数理经济学第6章课后题

数理经济学第6章课后题数理经济学第6章课后题17/17数理经济学第6章课后题第六章习题答案1．考虑以下最优化问题maxyx1x12x121s.t.x1,x20用图解法解此题。并检验均衡解点可否满足（1）拘束规格；（2）库恩—塔克极大化条件解：x2AOBx1可行域为OAB利用图解法求的均衡点为B(1,0)，maxy1关于B(1,0)来说，有x12x2211，因此该拘束规格是紧的。成立拉格朗日函数L(x1,x2,)x1(x12x221)L12x1x20x1L2x20B(1,0)吻合KT条件x2(x12x221)00,x12x22102．考虑以下最优化问题minyx1x12x20s.t.x1,x20用图解法解此题。并检验均衡解点可否满足（1）拘束规格；（2）库恩—塔克极大化条件解：利用图解法求的均衡点为o(0,0)，miny0求法同上，可知拘束规范是紧的成立拉格朗日函数L(x1,x2,)x1(x12x2)L12x10x1L0o(0,0)吻合KT条件x2(x12x2)00,x12x20x2Ox1考虑以下最优化问题minyx13s.t.x2

x1x200检验均衡解点可否满足（1）拘束规格；（2）库恩—塔克极大化条件解：x2x1利用图解法求的均衡点为o(0,0)，miny0求法同上，可知拘束规范是紧的成立拉格朗日函数L(x1,x2,)x1(x13x2)L13x120x1L0o(0,0)不吻合KT条件x2(x13x2)00,x13x204．写出下面优化问题的一阶必要条件maxf(x,y,z)xyzx2y2z22s.t.0x,y,z解：L(x1,x2,)xyz(x2y2z22)一阶必要条件为：L12x0xL12y0yL12z0zy2z20,(x22)05．求解下面最优化问题minyx1x2maxx2x4y2x1x20（1）2x2y1（2）x1x26s.t.x,y0s.t.1x2x1,x20miny40x15x210x3maxf(x1,x2)x1x225x1x210（3）（4）x12x2242x1x330s.t.s.t.x10,x20x1,x2,x30maxyx1x2（5）x1x216s.t.x1,x20解：（1）L(x,y,)x2x4y2(2x2y1)一阶必要条件为：L2x120xL208yy(2x2y1)00,2x2y1解得x3,y1,41055（2）图解法x2BAC0x1可行域为x3,y1,4，均衡解点A(1,1)miny21055(3)L(x1,x2,x3,1,2)40x15x210x31(105x1x2)2(302x1x3)一阶必要条件为：L5120402x1L5x2L10x3

001(105x1x2)02(302x13x3)01,20,5x1x2102x1x330(4)L(x1,x2,)x1x22(x12x224)一阶必要条件为：Lx1

12x10L2x22x20x2(x12x224)00,x12x224解得x12,x20,14(5)L(x1,x2,)x1x2(x1x216)一阶必要条件为：Lx20x1Lx10x2(x1x216)00,x1x216解得x1x286．考虑以下最优化模型maxyx1x2(1x1)30s.t.0x1,x2证明：（1）均衡解x1,x21,0不满足库恩-塔克条件；（2）当引进新乘数00，把拉格朗日函数更正成以下形式mZ0

