工程应用数学电子教案 拉普拉斯变换课件

第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计算拉普拉斯逆变换的计算拉普拉斯变换的应用用Matlab进行拉普拉斯运算引子第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计1拉普拉斯变换的作用（1）求解常系数线性微分方程的有力工具（2）分析和综合自动控制系统的运动过程和脉冲电路的工作过程中有广泛应用拉普拉斯变换的作用（1）求解常系数线性微分方程的有力工具（2拉普拉斯变换的知识网络图拉普拉斯变换的概念常用函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换表的使用拉普拉斯逆变换拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的知识网络图拉普拉斯变换的概念常用函数的拉普拉斯3第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计算拉普拉斯逆变换的计算拉普拉斯变换的应用用Matlab进行拉普拉斯运算第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计4引例

在研究激励和响应系统之间的关系时（建立的函数关系式通常是一种线性微分方程），主要是通过研究传递函数（响应函数的拉普拉斯变换与激励函数的拉普拉斯变换之比），建立微分方程模型解决问题的，因此，拉普拉斯变换是经典控制理论的数学基础.在电路理论和自动控制理论中，通常把系统的外加电动势看成这个系统随时间变化的输入函数，称为激励函数

，而把电容器两端的电压看成是系统随时间变化的输出函数，叫做响应函数，如图. 激励系统特性响应引例 在电路理论和自动控制理论中，通常把系统的外加电动势5引例

——转化为拉普拉斯变换后解决问题

那么什么叫拉普拉斯变换呢？在电气工程学科中还经常会出现的积分问题，但由于是发散的，因此无法进行计算，在这种情况下，一般都是通过将函数乘上因子变成绝对可积函数后解决问题的.拉普拉斯变换的实质是什么呢？

引例——转化为拉普拉斯变换后解决问题那么什么叫拉普拉斯变6定义

或定义或7注意：（2）拉氏变换的本质是一种积分变换例如：又如：注意：（2）拉氏变换的本质是一种积分变换例如：又如：8第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计算拉普拉斯逆变换的计算拉普拉斯变换的应用用Matlab进行拉普拉斯运算第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计9求一个给定函数的拉氏变换，可用方法二：基本公式法

方法三：性质法

方法一：定义法

求一个给定函数的拉氏变换，可用方法二：基本公式法方法三：10方法二：基本公式法

方法三：性质法

方法一：定义法

方法二：基本公式法方法三：性质法方法一：定义法11例

求函数的拉氏变换解

由拉氏变换的定义例求函数的拉氏变换解由拉氏变换12案例

在自动控制系统中，由于开关的闭合或信号的突变等原因，系统中经常会出现一个“突加作用信号”，用函数表示，如图.试求它的拉氏变换.案例在自动控制系统中，由于开关的闭合或信号的突变试求它的拉13解

由拉氏变换的定义注意:

1、这个结论成立的条件是，否则积分不收收敛2、单位阶跃函数向右平移个单位后，解析式为解由拉氏变换的定义注意:1、这个结论成立的条件是14案例

在研究跟随系统时，经常以一种由弱到强做均匀变化的信号作为典型的输入信号，这种信号函数称为斜坡函数，记为：（为常数），试求该函数的拉氏变换.解

由拉氏变换的定义同样，结论成立的条件是案例在研究跟随系统时，经常以一种由弱到强做均匀变化的信解15在自动控制系统中，瞬时的扰动（冲击）信号常用单位脉冲函数表示，如图.在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流，机械系统受冲击力作用后的运动情况等也要用到，它的拉氏变换等于1注意：

单位阶跃函数对时间的导数即为单位脉冲函数，反之，单位脉冲函数对时间的积分即为单位阶跃函数在自动控制系统中，瞬时的扰动（冲击）信号常用在研究线性电路在16例试求单位脉冲函数的拉氏变换解例试求单位脉冲函数的拉氏变换解17例求函数的拉氏变换解例求函数的拉氏变换解18例解根据定义求函数的拉氏变换例解根据定义求函数的拉氏变换19方法二：基本公式法

方法三：性质法

方法一：定义法

方法二：基本公式法方法三：性质法方法一：定义法20工程应用数学电子教案第三章拉普拉斯变换课件21方法二：基本公式法

方法三：性质法

方法一：定义法

方法二：基本公式法方法三：性质法方法一：定义法22引例

在信号系统中，由于系统的不稳定或外界因素的影响，我们经常会碰到信号强弱跳动的情况，因此常用分段信号函数表示这种情况，试将它用一个式子表示出来引例在信号系统中，由于系统的不稳定或外界因素的影响，23解

