小升初衔接班讲义

第一讲丰富的图形世界【知识要点】一、正方体的平面展开图（11种）;.“一四一”型：6个对顶格田字格个对顶格田字格个二、几何体的三视图（正视图、左视图、俯视图）；（-）已知几何体，画三视图.正（主）视图：从左往右看（有几列，每列最高有几层），数字化写了下面;.左视图：从里往外看（有几列，每列最高有几层），数字化写了左侧；.俯视图：最底层（方位）.如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体，请画出它的三种视图.（-）已知三视图，确定几何体.将正视图数字化写在俯视图的下面；将左视图数字化写在俯视图的左侧；.将“1”所在的行或列全部填T；.分析其它空格的可能性（最高值）主视图左视图俯视图如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是

主视图左视图俯视图【新知讲授】.如图，将标号为A、B、C、组图形，则按A、B、C、D的顺序确定正确对应的图形顺序是（）.P、M、Q、NQ、N、M、PM,P、Q、NN、Q、P、M.在桌子上放着五个薄圆盘，如右图所示.它们由下到上放置的次序应当是（ ）.（A）X,Y,Z,W,V （B）X,W,V,Z,Y（C）Z,V,W,Y,X （D）Z,Y,W,V,X4.在下列图形中（每个小正方形皆相同）可以是一个正方体表面展开图的是（(A)6.正方体的平面展开图是右图，原正方体形如（ ）.(A) (B) (C) (D).在下列图形中（每个小正方形皆相同）可以是一个正方体表面展开图4.在下列图形中（每个小正方形皆相同）可以是一个正方体表面展开图的是（(A)6.正方体的平面展开图是右图，原正方体形如（ ）.(A) (B) (C) (D)7.如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的左视图是（ ）.田d-F田d-F(A) (B)8.由几个小立方体搭成的一个几何体如图1所示，它的主(正)视图见图2,那么它的俯视(D)8.由几个小立方体搭成的一个几何体如图1所示，它的主(正)视图见图2,那么它的俯视(D)10.如果用口表示1个立方体，用■表示两个立方体叠加，用・表示三个立方体叠加，那么11.可画出的平面图形是(下图是由一些相同的小正方形构成的几何体的三视图，那么这些相同的小正方形的个数是().).11.可画出的平面图形是(下图是由一些相同的小正方形构成的几何体的三视图，那么这些相同的小正方形的个数是().).(A)4(A)4 (B)5.已知一个物体由x个相同的正方体堆成,值是( ).(A)13 (B)12丛正面看 从左边看从上面看隹□小产(第11题图).一个画家有14个边长为1m的正方体，把露出的表面都涂上颜色，那么被涂.(A)19m2 (B)21m2(06 (D)7它的主视图和左视图如图所示，那么x的最大(Oil (D)10Bz□丑彩主视图左视图(第12题图) (第13题图)他在地面上把它们摆成如图所示的形式，然后他颜色的总面积为().14.把图中的片沿虚线折起来，便可成为一个正方体，这个正方体4号面的对面是—(第14题图)(第15题图)(第16题图)(033m2 (D)34m2

