运用待定系数法求数列通项公式的步骤

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房静

待定系数法是解答高中数学问题的重要方法.有些递推式较为繁杂，直接利用等差、等比数列的通项公式很难求得数列的通项公式，此时可奇妙利用待定系数法，根据递推式构造出一个辅助数列，通过求辅助数列的通项公式求得问题的答案.而运用待定系数法求数列的通项公式的步骤是：

1.引入待定系数，将递推式表示成另一种含有待定系数的式子;

2.利用恒等式的性质建立关于系数的方程或方程组;

3.解方程或方程组求得待定系数的值，构造出辅助数列;

4.求得辅助数列的通项公式;

5.由辅助数列的通项公式得到数列的通项公式.利用待定系数构造的辅助数列可以是差数列、等

比数列、常数列，或形如an+1-an=fn、=fn

的数列，这样便可根据等差、等比数列的通项公式、累

加法、累乘法求得辅助数列的通项公式.

例1.已知数列an中a1=1，an+1=3an+1，求数列an的通项公式.

解：由an+1=3an+1可设an+1+x=3an+x，即an+1=3an+2x，

则2x=1，即x=

，

所以an+1+

=3è（æ）an+ø（ö），等比数列，

得an+

=è（æ）a1+

ø（ö）∙3n-1，

则数列an的通项公式为an=

.

运用待定系数法由形如an+1=Aan+B的递推公式求数列的通项公式，可首先根据递推式引入待定系数x，设an+1+x=Aan+x，将其与递推式中an+1、an的系数相对比，得A-1x=B，求得x的值，便可构造辅助数列an+x，求得该数列的通项公式，即可得到数列an的通项公式.

例2.已知数列an中，a1=-1，an+1=3an-2n+3，求数列an的通项公式.

解：设an+1+An+1+B=3an+An+B，∴an+1=3an+2An+2B-A，

将其与an+1=3an-2n+3比较，

∴数列an-n+1是首项为-2、公比为3的等比数列，

可得：an-n+1=-3n-1，

∴an=-3n-1+n-1.

对于形如an+1=pan+qn+C的递推式，在用待定系数法求数列的通项公式時，可引入待定系数A、B，将递推式设为an+1+An+1+B=pan+An+B，再将其变形，通过比较n的系数与常数项，建立关于A、B的方程组，求得A、B的值，构造辅助数列an-An+B，即可求得数列的通项公式.

例3.已知数列an中，a1=-1，且an+1=2an+4×3n-1，求数列an的通项公式.

解：设an+1+α∙3n+1=2an+α∙3n，

∴an+1=2an-α∙3n，

∵an+1=2an+4×3n-1，

∴α=-

∴数列an-∙3n是首项为-5、公比为2的等比数列，

∴an-∙3n=-5∙2n-1，

即an=4∙3n-1-5∙2n-1.

运用待定系数法由形如an+1=Aan+Bqn-1的递推式求数列的通项公式，需引入待定系数x，设递推式为an+1+x∙qn+1=Aan+xqn-1，根据恒等式的性质，建立关于x的方程，求得x的值，即可构造辅助数列an+xqn-1.

可见，对于形如an+1=Aan+B、an+1=pan+qn+C、an+1=Aan+Bqn-1的递推式，采用待定系数法来求数列的通项公式十分有效，能将繁杂的数列通项公式问题转化为常规的，易于求解的数列通项