根据单位阶跃函数的性质知所以有解根据单位阶跃函数的性质知所以有24那么如何求该函数的拉氏变换呢？一般地，利用拉氏变换的性质求解复杂函数的拉氏变换那么如何求该函数的拉氏变换呢？一般地，利用拉氏变换的性质求25拉氏变换的性质

性质1【线性性质】若为常数，函数的拉氏变换存在，且则表明：函数线性组合的拉普拉斯变换等于函数拉普拉斯变换的线性组合。性质1可以推广到有限个函数的线性组合形式。拉氏变换的性质性质1【线性性质】若为常数，函数26例

解

查公式法的表可知所以例解查公式法的表可知所以27例

解

查公式法的表可知例解查公式法的表可知28性质2【位移性质】性质2【位移性质】29例

解

求的拉普拉斯变换因为所以，由性质2知例解求的拉普拉斯30例

解

求的拉普拉斯变换因为所以，由性质2知例解求31性质3【延滞性质】性质3【延滞性质】32例

解

求的拉普拉斯变换由滞后性质及例解求33例

解

求图示阶梯函数的拉普拉斯变换该阶梯函数可用单位阶梯函数表示为：例解求图示阶梯函数的拉普拉斯变换该阶梯函数可用单位阶梯函34上式两端取拉氏变换，并根据拉氏变换的线性性质及滞后性质，得上式两端取拉氏变换，并根据拉氏变换的线性性质35性质4【微分性质】表明：一个函数求导后的拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数，再减去该函数的初值性质4【微分性质】表明：一个函数求导后的拉氏变换等于这个函数36类似地，利用微分性质及其推论，可将函数的微分方程转化为象函数的代数方程，给解微分方程提供了简便的方法类似地，利用微分性质及其推论，可将函数的微分方程转37例

求解

例求解38例

利用微分性质求函数的拉氏变换解

由微分性质得例利用微分性质求函数的39例

求解

根据拉普拉斯变换的位移性质根据微分性质例求解根据拉普拉斯变换的位移性质根据微分性质40性质5【积分性质】表明：一个函数积分后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以类似地，特别地，当时，性质5【积分性质】表明：一个函数积分后取拉氏变换等于这个函数41例

求函数的拉氏变换解

所以由积分性质例求函数42例

解

求根据性质又根据性质例解求根据性质又根据性质43工程应用数学电子教案第三章拉普拉斯变换课件44性质6【相似性质】案例【系统稳定性】在自动控制系统中，为研究系统的稳态性能（即函数在时的数值），因此经常需要求函数的初始值和终值。性质6【相似性质】案例【系统稳定性】在自动控制系统中，为研究45性质7【初值定理】性质8【终值定理】性质7【初值定理】性质8【终值定理】46例

解

设求例解设47例

解

设求例解设48第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计算拉普拉斯逆变换的计算拉普拉斯变换的应用用Matlab进行拉普拉斯运算第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计49引例

在自动控制的一阶线性系统中，有一种典型一阶系统，其输入信号为单位阶跃函数，为研究系统输出信号的变化规律，需要掌握该系统的响应函数（输出信号函数）.引例在自动控制的一阶线性系统中，有一种典型一阶系统，50解

根据自动控制系统的知识，典型一阶系统的微分方程为对微分方程两边进行拉氏变换，且设解根据自动控制系统的知识，典型一阶系统的微分方程为对微分方51由于系统为典型一阶系统，已求出了输出信号函数的拉氏变换，那么如何求输出信号函数呢？由于系统为典型一阶系统，已求出了输出信号函数的拉氏变换，52拉氏逆变换的求法定义

记为由拉氏变换的象函数求原函数的运算称为拉氏逆变换（或拉氏反变换）拉氏逆变换的求法定义记为由拉氏变换的象函数求原53拉氏逆变换的性质性质1【线性性质】性质2【平移性质】性质3【延滞性质】拉氏逆变换的性质性质1【线性性质】性质2【平移性质】性质3【54拉普拉斯逆变换的求法直接查表法性质法拉普拉斯逆变换的求法直接查表法性质法55例