0fx1,x2,

,xn

i

ri

g

x1,x2,

,xn

，i1则在点

1,0

处满足库恩

-塔克条件。解：（1）L(x1,x2,)x1(1x1)3x2一阶必要条件为：L13(1x1)20x1L0x2(1x1)3x200,(1x1)3x20不吻合K-T条件。（2）此时，L(x1,x2,,0)0x1(1x1)3x2一阶必要条件为：L03(1x1)20x1L0x2(1x1)3x200,(1x1)3x20当00时，吻合K-T条件7．花销者对两种商品的偏好用功能函数表示为U(x1,x2)x1x2假设花销者的收入为12元，两种商品价格分别为p11,p22。试求最优的商品组合。解：由题意知，PxPxx2x12112212L(x1,x2,)x1x2(x12x212)一阶必要条件为：Lx20x1x1Lx120x2x2(x12x212)00,x12x212解得x16,x223,28．求解花销者问题maxU(x)x1lnx2s.t.p1x1p2x2M功能极大值点，并利用二阶充分条件判断极大值点可否为最大化值点。解：L(x1,x2,)x1lnx2(p1x1p2x2M)一阶必要条件为：L1p10x1Lp20x2x2(p1x1p2x2M)00,p1x1p2x2M解得x1M,x2p1,1p1p2p100p1H0x22p2p1p20考据其为负定。9．一个花费者生活在小岛上，那边只生产两种产品，x和y，生产可能前沿是x2y2200，他花销所有的产品，她的功能函数是Uxy3，这个花销者同时面对环境关于她所能生产的两种产品总数上的拘束，拘束条件是xy201）写出库恩—塔克一阶条件2）求花销者最优的x和y，确定拘束条件可否发挥限制作用。解：（1）L(x1,y,1,2)xy31(x2y2200)2(xy20)K-T一阶条件为：Ly321x20xL3xy221y20x21(x2y2200)02(xy20)01,20,x2y22000xy200（2）假设第二个拘束条件（定量配额）没有发挥作用，由互补废弛性得20，故有3y21x023xy21y01(x2y2200)0解得x52,y56,1753，因xy20故为K-T条件最后解。反之21y3203xy2202(xy20)0解得x5,y15,23375，因x2y2200故被拒绝。10．一家电子公司在外国成立一个发电站。现在需要规划其产能。电力需求的巅峰时段的需求函数是P1400Q1,非巅峰时段的需求函数是P2380Q2。变动成本是20（两个市场都要支付），产能成本是每单位10，只要一次支付并且可以在两个时期中使用。1）写出这个问题的拉格朗日条件和库恩—塔克条件。2）求出这个问题中的最优产量和产能。3）每个市场分别能支付多少（即1和2的值是多少）4）现在假设产能成本是每单位30（只要要支付一次）。求出数量、产量以及每个市场为产能所支付的花销（即1和2）。11．给定最优化问题minyF(x)Gi(x)rii1,2,,ms.t.x0,（1）为了获取可应用的极大化的充分条件，哪些凹—凸条件需要追加在F和Gi上？（2）论述极小化问题的库恩—塔克条件。解：（1）关于极大化问题，存在以下充分条件：maxyf(x)gj(x)bj,(j1,2,,m)s.t.xi0,(i1,2,,n)若是满足：a.目标函数f(x)为凹函数且可微；b.每个拘束函数gj(x)为凸函数且可微；c.点x满足库恩—塔克极大化条件。则点x为目标函数yf(x)的整体极大值点。关于极小化问题，存在以下充分条件：minyf(x)gj(x)bj,(j1,2,,m)s.t.xi0,(i1,2,,n)若是满足：a.目标函数f(x)为凸函数且可微；b.每个拘束函数gj(x)为凹函数且可微；C.点x满足库恩—塔克极小化条件。m（2）构造拉格朗日函数(,)( )i[Gi(x)]，若是若x为该问题的均衡解，Lxλfxrii1则存在拉格朗日乘数λ0使得（x）满足库恩—塔克必要条件：,λL(x,λ)0x0xL(x,λ)xx0L(x,λ)0i0iL(x,λ)0i1,2,,mii12．关于下面问题，库恩—塔克充分性定理可否适用miny(x13)2(x24)2miny2x1x2（1）x1x24，（2）x124x1x20s.t.x1,x20s.t.x1,x2013．考虑以下模型minyx12x22s.t.