14.把图中的片沿虚线折起来，便可成为一个正方体，这个正方体4号面的对面是—(第14题图)(第15题图)(第16题图).长方体的主视图、俯视图如图所示（单位：m）,则其左视图面积是..把图（1）的正方体表面展开成图（2）时，有一个面的4条棱都没有被剪开，这个面是正方形.（用字母表示）..由一些相同的小正方体构成一个立体图形，如图是从不同的方向看这个立体图形的平面图形，则构成这个立体图形的小正方形附律是.主视图左视图俯视图.如图是一个正方体木块的表面展开图.若在正方体的各面填上数，使得对面两数之和为7,则A处填的数是,B处填的数是,C处填的数是..一张桌子上摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共摆放有 个碟子. 彳、.如图都是由边长为1的正方体叠成的图形.例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位,第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位.（1）依此规律，求第（5）个图形的表面积是多少个平方单位？（2）第（n）个图形的表面积又是多少个平方单位？ Q,.请在图中用阴影标出六个小正方形，它们是一个正方形的展开图（要求画法各不相同）..如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，分别写出搭成这个几何体共用块小立方块;主癖俯共用块小立方块;共用共用块小立方块;主癖俯共用块小立方块;共用块小立方块;主视图俯视图主视图俯视图.如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单的儿何体的主视图和俯视图.(1)请你画出这个几何体的一种左视图；(2)若组成这个儿何体的小正方体的块数为n,请你写出n的所有可能值.第二讲线段【知识要点】一、直线、射线、线段;1.区别:直线射线线段图形AA几何表示直线AB（直线BA）同一条直线射线茄（冰线BA）不同射线线段AB（线段BA）同一条线段端点没有1个2个延伸方向两端延伸一端延伸无延伸长度度量不能不能能2.关系（联系）：射线、线段是直线的一部分射线：直线上一点及一旁的部分；线段：直线上两点及两点之间的部分；3.注意：两点确定一条直线；两点确定两条射线；两点确定一条线段：二、线段的中点；.定义：将一条线段平均分成相等的两段的点. A P.性质：如图，P为线段AB的中点，则有：①PA=PB：②AB=2PA；③AB=2PB；（4）PA=-AB；⑤PB=，AB；2 23.判定P为线段AB的中点：注意点P是否在缱段AB上；（注意在无图条件下区别：在耳缱AB上）；三、线段的有关计算（和、差、倍、分）；四、两点间的距离.定义：连接两点间的线段的冷度；.能用“两点之间线段最短”来解释生活中的实际问题；.应用：判断A、B、C三点共线的方法：AB、AC、BC三条线段的长度满足其中两条线段的长等于第三条线段的长.【新知讲授】 OAB.如图，下列说法不正确的是（ ）. * * * （A）直线AB与直线BA是同一条直线 （B）射线0A与射线0B是同一条射线（0射线0A与射线AB是同一条射线 （D）线段AB与线段BA是同一条线段.下列图形中，能相交的是( ).TOC\o"1-5"\h\zA\ q OC(A) (B) (0 (D).点C在线段AB上，给出下列关系：①AC+BC=AB；②AB-AC=BC；③AB-BC=AC；④AC=BC.其中一定正确的个数是( ).(D)3个).(A)0个 (B)l个 (D)3个)..点M在直线AB上，下列条件中能判断点M为线段AB的中点的是((D)AM+BM=AB(A)AM=-AB (B)AB=2BM (C)AM=BM(D)AM+BM=AB2.下面说法中不正确的是().(A)两点之间线段最短 (B)两点确定一条直线(C)直线、射线、线段都有中点 (D)两条不同的直线相交.下面各种情况中，A、B、C三点在同一条直线上的是( ).(A)AB=5cm,AC=4cm,BC=2cm (B)AB=20cm,AC=8cm,BC=15cm(C)AB=16cm,AC=10cm,BC=3cm (D)AB=13cm,AC=16cm,BC=3cm.C为线段AB延长线上的一点，且AC=3AB,则BC为AB的..已知A、B、C在同一直线上，AB=8,BC=4,则线段AC的长度为..已知AB=3,AC=9,当BC=时，点A、B、C在同一条直线上..如图，AC=BC=a,BD=b,则AD=..如图，已知线段AB=11,C、D为AB上的两点，且AD=8,BC=9,则线段CD的长为.AC片― ACDB.如图，B、C两点把线段AD分成2：3：4三部分，M是AD的中点，MC=1,则AD=..如图，已知B、C是线段AD上的两点，M是AB的中点，N是CD的中点，MN=a,BC=b,则线段AD=.ABMC D AMBCND.一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到0A的中点Aj处，第二次从A1点跳动到0A1的中点A2处，第三次从A2点跳动到0A2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点0的距离为。OA4A3A2AiAOA4A3A2AiA.如图，AB：BC：CD=2：3：4,E,F分别是AB和CD的中点，且EF=12厘米(cm),求AD的长. 1绰米TOC\o"1-5"\h\z• '・ • • • •\o"CurrentDocument"A E B C F D.如图，延长线段AB到C,使BC=3AB,点D是线段BC的中点，如果CD=3cm,那么线段AC的长度是多少？ . . . .A B D C.如图，B、C是线段AD上两点，M是AB的中点，N是CD的中点.若MN=a,BC=b,求AD.AMB、 〜 -CND.如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为AM的中点，Q为AN的中点，求变的值.PQ.如图，在直线1上取A,B两点，使AB=10厘米，再在1上取一点C,使AC=2厘米，M,N分别是AB,AC中点.求MN的长度.TOC\o"1-5"\h\z♦ ・ ・ ・ •/\o"CurrentDocument"A N C M BQ) I\o"CurrentDocument"CNAM B(b).已知：如图，线段AB=10,P为线段AB上一个动点，M为PA的中点，N为PB的中点.(1)试问：当P点运动时，线段MN的长度是否发生改变？若不变，请你求出线段MN的长：若改变，请说明理由； AMP~N~~B(2)如图，若P为线段AB反向延长线上的一个动点，其它条件不变，试问：当P点运动时，线段MN的长度是否发生改变？若不变，请你求出线段MN的长；若改变，请说明理由. 一一一一 一.如图，动点A从原点出发向负方向运动，同时动点B也从原点出发向正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度.已知动点A、B的速度比是1：4（速度单位：单位长度/秒）.（1）求出两个动点的运动速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置;-12-9-6-3 0 3 6 91215（2）若两点A、B从（1）中的位置同时按原速度向数轴负方向运动，几秒时，原点恰好处在两个动点A、B之间的，处？3（3）在（2）中A、B两点同时向数轴的负方向运动时，另一动点C和点B同时从B点出发向A运动，当遇到点A后立即返回向B点运动，遇到点B后又立即向A点运动，如此往返，直到B追上A时，立即停止运动.若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么从点C开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？第三讲角（1）【知识要点】一、角TOC\o"1-5"\h\z.定义1:共顶点的两条射线； A定义2：将一条射线绕端点旋转而成的图形； /.角的表示方法：NAOB或N1或Na等： /二、1.特殊角：周角（360°）、平角（180°）、直角（90°）； /.钝角：大于90°且小于180°； /.锐角：大于0。且小于90°； 尸 注意：在没有特别条件下，研究的角都是大于0°且小于180。的角；三、角的度量.度、分、秒的换算与计算：.钟表是的角度问题（秒针、分针、时针的追及问题）：秒针的速度：36。。/分、分针的速度：6。/分、时针的速度：2/分;四、角的平分线（类比中点研究角平分线）四、.定义：.性质：如图：OP平分NA0B,则有：①N1=N2；②NA0B=2Nl：③NA0B=2N2：@Z1=-ZAOB；⑤N2=1NA0B；2 2.判定OP平分NAOB点：注意射线0P是否在角NAOB的内部（注意在无图条件下区别：在角/AOB的外部）;.折叠问题与角度计算问题（折叠线即角平分线）四、角的和、差、倍、分的计算.【新知讲授】例一、度、分、秒的换算与计算36°42'52"=。(保留两位小数)：42°="'"；(2)计算：①27°47'36"+35°27'42"=；②89°12'24"-35°57'39"=；(3)27°47'X3-108030，4-6=.例二、钟表上的角度问题仔细观察时钟钟面，请回答：7点到8点之间（1）时针与分针成直角是在:（2）时针与分针重合是在;（3）时针与分针之间的夹角为60°是在.例三、角度的计算图1图3D图2图4(1)如图，将两块直角三角板的某个顶点重合为如图的位置,①图］中，NBCD=；②图2中，ZACB=；③图3中，若NACE=72°,则NBCD=若/BDC=26°,则NCDE=图1图3D图2图4(2)已知：如图，0为直线AB上一点，过0作射线OC,0D平分NAOC,0E在NBOC内,且NB0E=2NC0E,若NDOE=72°,求NBOE的度数.【题型训练】.若NA0B=30°,自NAOB的顶点0引射线0C,若NAOC：ZA0B=4：3,则NBOC=().(A)10° (B)40° (070° (D)10°或70°.下面说法中正确的是( ).(A)若NA0B=2NA0C,则0C平分NAOB (B)延长NA0B的平分线0C(C)若射线0C、0D三等分NA0B,则若NA0C=/D0C (D)若0C平分NA0B,则NA0C=/B0C.如图，Zl=15°,ZA0C=90°,点B、0、D在同一直线上，则N2的度数为().(A)75° (B)15° (C)105° (D)165°.如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB,AC,则这两条对角线的夹角NBAC的度数为().(A)60° (B)75° (090° (D)45°.在如图所示的4X4的方格表中，记NABD=a,ZDEF=P,NCGH=Y，贝U( ).(A)P<a<y (B)3<y<a(C)a<y<0 (D)a<0<y6.4点钟到5点钟之间，时针、分针有两次成90°,这两次成90°角的时间间隔是( ).(A)30分钟小、360..(B)—分钟11420(A)30分钟小、360..(B)—分钟11420(C)次分钟11(D)45分钟7.如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF对折后使两部分重合，若21=50°,则NBFE=().(A)60° (B)65° (C)70° (D)80°8.如图，将直角三角形纸片ABC(NBAC=90°)沿线段AD折叠，使B点落在E点，且AC恰好平分NDAE,则NBAD的度数是().(A)60° (B)67.5° (C)70° (D)75°9.如图，将一个三角形纸片(△ABC),沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若NADE=50°,则/BDF=().(A)50° (B)60°(C)70° (D)80°TOC\o"1-5"\h\z.如图，ZB0D=2ZB0A,0C平分NAOD.下列结论：①NB0C=1nA0B；②/BOC=』NAOB；3 2③ND0C=2NB0C；④ND0C=3NB0C.其中正确的结论有( ).(A)①② ⑻®® (C)®® (D)®®.钟表时间是2时15分时，时针与分针的夹角是..计算：(1)37°28'+44°49,=；(2)25°36'X4=；108°18'32H-52°42'30"=；(4)163°+7=(精确到分)..以NA0B的顶点0为端点引射线0C,使得/AOC：NBOC=5：4,若NA0B=15°,则NA0C的度数是..如图，Zl：Z2：Z3:N4=l：2：3：4,则N3的度数为..如图，将一个直角三角形纸片(NACB=90°),沿线段CD折叠，使点B落在点A处，若ZACBf60",则NACD=..如图，已知NE0F=90°,直线AB经过点0,ZB0F-ZA0E=,若NA0F=2NA0E,则ZB0F=..如图，0B平分NA0C,且N2：Z3：N4=2：5：3,则/1=.