解

求下列函数的拉氏逆变换1）将代入公式表中的公式5，得2)因为例解求下列函数的拉氏逆变换1）将代入公式表中的56例

解

求下列函数的拉氏逆变换1）由公式知2)例解求下列函数的拉氏逆变换1）由公式57如果象函数比较复杂，不能从表中直接找到，可先把象函数分成若干个简单象函数之和，然后再逐项查表（或应用拉氏变换的性质）求象原函数。Tips:如果象函数比较复杂，不能从表中直接找到，可先把Tips:58在运用拉氏变换解决工程技术中的应用问题时，通常遇到的象函数是有理分式.对于有理分式，一般可采用部分分式方法将它分解为较简单的分式之和，方法如下：第一步

先求出方程的根第二步

如果没有重根，则将写成在运用拉氏变换解决工程技术中的应用问题时，通常遇到第一步先59再将上式展开成部分分式其中为待定常数.通过查表就可以求得象函数的象原函数.如果有重根，如是重根，则将写成再将上式展开成部分分式再将上式展开成部分分式其中60例

解

求下列象函数的逆变换1）例解求下列象函数的逆变换1）612)因为有理式的分母无实根，所以无法用部分分式法把它分解成几个简单象函数的和，于是

2)因为有理式的分母无实62注意:

一般地

因式分解法配方法注意:一般地

因式分解法配方法63例

解

求象函数的逆变换因为分母中，的查表例解求象函数64第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计算拉普拉斯逆变换的计算拉普拉斯变换的应用用Matlab进行拉普拉斯运算第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计65用拉普拉斯变换解微分方程拉氏变换求解微分方程的步骤：

1)对微分方程的两边取拉氏变换，得象函数代数方程；2)由代数方程求象函数；3)对象函数取拉氏逆变换，求出象原函数(即微分方程的解).用拉普拉斯变换解微分方程拉氏变换求解微分方程的步骤：1)66用图表示如下：

微分方程象函数的代数方程象原函数(原方程的解)象函数取拉氏变换解代数方程取拉氏逆变换用图表示如下：

微分方程象函数的代数方程象原函数象函数67例

解

求微分方程，满足初始条件的特解对方程两边进行拉氏变换，且设由拉氏变换的微分性质知由初始条件为得例解求微分方程68解出，并分解象函数，得两边取拉氏逆变换，得解出，并分解象函数，得两边取拉氏逆变换，得69运用拉氏变换求微分方程的解，以下几个结论非常重要：运用拉氏变换求微分方程的解，以下几个结论非常重要：70例

解

求微分方程满足初始条件的解对方程两边进行拉氏变换，且设例解求微分方程满71由此得由此得72例

解

求微分方程组满足初始条件的解对方程组中每个方程的两边进行拉氏变换，且设根据得例解求微分方程组73代入初始条件，整理得象函数的代数方程组解此代数方程组，得代入初始条件，整理得象函数的代74对上述两式取拉氏逆变换，得象原函数它们就是原方程组满足初始条件的特解.对上述两式取拉氏逆变换，得象原函数它们就是原方程组满足初始条75案例【系统响应】已知响应函数的拉氏变换为，试求系统的响应.解

查表知案例【系统响应】已知响应函数的拉氏变换为76案例【斜坡系统响应】求典型一阶系统中，输入信号为单位斜坡函数的一阶线性系统响应解

根据自动控制系统的知识，典型一阶系统的微分方程为：对微分方程两边进行拉氏变换，且设案例【斜坡系统响应】求典型一阶系统中，输入信号为单位斜坡函数77由,初始条件为零（即）得由于系统为典型一阶系统，对上式两边拉氏逆变换，得由,初始条件为零78案例【电路应用】在宁波某电子元件公司设计的电子元件中包含有一个如图所示的电路,其中电阻为,电感为,电压为,开关合上后，电路中有电流通过，试求该电子元件的电路中电流的变化规律.案例【电路应用】在宁波某电子元件公司设计的电子元件中包含有一79解

由回路电压定律知对方程两边进行拉氏变换，并设代入初始条件，整理后得解由回路电压定律知对方程两边进行拉氏变换，并设代入初始80两边进行拉氏逆变换，得即为所求的电流变化规律两边进行拉氏逆变换，得即为所求的电流变化规律81案例【质点位移】设一质量为的质点，受一大小为的吸引力作用，沿轴方向接近原点，此运动同时受到阻尼力的作用，求质点的运动位移.假设.案例【质点位移】设一质量为的质点，受一大小为82解