x1x22x10,x20a）库恩—塔克充分性定理可以应用这个问题吗？库恩—塔克极小值条件是充分必要条件吗？（b）写出库恩—塔克条件，并求解最优值（x1,x2）。由库恩·塔克充分性定理知：要满足：a.目标函数f(x)为凸函数且可微；b.每个拘束函数gj(x)为凹函数且可微；（1）中，f(x)(x13)2(x24)2为两个凸函数之和，故为连续可微凸函数；g(x)为线性函数，连续可微凹函数。（2）（2）中，f(X)2x1x2为线性函数；g(x)为凸函数与线性函数之和，不为凹函数，故，不满足充分性条件。（1）满足上题a.b条件，即可适用充分性定理：题中f(X)x12x22为两个凸函数之和，为连续可微凸函数；g(x)为线性函数，故，满足充分性定理；又，为满足必要性定理，则需满足拘束规格：任意x，存在g(x)1,g(x)1，梯x1x2度矩阵秩为1，故，满足拘束规格。（2）极小化问题的带非失约束的库恩—塔克一阶必要条件为：构造拉格朗日函数L(x,)f(x)[g(x)r]，若是若x为该问题的均衡解，则存在拉格朗日乘数λ0使得（x,λ）满足库恩—塔克必要条件：L(x,λ)xi0xiL(x,λ)00i1,2,,mxixiL(x,λ)0L(x,λ)00解：构造拉格朗日函数L(x1,x2,)x12x22(x1x22)库恩—塔克一阶必要条件为(1)L2x10x10x1L0x1x1LLx22x20x20x2x20(2)L2(x1x2)00L0解之得，a.若λ0，则可得x10,x20，与（2）式矛盾。b.若λ0,x10，则x22,4，也许λ0,x20，则x12,4，均与（1）矛盾；C.若λ0,x10,x20，则可得λ2,x11,x21，综上，（1,1）为其极值点。14．给定非线性规划问题22maxyx12x1x2试确定满足该问题的库恩—塔克条件的点，并且1）在这些点处，检验拘束规格可否成立；2）在这些点处，检验库恩—塔克充分性定理可否成立。解：构造拉格朗日函数：L（x1,x2,）x122x1x22(x12x221)，则均衡解(x1,x2)满足以下的一阶必要条件：L2x122x10,x1（1）L2x22x20,x2（2）(x12x221)0（3）x12x221,0解之得，满足上面式子的解为x11,x20,0。（1）检验拘束规格，g(x)2x1,g(x)2x2，带入（-1,0）得矩阵（-2,0），秩为1，满x1x2足线性独立拘束规格；（2）下面考据二阶充分条件，由于g(x1,x2)0，因此m01。构造以下海塞加边矩阵2(1)02x1H02(1)2x22x12x20考据后一个(nm0211)加边主子式H2的符号即可。在(x,y,)(1,0,0)点处，H20，与(1)2同号，因此(1,0)是目标函数f(x,y)的一个极大值点。15．假设两种投入要素的生产函数21，其中，x1,x2分别为两种要素的投入量。y3350x1x2,假设两种要素投入的价格向量w(6,4)，每个月花销支出不高出10000，为使每个月的产出极大化，该厂商应该如何安排每个月的要素投入量（要求检验二阶充分条件）。解：有题目得极大化模型为：21maxy50x13x23s.t.6x14x210000x10,x20第一考据拘束规格，梯度矩阵秩为1，满足拘束规格；构造拉格朗日函数21L(x1,x2,)50x13x23(100006x14x2)库恩—塔克一阶必要条件为(1)L100x13x2360x10x1L011x1340x20x2x10L50x13x23L22x23x2(2)L100006x14x2)00L0解之得，满足上式的极大值解为(10000,2500)。93检验二阶充分条件，由于g(x1,x2)100x13x2341H9x13x210031296

0，因此m01。构造以下海塞加边矩阵100x13x236129x13x23410025940考据后一个(nm0211)加边主子式H2的符号即可。在(x,y)(10000,2500)10000250093点处，H20，与(1)2同号，因此(,)是目标函数f(x,y)的一个极大值点。9316．考虑下面最优化问题maxyx12x22x324x16x2x1x22s.t.2x13x212x1,x2,x30写出与其对应的拉格朗日函数以及一阶必要条件，并求出该函数的鞍点。解：对应的库恩塔克条件为:L0,L0,x0xxxL0,L0,0分四种情况谈论：L(x1x22)0（1）1,0,1，解矛盾，舍去2L(2x13x212)02（2）10,20,则L0，解得（24,36,0,0,2）是可能的极值点2131313（3）10,20，则L0，解得（1,3,0,3,0），（0,2,0,2,0）是可能的极值点122（4）120，解得（2,0,0,0,0）是可能的极值点。17．考虑下面最优化问题miny

(1x)1xs.t.x01）证明该问题得拉格朗日函数在可行域内没有鞍点；2）考虑该问题的等价形式(1x)(1x)mines.t.

ex1x0其中0为参数。该问题得拉格朗日函数可否也不存在鞍点？是说明原由。解：（1）拉格朗日函数为1xL(x,)x(x1)1x库恩—塔克一阶必要条件为L0xg00,g0解得0,或x0该拉格朗日函数载可行域内没有鞍点。1x(ex（2）拉格朗日函数为L(x,)e1x1)库恩—塔克一阶必要条件为L0xg00,g0g0时，ex10,x0，该拉格朗日函数载可行域内没有鞍点。18．考虑极大化问题maxyx1x2x1x2as.t.0x1,x2（1）求目标函数的最优值在a1处的导数。（2）依照（1），估计出当a由1变为时，目标函数的最优值的改变量为多少？估计新问题目标函数的最优值。解：拉格朗日函数为L(x,)x1x2(x1x2a)库恩—塔克一阶必要条件为L0,Lx10,x10xx11L0,Lx20,x20x2x2L0,L0,0Lx2x1可得，Lx1x2L(x1x21)当0时，x1x20，x10,x20,时(x21)0,x21；x20,x10时，x11；x20,x10时，(x1x21)10；故（0,0）是极值点。同理，0时，函数最优解为（111=12，，），。22219．考虑极大化问题maxyx1x2s.t.x1bx2a利用包络定理解决下面的问题：（1）求目标函数的均衡解在(a,b)(16,4)处分别关于a和b的偏导数。（2）依照（1），估计当b4、a由16变为16.03时，目标函数的均衡解的改变量为多少？估计新问题目标函数的均衡解？（3）依照（1