.在NAOB的内部，以0为端点画一条射线，可构成3个角，画2条射线可构成6个角.(1)如图，画3条射线，那么图中共有个角；画5条射线，有个角;(2)如果在NAOB的内部，以。为端点画射线，能否构成46个角？若能，请问画了多少条射线；若不能请说明理由；(3)试探索：如果引出〃条射线，有多少个角？19.直线AB、CD相交于点0,0E平分NAOD,ZF0C=90°,Zl=40°,求/2与N3的度数.19.20.已知0为直线AB上的一点，NCOE是直角，0F平分NAOE.(1)如图1,若NC0F=34°,则/BOE=；若NC0F=m°,则NBOE=；ZB0E与NCOF的数量关系为；(2)当射线0E绕点0逆时针旋转到如图2的位置时，(1)中NB0E与NC0F的数量关系是否仍然成立？请说明理由.(3)在图3中，若NC0F=65°,在NB0E的内部是否存在一条射线0D,使得2NB0D与NAOF的和等于NBOE与NBOD的差的一半？若存在，请求出NBOD的度数；若不存

第四讲角(2)【知识要点】一、两个角之间的特殊婺学关系:.余角：和为90°的两个锐角叫做互为余角，其中一个是另一个的余角;.补角：和为180°的两个角叫做互为补角，其中一个是另一个的补角:二、方位角；.正东、正南、正西、正北方向；.二、方位角；.正东、正南、正西、正北方向；.东南、东北、西南、西北方向；.北偏东a°(0<a°<90°)；北偏西a°(0<a°<90")；南偏东a°(0<a°<90°)；南偏西a°(0<a°<90")；三、与角度有关的综合计算.【新知讲授】例1、如图，已知NA0C=ND0E=90°.(1)如果Nl=38°,求NB0E的度数。正北西北 东北北偏东60。正西 — 正东西南 东南正南(2)写出图中与N1互余的角：(3)写出图中与N1互补的角:3例2、(1)一个角的余角与这个角的补角的和比平角的士多1°,求这个角.4一个锐角的补角与这个角的余角的度数比为3：1,则这个角的度数为一个角的补角比它的余角大.例3、如图，已知A、0、E三点在一条直线上，0B平分NAOC,NA0B+ND0E=90°,试问:NC0D与NC0D与ND0E之间有怎样的关系?说明理由.例4、如图,0是直线AB上一点,0C平分NAOB,在直线AB另一侧以0为顶点作ND0E=90°.例5,例6、如图，货轮。在航行过程中，发例4、如图,0是直线AB上一点,0C平分NAOB,在直线AB另一侧以0为顶点作ND0E=90°.例5,例6、如图，货轮。在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东60°的方向上.同时，在它的北偏西30°、西北方向上又发现了客轮B和海岛C.(1)仿照表示灯塔方位的方法，在图中画出表示客轮B和海岛C方向的射线：(2)在(1)的条件下填空：ZB0C=和NA0D互余的角为： ,ZBOE=例7、在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40°方向，那么这艘船位于这个灯塔的().(A)南偏西50°方向(C)北偏东50°方向(B)南偏西40°方向⑻北偏东40°方向已知：如图，0B是NA0C外一条射线，且0M平分NAOB,0N平分/B0C.(1)当NA0C=90°,ZB0C=60°,时，4MON=(2)猜想：/当A0C=a,NB0C="，NM0N的度数为.请证明你的结论；(3)若OB是NAOC内一条射线，其它条件不变，(2)中结论是否依然成立？请画出图形并证明你的结论.【题型训练】.互为余角的两个角之差为35°,则较大角的补角是( ).(A)117.5° (B)112.5° (C)125° (D)127.5°.两个角的大小之比是7:3,它们的差是72°,则这两个角的关系是( ).(A)相等 (B)互补 (C)互余 (D)无法确定4.若NB与Na互补，/丫与Na互余，且NB与Ny的和是？个平角，则NB:Na=().3(A)2- (B)5 (Oil (D)无法确定5.如图，ZA0B=180°,0D是NCOB的平分线，0E是NA0C的平分线，设/BOD=a,则与a的余角相等的角是().(A)ZOOD(B)ZODE(C)ZDOA(D)ZCOA.如图，直线AB、DE相交于点0,从点0引射线0C,使NC0D=90°,下列结论：①NAOC与NBOD互余；②NAOC=NBOD：③NAOC与NBOC互补：④NBOE与NBOD互补.其中正确的结论的个数是().(A)l个 (B)2个 (03个 (D)4个.如图，若在阳光下你的身影的方向为北偏东60°方向，则太阳相对于你的方向是( ).7.(A)南偏西60°①NAOP=/BOP；②NAOP=-NAOB；③7.(A)南偏西60°①NAOP=/BOP；②NAOP=-NAOB；③NAOB=NAOP+NBOP；2对于锐角/AOB,下列说法:®ZAOP=ZBOP=-ZAOB.其中能说明射线0P一定是NAOB的平分线的有( ).2(A)①0 (B)①③④ (C)①④ (D)只有④.如图，把一张矩形纸片沿着EF折叠，点C、D分别落在M、N的位置，且NMFE=2NMFB,则ZMFB=..如图，0是直线AB上一点，ZA0D=120°,ZA0C=90°,0E平分NBOD,则图中彼此互补的角有对..如图，0是直线AB上一点，NA0E=NF0D=90°,0B平分NCOD,图中与NDOE互余的'CAOB