根据题意建立微分方程，得对方程两边同时进行拉氏变换，且设并将初始条件代入得两边取拉氏逆变换得解根据题意建立微分方程，得对方程两边同时进行拉氏变换，且83小结拉普拉斯解应用问题的步骤：（1）根据专业知识，建立数学模型（列出微分方程）；（2）对微分方程的两边取拉氏变换，得象函数代数方程；（3）由代数方程求象函数；（4）对象函数取拉氏逆变换，求出象原函数(即微分方程的

解)，从而求出问题的解。小结拉普拉斯解应用问题的步骤：（1）根据专业知识，建84第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计算拉普拉斯逆变换的计算拉普拉斯变换的应用用Matlab进行拉普拉斯运算第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计85在Matlab中，求拉氏变换的命令为laplace(f)

%求函数的拉氏变换在Matlab中，求拉氏变换的命令为laplace(f)%86例

解

求下列函数的拉氏变换（1）symstlaplace(t^3+sin(2*t))ans=6/s^4+2/(s^2+4)

symstlaplace(t*exp(2*t)+cos(3*t))ans=1/(s-2)^2+s/(s^2+9)

（2）例解求下列函数的拉氏变换（1）symstsymst87例

解

求下列函数的拉氏变换（1）symstlaplace(t*exp(-2*t)*sin(5*t))ans=10/((s+2)^2+25)^2*(s+2)

例解求下列函数的拉氏变换（1）symst88（2）symstlaplace((exp(-2*t)*sin(2*t))/t)ans=1/2*pi-atan(1/2*s+1)

（3）symstlaplace(t+2*t^3*exp(3*t))ans=1/s^2+12/(s-3)^4

（2）symst（3）symst89在Matlab中，求拉氏逆变换的命令为ilaplace(L)%求

的拉氏逆变换在Matlab中，求拉氏逆变换的命令为ilaplace(L)90例

解

求下列函数的拉氏逆变换（1）symssilaplace((2*s+3)/(s^2-2*s+5))ans=2*exp(t)*cos(2*t)+5/2*exp(t)*sin(2*t)例解求下列函数的拉氏逆变换（1）symss91（2）symssilaplace((2*s-5)/(s^2-5*s+6))ans=exp(2*t)+exp(3*t)

（2）symss92例

解

求下列函数的拉氏逆变换（1）symssilaplace((2*s+1)/(s^3-s^2-6*s))ans=-1/6-3/10*exp(-2*t)+7/15*exp(3*t)例解求下列函数的拉氏逆变换（1）symss93（2）symssilaplace(1/(s^2-2*s+10))ans=-1/36*(-36)^(1/2)*(exp((1+1/2*(-36)^(1/2))*t)-exp((1-1/2*(-36)^(1/2))*t))

（2）symss94第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计算拉普拉斯逆变换的计算拉普拉斯变换的应用用Matlab进行拉普拉斯运算引子第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计95拉普拉斯变换的作用（1）求解常系数线性微分方程的有力工具（2）分析和综合自动控制系统的运动过程和脉冲电路的工作过程中有广泛应用拉普拉斯变换的作用（1）求解常系数线性微分方程的有力工具（96拉普拉斯变换的知识网络图拉普拉斯变换的概念常用函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换表的使用拉普拉斯逆变换拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的知识网络图拉普拉斯变换的概念常用函数的拉普拉斯97第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计算拉普拉斯逆变换的计算拉普拉斯变换的应用用Matlab进行拉普拉斯运算第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计98引例

在研究激励和响应系统之间的关系时（建立的函数关系式通常是一种线性微分方程），主要是通过研究传递函数（响应函数的拉普拉斯变换与激励函数的拉普拉斯变换之比），建立微分方程模型解决问题的，因此，拉普拉斯变换是经典控制理论的数学基础.在电路理论和自动控制理论中，通常把系统的外加电动势看成这个系统随时间变化的输入函数，称为激励函数

，而把电容器两端的电压看成是系统随时间变化的输出函数，叫做响应函数，如图. 激励系统特性响应引例 在电路理论和自动控制理论中，通常把系统的外加电动势99引例

——转化为拉普拉斯变换后解决问题

那么什么叫拉普拉斯变换呢？在电气工程学科中还经常会出现的积分问题，但由于是发散的，因此无法进行计算，在这种情况下，一般都是通过将函数乘上因子变成绝对可积函数后解决问题的.拉普拉斯变换的实质是什么呢？

