£-[f(t)]

其中：£+[f(t)]£-[f(t)]=这样，我们定义拉氏变换时，严格上应为：例4求单位脉冲函数的拉氏变换f(t)t1p77第二节

Laplace变换的性质Laplace变换的性质性质1（线性性质）：设，F1(s)=

£[f1(t)]和F2(s)=

£

[f2(t)]则，

£[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)其中，a,b为常数注意：Laplace逆变换也有类似的性质性质2（微分性质）：则有，£[

]=sF(s)-

f(0)若，F

(s)=

£[f

(t)]这个性质说明：一个函数求导以后取拉氏变换等于该函数的拉氏变换乘以s，再减去函数的初值。推论：若，F

(s)=

£[f

(t)]，则有，£[

]=更为一般地

：

若，F

(s)=

£[f

(t)]则有，£[

]=类似地，可得象函数的微分性质：=-£[]，Re(s)>c一般地

:

若，F

(s)=

£[f

(t)]，则=£[]，Re(s)>c性质3（积分性质）：

£

[

]若，F

(s)=

£[f

(t)],则：

另外，£类似地，可得象函数的积分性质：

£

[

]一般地，£性质4（位移性质）：

£[

]=F(s-a)(Re(s-a)>c)性质5（延迟性质）：若，F

(s)=

£[f

(t)],则，若，F

(s)=

£[f

(t)]，又t<0时，f(t)=0,则对于任一非负数实数τ，有：

£[f(t-τ)]=例1

已知函数,求f(t)的拉氏变换，其中m为正整数。举例例2

求函数及的拉氏变换。例3

求函数的拉氏变换。p82性质6（相似性质）：£[

]=若，F

(s)=

£[f

(t)],a为正整数，则，例4，若F

(s)=

£[f

(t)]，求下列函数g(t)的拉氏变换。第三节

Laplace逆变换Laplace逆变换定义前面，我们定义了函数f(t)的拉氏变换为：其中，F(s)称作f(t)的Laplace变换（或象函数，而f(t)

称作F(s)的Laplace逆变换（或象原函数），记作：f(t)=£-1[F(s)]上式（＃）就是从象函数F(s)求象原函数函数f(t)的计算公式。右端的积分称为Laplace反演积分。同时，我们定义f(t)为：

注意到，右端积分为一复变函数的积分，计算该积分时通常比较困难，但当F(s)满足一定条件时，可以用留数的方法来计算这个反演积分，特别当F(s)为有理函数时更为简单。结论定理：若s1,s2,…,sn是函数F(s)的所有奇点（适当选取β使得这些奇点全落在Re(s)<β

内），且当s→∞时，F(s)→0,则有：三种方法求逆变换：求Laplace逆变换的方法一、留数法二、部分分式法三、直接查表法一、留数法

若函数F(s)=A(s)/B(s),其中A(s),B(s)是不可约的多项式，B(s)的次数为n,A(s)的次数小于n，则：1、若B(s)有n个单零点s1,s2,…,sn，有，2、若s1是B(s)的一个m级零点，其余的n-m都是单零点,sm+1,…,sn，有，举例例1

用留数的方法求的拉氏逆变换。二、部分分式法1、且

无重根，则：2、但有一个k重根此时，但求解取却不能再用此法，否则分母将出现0。注意：其中£其余的按情况1求解即可得到f(t).例

求的原函数。解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开：其中，A、B是待定系数，将上式进行通分后可得：比较以上两式的分子，可得：通过查表，可求得：

三、直接查表法详见附录Ⅱ中的公式常用函数的拉氏变换对照表卷积的定义第四节卷积傅里叶变换分配律交换律结合律卷积定理时域s域p103第五节

Laplace变换的应用2.4应用拉氏变换求解微分方程S(t=0)+-RC+-UC这是一个一阶ＲＣ电路，我们取电容两端的电压为输出电压，设开关S闭合前，电路处于零初始状态，即：在t=0时，开关S闭合，电路接入直流电源Us。则根据KVL定理，有：Ｕs代入电路，可得到电路的把和微分方程：现在，我们就来解这个微分方程分离变量，有：两边同时积分：两边再同时取指数：整理得：并令：则有：将初始条件：t=0时，Ｕc(0-)=0代入上式，可得：所以最后求得该微分方程的解为：现在对于上面的微分方程，我们有Laplace变换再求解一次。由题可知：开关闭合瞬间的输入信号可视为阶跃信号，且当t=0时，Uc(0+)=0，所以上式有：首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：单位阶跃函数的Laplace变换利用待定系数法可求得：再对上式进行Laplace反变换，得：整理，可得：将所求系数带入上述方程，有：拉氏变换应用于系统分析：输入e(t)E(s)输出r(t)R(s)H(s)-1L[R(s)]§4-5系统分析的Laplace变换法用Laplace变换法求解微分方程：特点：１、利用Laplace变换的微分性质对方程进行Laplace变换；２、只用知道０－的条件；

3、输入为具有拉氏变换的函数。二、Laplace变换的元件等效模型（S域模型）1、电阻：R+-2、电容：+C-1/sc+-3、电感：+L-+sL-用运算法分析R

、L、C串联电路为

R

、L、C串联电路的运算阻抗在零初始条件下

运算形式欧姆定律系统函数（传输函数）一、定义：注意：

1、系统函数是独立于输入而仅由系统特性决定的。

2、系统函数是在零状态条件下得到的。

3、线性时不变电路的系统函数是s的有理函数。二、求法：

1、从定义求：

2、从微分方程求：

3、H(s)与冲激响应：§4-7系统函数与系统特性一、H(s)的零极点与时域响应：极点决定解的形式，零点影响解的幅度。极、零点图σjωS平面极点分布与时域波形对照图2、重极点的情况：

对应的时间函数为t的幂函数与指数函数相乘的形式，t的幂次由极点阶次决定。例如：二、H（S）的零极点与频率响应

频率响应特性：即系统的幅频特性和相频特性。可根据拉氏变换和傅氏变换的关系，由H(s)得到系统的频率响应特性。每个因子代表一个矢量。零点矢量：模为Ｎj，相角为ψj极点矢量：模为Ｍi，相角为θijωσjωσ幅频特性：相频特性：系统的稳定性定义：一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则该系统是稳定系统。观察在时间t趋