'CAOB.已知将一副三角板（直角三角形OAB和直角三角形OCD,ZA0B=90°,ZC0D-300）如

图1摆放，点0、A、C在一条直线上.将直角三角形0CD绕点0逆时针方向旋转a.（1）如图2,当a为多少度时，0B恰好平分/C0D?(2)(2)如图3,当0°<a<90°时，作射线0M平分NA0C,射线0N平分/BOD,在旋转过程中，NM0N的度数是否发生变化？如果不变求其值；如果变化，说明理由.在旋在旋DN如图4,当180°<«<270°时，射线0M、0N仍然分别平分NAOC、ZB0D,转过程中，（2）中的结论是否成立？写出你的结论并根据图4说明理由.

DN.将一个含60°角的直角三角板0AB(/A0B=60°)如图1放置，射线OA表示正北方向.(1)观察图形回答：①B在0点的方向；②。在B点的方向；③B在A点的方向；④A在B点的方向.(2)如图2,将此三角板绕0点顺时针旋转40°角到

三角板QAB位置，试问员在。点的什么方向？北东西南东西(3)如图2,图中以°为项点的角共有多少个?(废线不作考虑)，求出这些角的和.（图1）(3)如图2,图中以°为项点的角共有多少个?(废线不作考虑)，求出这些角的和.若犯在0点的西南(备用图)若犯在0点的西南(备用图)(4)再将三角板0AB绕0点顺时针旋转a角到三角板OAzBz位置,方向，求a的度数并说出氏在。点的什么方向.第五讲相交线第一课时【知识要点】一、两条不同的直线之间的位置关系：相交线与平行线；.相交线：有唯一公共点的两条直线：.平行线：没有公共点的两条直线；TOC\o"1-5"\h\z二、两个角之间的特殊住置(数量)关系：对顶角、邻补角； ,如图，两条直线AB、CD相交所形成的四个角(/I、N2、N3、Z4). /.对顶角： / (1)定义：①公共顶点；②两边互为反向延长线； ^ B(2)图中共有两对对顶角：N1与N3、N2与N4； /(3)性质：对顶角相等(Nl=/3,Z2=Z4)； D.邻补角：(1)定义：①公共顶点；②一边公共；③另一边互为反向延长线；(2)图中共有四对对顶角：N1与N2、N1与N4、N3与N2、N3与24；(3)性质：邻补角互补；.对顶角、邻补角同时具有特殊的位置关系和数量关系，但要注意：以数量关系来判定这两种角的语句一般都是错误的.三、特殊的相交线一一垂直；1.定义：两条直线相交，所成的四个角中有一个角为90°,那么这两条直线叫做互相垂直；其中一条直线叫做另一条直线的垂线；它们的交点叫做垂足，记作：4-L:.性质1：已知垂直=>90°；性质2：过任一点作已知直线的垂线有且只有一条：.判定：已知90°n垂直；.①点与直线之间的距离：垂线段的长度；②点与直线之间垂线段最短.【题型训练】.在下图中，Zl,N2是对顶角的图形是( ).(A)(B)(0(D)(A)(B)(0(D).平面上三条直线相交于一点，能构成对顶角的对数是（ ）.(A)12对(A)12对(B)6对 (05对 (D)4对.下列语句：①两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角互为对顶角；②有公共顶点并且相等的两个角是对顶角；③如果两个角是对顶角，那么这两个角一定相等；④如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角.其中正确的个数是（ ）.（A）l个 （B）2个 （03个 （D）4个.如图，直线AB、CD相交于点0,若NA0D+NB0C=236°,则NA0C的度数为（）.(A)62°(B)118° (A)62°(B)118° (072°(D)59°.如图，已知A0J_B0,D01C0,ZAOD=tt,则NBOC=().6.(A)180°-a1800-2a90°+a6.(A)180°-a1800-2a90°+a(D)2a-90°如图，下列条件：①Nl+N3=180°；②/1=N2；③N2=N4；@Z3+Z4=180°,其中能得到AB_LCD的条件有（）.7.(B)2个(D)4个(A)1个(C)37.(B)2个(D)4个(A)1个(C)3个如图所示，直线AB,CD相交于点0.(1)若0E平分NAOC,若NA0D-/D0B=50°,则NEOB=；(2)若NB0D=70°,0E把NAOC分成两部分，NAOE:NEOC=2:3,则NEOC=..如图，直线AB、MN、PQ相交于点0,则NAOM+NPOB+NQON=..如图，直线AB,CD相交于点0,若Nl-N2=70°,则NBOD=,Z2=.10.如图所示，直线10.如图所示，直线AB、CD相交于点0,作NDOE=NDOB,OF平分NAOE,若NA0C=36°,则NEOF二.11.如图，已知直线AB,CD,EF相交于点0,AB±EF,ND0E=127°,则NCOB=NDOF=°.

12.如图，直线MN,PQ交于点0,12.如图，直线MN,PQ交于点0,OE±PQ,OQ平分NMOF,若NMOE=40°,则NNOE=N c13.如图，直线AB、CD相交于点0,OE±AB,OF平分NCOB,ZA0C=32°,求/EOF的度数.EZNOF= 114.如图，MO±NO,0G平分NMOP,/PON=3NMOG,求NGOP的度数.O15.如图，直线AB,MN,PQ相交于点0,NBOM是它的余角的2倍，ZA0P=2ZM0Q,OG±OA,求NPOG的度数.15.如图，两直线AB、CD相交于点0,OE平分NBOD,如果NAOC：ZA0D=7：11.(1)求NCOE；(2)若OFJ_OE,NA0C=70°,求/COF.

第二课时第二课时【知识要点】TOC\o"1-5"\h\z四.“三线八角”一一同位角、内错角、同旁内角. E如图，两条直线AB、CD被第三条直线EF所截所形成的八个角.(Nl、N2、N3、N4、N5、N6、N7、Z8) " 2/1 .同位角 A 774 B(1)图中共有四对同位角：N1与N5、N2与/6、N3与N7、N4与N8；c~(2)形如“F"：两线同侧、截线同旁； ， D.内错角'F(1)图中共有两对内错角：N3与N5、N4与N6；(2)形如“Z"：两线之内、截线两旁；.同旁内角(1)图中共有两对同旁内角：N4与N5、N3与/6：(2)形如“C"：两线之内、截线同旁；.拓展推广：如图.图中共有对同位角；图中共有对内错角；图中共有对同旁内角.(提示：寻找“三线八角”基本图的个数)(D)4个(D)邻补角(D)4个(D)邻补角(D)5个.如图，NADE和).(A)同位角 (B)内错角 (C)同旁内角TOC\o"1-5"\h\z.图中，与N1成同位角的个数是( ).(A)2个 (B)3个 (04个.如图，能与NABC构成同旁内角的角( ).(A)l个 (02个 (03个.如图，关于/I和/2,说法正确的是( ).(A)直线AB和CD被BC所截得到的同位角 (B)直线AB和CD被BC所截得到的内错角(C)直线AB和CD被BC所截得到的同旁内角(D)直线AB和BC被CD所截得到的内错角.如图，AB±BC,CD±BC,NEBC=NBCF,NABE和NFCD的关系是().(A)是同位角且相等(A)是同位角且相等(C)是同位角但不相等(B)不是同位角但相等(D)不是同位角且不相等6.记于同枝角、向错角、同旁内篇下列说法：①构成锭三种角的两个角有公共顶点；②6.记于同枝角、向错角、同旁内篇下列说法：①构成锭三种角的两个角有公共顶点；②构成这三种角的两个角没有公共顶点；③构成这三种角的两个角的共线边所在直线是截线；④构成这三种角的两个角的共线边所在直线是被截线.其中正确是（ ）.（A）①③ （B）①④ （C）②③ （D）②④.如图，Z1与NC是两条直线与被第三条直线所截构成的角；Z2与NB是两条直线与被第三条直线一所截构成的角；ZB与NC是两条直线与被第三条直线所截构成的角..如图所示，Nl,N2,N3,Z4,N5,N6中，是同位角的有对；是内错角的有对；是同旁内角的有对..如图所示，同位角共有对；内错角共有对；同旁内角共有对.10.如图，填空.哪两条直线被哪条直线所截而成的什么角Z110.如图，填空.哪两条直线被哪条直线所截而成的什么角Z1和N5N3和N7Z6和N3NABC和ZBCDN2和N5分别平分NBMN和NMND,求证：N3+N4=90°.（不能使用三角形内角和定理，每步注明理由）第六讲平行线（1）【知识要点】.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作：4〃公.平行的公理：①过禀线处一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平行于同一条直线的两条直线互相平行;.平行线的判定定理一平行线的判定定理二平行线的判定定理三.平行线的性质定理一同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行：同旁内角互补，两直线平行;两直线平行，同位角相等：平行线的性质定理二平行线的性质定理三两直线平行，内错角相等：两直线平行，同旁内角互补:【新知讲授】例一、如图:①VZ1=Z2, // ②•.•NDAB+/ABC=180°,二//；(③；//,AZC+ZABC=180°；(④V//,/.Z3=ZC.(例二、补全下面的说理过程，并在括号内填上适当的理由.证明：如图，VAD±BC,EF1BC.（己知）ZADB=ZEFB=90°,(\EF//,(=ZE,( =Z1(；NE=N1,(已知),.NBAD=NCAD,(..AD平分NBAC.求证：AB>7CD.例三、已知，如图，BE平分NABC,CE平分NBCD,且Nl+N2=90°,*.AB〃CD.例四、例五、证明:例六、解：例七、证明:如图，EF〃AD,N1=N2,例四、例五、证明:例六、解：例七、证明:如图，EF〃AD,N1=N2,NBAC=75°.求NAGD,在下列括号中填写过程及理由.如图，E,F分别在AB,CD上，G是BC延长线上的一点，AD/7BG,Nl+N2=180°,试判断直线EF,BG的位置关系是怎样的？为什么？答：EF/7BG.证明：VAD/7BG,.\Z2=ZD.( VZ1+Z2=18O°,+N1=180。，；.AD〃EF,()；.EF〃BG.()已知：如图，NB=NC,/A=ND,求证：ZAMC-ZBND.TOC\o"1-5"\h\z；NB=NC, ( )//,( )/.ZA=.( )VZA=ZD, ( )•=,( ).//,().NAMC=. ( ),=,(对顶角相等 ).NAMC=NBND. ( )；EF〃AD,( ):.Z2=.()1/Z1=Z2,( )；.Z1=Z3,():.AB〃,()ZBAC+=180°.()VZBAC=75°,(已知)ZAGD=.ZE=ZF.完成下列推理过程.如图，已知：Z1=Z2,ZA=ZC,ZE=ZF.完成下列推理过程.；N1=N2,(已知)/.//，(/.ZABF=Z.(又；NA=NC,二NA=,/.AE//CF,(,NE=NF.(【题型训练】1.下列关于平行线的叙述，其中不正确的是（ ）.1.（A）在同一平面内，不相交的两条直线是一定平行（B）在同一平面内，不平行的两条直线是一定相交（C）在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线一定平行（D）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线一定垂直2.下列说法：①在同一平面内，过任意一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②在同一平面内，过任意一点有且只有一条直线与已知直线平行：③连接两点的线段的长度叫做两点间的距离；④点与直线间的垂线段的长度叫做点与直线间的距离；⑤夹在两平行线间的垂线段的长度叫做两条平行线间的距离.其中正确的个数是（ ）.2.3.（A）2个己知直线a3.（A）2个己知直线a、b、(04个(D)5个。在同一平面内，下列推论：①。〃6,h//c,则a〃c；@a.Lb,bLc,则a_Lc；®a//b,bLc,则a_Lc；®a±b,b//c,则a_Lc.其中正4.5.确结论的个数是（）.（A）1个 （B）2个如图，能判定AB//CD的条件是（(A)Z1=Z2(B)N3=N4(C)3个).(D)(C)ZA+ZABC=180°(D)N2=N5如图所示，下列条件中，能判断AB〃CD的是（）.(A)ZBAD=ZBCD(B)Z1=Z2(C)N3=N4(D)ZBAC=ZACDB6.(A)NA=NACE(B)NA=NECD(C)NB=NBCA(D)NB=NACE如图所示，不能判断直线平行的是（7.(A)N1=N3(B)Z2=Z3(C)/4=N5(D)N2+N4=180°下列图形中，由N1=N2,能得到AB〃CD的是（B如图所示，能判断AB〃CE的条件是（8.ABD(A)BD(B)BDC(D)的位置.若NEFB=65°,(09.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D,C分别落在D',C'(C)50°(D)25"(C)50°(D)25"则NAED'等于( ).(A)70° (B)65°

.如图直线/|〃，2，则/［为( ).(D)120°(A)150° (B)140° (C)(D)120°.如图，直线a,b被直线c所截，下列说法正确的是( ).(A)当N1=N2时，a//b(C)当a〃b时,Zl+Z2=90°(B)当a〃b时，/1=N2(D)当a〃b时，Zl+Z2=180°.如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点.这时，NABC的度数是().(A)120° (B)135° (C)150° (D)160°13.如图，有.一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果Nl=20°13.如图，有.一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果Nl=20°,那么N2的度数是().(A)30°(B)25°(020° (D)15°.如图，直线AB、CD相交于点0,0T_LAB于点0,CE〃AB交CD于点C,若NEC0=30则ND0T=().(A)30° (B)45° (C)60° (D)120°.如图，已知AB〃CD,BC平分NABE,NC=34°,则/BED的度数是()(A)17° (B)34° (C)56° (D)68°16.在同一平面内，直线16.在同一平面内，直线a,b满足下列关系时，写出它们的位置关系.a,b没有公共点，则a与b互相：a,b有且只有一个公共点，则a与b互相；a,b相交，且所形成的四个角中有一个角为90°,则a与b互相:P,Q都是a,b的公共点，则a与b互相..(1)如果a_Lb,c±b,那么a与c的位置关系是；(2)如果a〃b,c〃b,那么a与c的位置关系是；(3)同一平面上有a”a2，…，azo”这些直线，其中ai〃a2，a2±as»as〃a」…，那么直线ai与a2on的位置关系是.

.如图，/ACD=64°,Z1=2ZB,要使AB〃CD,则/B=..如图，若Nl=/2,则//；若/3=/4,则//.如图，AB〃CD,EF_LAB于点E,EF交CD于点F,已知Nl=60°,则/2=..如图，ADZ/BC,BD平分NABC,且NA=110°,则ND= ..如图，点E是DF上一点，点B在AC上，Z1=Z2,ZC=ZD,试说明DF〃AC的理由.理由：VZ1=Z2,(Z1=Z3,Z2=Z4,(；,N3=N4,A/一，(AZC-Z ,(又：/C=ND,( )AZ 二/ ,(；.DF〃AC.(.已知CD_LAD,DA±AB,N1=N.己知AE平分NCAB,CE平分NACD,ZCAE+ZACE=90°,求证：AB〃CD.DN2=,（两直线平行，内错角相等）））N2=,（两直线平行，内错角相等）））第七讲平行线（2）【知识要点】平行线的判定定理、性质定理的综合运用【新知讲授】例一、完成推理，填写理由.如右图，过E作EF〃AB,.,.Z1=Z5.（ VAB/7CD,（己知）；.EF〃CD,（ ZABD+ZBDC=180°,（ .,.Z4+Z5-ZBED.（等式性质）VZBED=90o,（已知）...N4+N5=90°,（等量代换）；.N3+N6=,（等式性质）VZ3=Z4,（已知）；.N5=N6,（）...BE平分NABD.（角平分线定义）例二、已知：如图，AB/7DE,ZB=80°,ZD=140",求NBCD的度数.解：过C点作CF〃DE.（VAB//DE,（；.DE〃 // ,°,ZDCF==180°.（VZB=80°，ZD=140°,（,ZBCF=NBCD=例三、如图，已知NB=25°,ZBCD=45°,NCDE=30°例四、探究：(1)如图，若NB+ND=NE,求证：AB/7CD；⑵如图，若AB〃CD,则NB+ND=NE,你能说明为什么吗？(3)如图，若AB〃CD,NABE、NCDE的平分线交于点F,探索NF与NE的数量关系;4 B(4)如图，若AB〃CD,NABE的平分线与NCDE的邻补角的平分线所在的直线交于点G,探索NG与NE的数量关系；GG(5)如图，若AB〃CD,探索NB、ND、NE之间的数量关系；A B

(6)如图，写出下列各图中NB、ND、NE之间的数量关系.⑥.例五、如图，已知直线'〃4,且4和4、4分别交于A、B两点，点P在直线AB上.(1)如果点P在A、B两点之间运动时，试找出Nl、N2、N3之间的关系并说出理由;(2)如果点P在AB的延长线上运动时，问Nl、N2、N3之间的关系是否发生变化？(3)如果点P在AB的反向延长线上运动时，试探究Nl、N2、N3之间的关系？CDCD例六、已知NA=N1,ZE=Z2,AE±CE,求证：AB〃DE.【题型训练】.如图，AB〃EF,ZC=90°,则a、B和丫的关系是( ).(A)B=a+Y(B)a+0+Y=18O° (C)a+B-丫=180° (D)P+y-a=180".如图，已知AB〃CD,Zl=130°,Z2=120°,则Na=..如图，如果AB〃CD,则Na,Z/?.N7之间的数量关系是..如图，已知直线a〃b,Nl=40°,Z2=60°,则N3等于.)))).如图，已知IJ/jAB_L/|,ZABC=130°,贝lj/a=..如图，AB/7CD,NEFA=30°,NFGH=90°,NHMN=30°,ZCNP=50",贝1!NGHM=..如图，直线AB〃CD,EG平分NAEF,EH±EG,且平移EH恰好到GF,则下列结论：①EH平分NBEF；②EG=HF；③FH平分NEFD：④NGFH=90°.其中正确结论的个数是( ).(A)l个 (B)2个 (03个 (D)4个.如图，AB/7CD,0E平分NBOC,0F_L0E,0P±CD,ZAB0=40o,下列结论：①NB0E=70°；②OF平分NB0D；③NPOE=NBOF；④NP0B=2ND0F.其中一定正确的结论有( ).(A)①②®® ⑻®®③ (C)®®④ (D)®0④；.AB〃,(ZBAC+=180".(又；NBAC=70°,(二ZAGD= .10.已知：如图，AD1AB,AD±CD,A、D分别为垂足，BE、CF分别平分NABC、ZDCB,求证：BE〃CF.证明：・.・AD_LAB,AD1CD.:. = =90°.・・・AB〃CD.(AZ=Z同理：AZ =N ()，BE〃CF. (11.己知：如图，ABJ_BC于B点，AE、DE分别平分NBAD、ZADC,求证：CD1BC.A证明：•..AE、DE分别平分NBAD、ZADC.()NBAD= ,ZADC- .()AZBAD+ZADC= .()VZ1+Z2=9O°.(B(・・(・•・//.(•••(VAB±BC.(:.Z =90°.(AZ =90°.(.\CD±BC.(12.己知：如图，AB±BC,AC平分NBCD,Z1=Z2,求证:AB±AD.证明：:AC平分/BCD.()A弋•••.()VZ1=Z2.().()//.(二(〈BE平分NABC.Zl+Z2=90°,VAB±BC.:•乙 二90。.AZ =90°..\AB±AD.13.已知：如图，N1=N2,N3=N4,N5=N6,求证：AC#DE.E证明:VZ3=Z4. ( )Z\()a/二/ =N ^ ( )本A：N5=N6. ( )BcAZ =Z . ( )...AD〃BC. ()Z =Z . ()VZ1=Z2. ()AZ =N . ()；.A(:〃DE. ()14.已知：如图，Zl+Z2=180°,N3=NB,求证：ZAED=ZACB.A证明:VZ1+Z2=18O°. ( )+ =180°.( )Dy/，N =N . ( )%；.AB〃EF. ( )z=N ( )BcVZ3=ZB. ( )/..()ADEZ/BC. ()ZAED=ZACB. ()15.已知：如图，AD±AB,AD_LCD,A、D分别为垂足，BE、CF分别平分NABC、ZDCB,求证：BE〃CF.D16.如图，ABJ_BC于B点，AE、DE分别平分NBAD、ZADC,Zl+Z2=90°，求证：CD±BC.17.17.已知：如图，AB1BC,AC平分NBCD,Z1=Z2,求证：AB±AD.18.己知：如图，Zl+Z2=180°,Z3=ZB,求证：ZAED=ZACB.BCBC19.如图，AC±AB,EF1BC,AD±BC,N1=N2,求证：DG±AC.20.如图,20.如图,CD平分NACB,AC〃DE,CD〃EF,求证：EF平分NDEB.AA21.如图,求证:BDC21.如图,求证:BDC在AABC中，CE_LAB于E,DFJ_AB于F,AC〃ED,CE是NACB的平分线./EDF=NBDF.

第八讲三角形(1)【知识要点】一、三角形.概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连..几何表示：①顶点：②内角、外角；③边；④三角形..三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线.二、三角形的三边关系引例：已知平面上有A、B、C三点.根据下列线段的长度判断A、B、C存在的位置情况:(1)AB=9,AC=4,BC=5；A、B、C存在的位置情况是：(2)AB=3,AC=10,BC=7；A,B、C存在的位置情况是：(3)AB=5,AC=4,BC=8；A、B、C存在的位置情况是：(4)AB=3,AC=9,BC=10；A、B、C存在的位置情况是：(5)AB=4,AC=6,BC=12；A、B、C存在的位置情况是：总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围.已知BC=a,AC=b,AB=c.A,B、C三点在同一条直线上，则a,b,c满足：；(2)若构成AABC,则a,b,c满足：.已知BC=a,AC=b,AB=c)且aVb<c.(DA,B、C三点在同一条直线上，则a,b,c满足：(2)若构成△ABC,则a,b,c满足：【新知讲授】例一、如图，在AABC中.①AD为aABC的中线，则 = =- ； 2 ②AE为AABC的角平分线，则= =' ； 2 ③AF为AABC的高线，则==90°；④以AD为边的三角形有 ⑤NAEC是的一个内角；是的一个外角.例二、已知，如图，BD±AC,AE±CG,AF±AC,AG1AB,则4ABC的BC边上的高线是线段( ).(A)BD(B)AE(C)AF(D)AG例三、(1)以下列各组长度的线段为边，熊构成三角形的是( ).(A)7cm,5cm,12cm (B)6cm,8cm,15cm(C)4cm,6cm,5cm (D)8cm,4cm,3cm(2)满足下列条件的三条线段不熊组成三角形的是.(只填写序号)①a=5,b=9,c=7；②a:b:c=2：3：5；③1,a,b,其中l+a>b；④a,b,c,其中a+b>c；⑤a+2,a+6,5；⑥aVbVc,其中a+b>c.例四、已知三角形的三边长分别为2,5,x,则x的取值范围是.发散：①己知三角形的三边长分别为2,5,2x-l,则x的取值范围是.②已知三角形的三边长分别为2,5,三;竺，则x的取值范围是.③已知三角形三边长分别为2,X,13,若x为正整数，则这样的三角形个数为( ).(A)2 (B)3 (05 (D)13④已知三角形的三边长分别为2,5,则三角形周长2的取值范围是.⑤已知一个三角形中两边长分别为a、b,且a>b,那么这个三角形的周长1的取值范围是.(A)3b<^<3a (B)2a<f<2a+2b (C)a+2b<f<2a+b (D)a+2b<<3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5,14-3x,2x+3.(1)则x的取值范围是；(2)则它的周长£的取值范围是；(3)若它是一个等腰三角形，则x的值是.发散：①已知三角形的三边长分别为2,5-x,x-1,则x的取值范围是.②已知三角形两边的长分别为3和7,则第三边a的取值范围是；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为.③已知等腰三角形腰长为2,则三角形底边a的取值范围是;周长W的取值范围是，④已知三角形三边的长a、b、c是三个连续正整数，则它的周长6的取值范围是.若它的周长小于19,则满足条件的三角形共有个.⑤若a、b、c是aABC的三边长，化简|a+b—c|+|a—b—c1的结果为( ).(A)2b (B)0 (C)2a (D)2a-2c⑥已知在aABC中，AB=7,BC：AC=4：3,则AABC的周长2的取值范围为.【题型训练】TOC\o"1-5"\h\z.以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm,3cm.5cm(B)5cm.6cm»10cm(C)1cm,1cm,3cm(D)3cm,4cm.9cm.各组线段的比分别为①1：3：4：②1：2：3：③1：4：6；@3：4：5；⑤3：3：6.其中能组成三角形的有( ).(A)l组 (B)2组 (C)3组 (D)4组.已知三角形的三边长分别为6,7,x,则x的取值范围是( ).(A)2<x<12 (B)l<x<13 (C)6<x<7 (D)l<x<7.已知三角形的两边长分别为3和5,则周长0的取值范围是( ).(A)6V2<15 (B)6<^<16 (C)11<^<13 (D)10<^<16.已知等腰三角形的两边长分别为5和11,则周长是( ).(A)21 (B)27 (C)32 (D)21或27.等腰三角形的底边长为8,则腰长a的范围为..等腰三角形的腰长为8,则底边长a的范围为..等腰三角形的周长为8,则腰长a的范围为；底边长b的范围为..三角形的两边长分别为6,8,则周长2的范围为..三角形的两边长分别为6,8,则最长边a的范围为..等腰三角形的周长为14,一边长为3,则另两边长分别为.15.若a、b、c分别为AABC的三边长，则Ia+b-c|-Ib-c-aI+Ic-b-aI=.17.已知在△ABC中，17.已知在△ABC中，AB=AC,为4厘米的两个三角形,它的周长为16厘米，AC边上的中线BD把AABC分成周长之差求AABC各边的长. aABC18.等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC中，AB=AC,BD为AABC的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长.22.阅读理解题.分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长.22.阅读理解题.我们在课本学习了造桥选址问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一（假定河的两岸是平行的直线,图⑴座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路经AMNB最短？桥要与河垂直）（假定河的两岸是平行的直线,图⑴解：如图（1）,将A沿垂直于河岸的方向平移到A',使A4'等于河宽，连接A'8交于N,过N作于M,连AM,则在N处造桥才能使A到B路经AMNB最短.理由：设N'为4上除N外任一点，过N'作N加'Uj于M',连AM'、BN'、A'N',则N'可看作是由M'沿垂直于河岸方向平移河宽得到.,:A'是由A沿垂直于河岸方向平移河宽而得，...AM'=A'N'.同理：AM=A'N.,:A'N'+N'B>A'B,（三角形的两边之和大于第三边），.'.AM+NBYAM'+N'B.-MN=M州'=河宽,...AM+MN+NBVAM'+N'M'+N'B.请你根据所学的知识帮助选择桥址（1）某大学被宽为m的街道分成两部分（如图2）P为宿舍区，Q为教学区，为了方便师生及过街安全，学校准备架设一座与街道垂直的人行天桥，请你用所学知识帮助选择桥址，才能使P、Q之间的距离最短，说明理由：（2）若该大学被宽分别m、n的两条平行街道分割成两部分（如图3）,P为宿舍区，Q为教学区，准备架设两座天桥，请你帮助选择桥址，才能使P、Q之间的距离最短。（不写理由）P•P•aTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument" a bb c d•Q- -Q图（2） 图（3）发散探索：①如图,②如图,③如图,④如图,发散探索：①如图,②如图,③如图,④如图,第九讲三角形（2）【知识要点】一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（ZA+ZB+Z1=18O°三、三角形的内角和定理的推论：①直角三角形两锐角互余；②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（N2=/A+NB）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角;四、n边形的内角和定理：（n-2）X180°；五、n边形的外角和为360°.【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为;正五边形的每个内角的度数为:正六边形的每个内角的度数为;正八边形的每个内角的度数为;正十边形的每个内角的度数为；正十二边形的每个内角的度数为.②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是.③若一个正多边形的每一个内角都等于144。，则它的边数是.④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍。，则它的边数是.⑤若一个正多边形去掉一个内角后，其余内角度数的各为2120°,则去掉的这个内角的度数为，它的边数是.例二、如图，已知Nl=60°,ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=?ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=NA+NB+/C+ND+NE+NF+NG=NA+NB+NC+ND+NE+NF=ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=

⑤如图，延长凸五边形ABCDE的各边，相交得到五个角NMi、NMz、NM3、NM,、/Ms,它们的和为；延长凸六边形ABCDEF的各边，相交得到六个角的和为;延长凸n(n25)边形的各边，相交得到的n个角的和为.;⑥如图，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=；⑦如图，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=；例三、已知：如图，^ABC中，ZA=50°,两条角平分线BD、CE交于点I,求NBIC的度数.发散探索：(1)如图，AABC中，NABC、NACB的平分线交于点I,探求NI与NA的关系;AB例四、直接写出ND与NA、NB、NC之间的数量关系.如图,例四、直接写出ND与NA、NB、NC之间的数量关系.如图,(2)如图，在AABC中，ZABC,NACB的外角NACD的平分线交于点I,探求/I与NA的关系;(3)如图，在AABC中，NABC的外角NCBD、NACB的外角NBCE的平分线交于点I,探求NI与NA的关系.箭形:；蝶形:箭形:发散探索一：如图，NABD、NACD的平分线交于点I,探索NI与NA、ND之间的数量关系.发散探索二：如图，NABD发散探索二：如图，NABD的平分线与NACD的邻补角/ACE的平分线所在的直线交于点I,探索NI与NA、ND之间的数量关系.发散探索三：如图，NABD的邻补角NDBE平分线与NACD的邻补角NDCF的平分线交于点I探索NI与NA、ND之间的数量关系.【题型训练】1.【题型训练】1.如图，AABC中，BD、CE为两条角平分线,若NBDC=90°,ZBEC=105",求NA.2.如图，AABC中，BD、CE2.如图，AABC中，BD、CE为两条角平分线,若NBDC=NAEC,求NA的度数.B.如图，在AABC中，BD为内角平分线，CE为外角平分线，若NBDC=125°,NE=40°,求ZBAC的度数..如图，在AABC中，BD为内角平分线，CE为外角平分线，若NBDC与NE互补，求NBAC

的度数. 广.如图，Z\ABC中，BD、CE为两条外角平分线，若ND=50°,ZE=55°,求NBAC..如图，AABC中，BD、CE为两条外角平分线，若ND与NE互余，求NBAC的度数..如图，ZkABC中，BD,CE为两条外角平分线，若/D=30°,ZE=15",求NA的度数..如图，ZiABC中，BD、CE为两条外角平分线，若/D+NE=45°,求NA的度数..如图，在AABC中，ZA=60°,BP、BQ三等分/ABC,CP、CQ三等分ZACB.(1)直接写出：/BPC的度数为,NBQC的度数为； a(2)连接PQ,求/BPQ的度数. /\/P第十讲三角形（3）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD中，NA=NC=90°,BE、DF分别平分NABC、ZADC,请你判断BE,DF的位置关系并证明你的结论.BE,DF的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD中，NA=NC=90°,NABC的外角平分线与NADC的平分线交于点E,请你判断BE、DE的位置关系并证明你