引例——转化为拉普拉斯变换后解决问题那么什么叫拉普拉斯变100定义

或定义或101注意：（2）拉氏变换的本质是一种积分变换例如：又如：注意：（2）拉氏变换的本质是一种积分变换例如：又如：102第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计算拉普拉斯逆变换的计算拉普拉斯变换的应用用Matlab进行拉普拉斯运算第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计103求一个给定函数的拉氏变换，可用方法二：基本公式法

方法三：性质法

方法一：定义法

求一个给定函数的拉氏变换，可用方法二：基本公式法方法三：104方法二：基本公式法

方法三：性质法

方法一：定义法

方法二：基本公式法方法三：性质法方法一：定义法105例

求函数的拉氏变换解

由拉氏变换的定义例求函数的拉氏变换解由拉氏变换106案例

在自动控制系统中，由于开关的闭合或信号的突变等原因，系统中经常会出现一个“突加作用信号”，用函数表示，如图.试求它的拉氏变换.案例在自动控制系统中，由于开关的闭合或信号的突变试求它的拉107解

由拉氏变换的定义注意:

1、这个结论成立的条件是，否则积分不收收敛2、单位阶跃函数向右平移个单位后，解析式为解由拉氏变换的定义注意:1、这个结论成立的条件是108案例

在研究跟随系统时，经常以一种由弱到强做均匀变化的信号作为典型的输入信号，这种信号函数称为斜坡函数，记为：（为常数），试求该函数的拉氏变换.解

由拉氏变换的定义同样，结论成立的条件是案例在研究跟随系统时，经常以一种由弱到强做均匀变化的信解109在自动控制系统中，瞬时的扰动（冲击）信号常用单位脉冲函数表示，如图.在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流，机械系统受冲击力作用后的运动情况等也要用到，它的拉氏变换等于1注意：

单位阶跃函数对时间的导数即为单位脉冲函数，反之，单位脉冲函数对时间的积分即为单位阶跃函数在自动控制系统中，瞬时的扰动（冲击）信号常用在研究线性电路在110例试求单位脉冲函数的拉氏变换解例试求单位脉冲函数的拉氏变换解111例求函数的拉氏变换解例求函数的拉氏变换解112例解根据定义求函数的拉氏变换例解根据定义求函数的拉氏变换113方法二：基本公式法

方法三：性质法

方法一：定义法

方法二：基本公式法方法三：性质法方法一：定义法114工程应用数学电子教案第三章拉普拉斯变换课件115方法二：基本公式法

方法三：性质法

方法一：定义法

方法二：基本公式法方法三：性质法方法一：定义法116引例

在信号系统中，由于系统的不稳定或外界因素的影响，我们经常会碰到信号强弱跳动的情况，因此常用分段信号函数表示这种情况，试将它用一个式子表示出来引例在信号系统中，由于系统的不稳定或外界因素的影响，117解

根据单位阶跃函数的性质知所以有解根据单位阶跃函数的性质知所以有118那么如何求该函数的拉氏变换呢？一般地，利用拉氏变换的性质求解复杂函数的拉氏变换那么如何求该函数的拉氏变换呢？一般地，利用拉氏变换的性质求119拉氏变换的性质

性质1【线性性质】若为常数，函数的拉氏变换存在，且则表明：函数线性组合的拉普拉斯变换等于函数拉普拉斯变换的线性组合。性质1可以推广到有限个函数的线性组合形式。拉氏变换的性质性质1【线性性质】若为常数，函数120例

解

查公式法的表可知所以例解查公式法的表可知所以121例

解

查公式法的表可知例解查公式法的表可知122性质2【位移性质】性质2【位移性质】123例

解

求的拉普拉斯变换因为所以，由性质2知例解求的拉普拉斯124例

解

求的拉普拉斯变换因为所以，由性质2知例解求125性质3【延滞性质】性质3【延滞性质】126例

解

求的拉普拉斯变换由滞后性质及例解求127例

解

求图示阶梯函数的拉普拉斯变换该阶梯函数可用单位阶梯函数表示为：例解求图示阶梯函数的拉普拉斯变换该阶梯函数可用单位阶梯函128上式两端取拉氏变换，并根据拉氏变换的线性性质及滞后性质，得上式两端取拉氏变换，并根据拉氏变换的线性性质129性质4【微分性质】表明：一个函数求导后的拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数，再减去该函数的初值性质4【微分性质】表明：一个函数求导后的拉氏变换等于这个函数130类似地，利用微分性质及其推论，可将函数的微分方程转化为象函数的代数方程，给解微分方程提供了简便的方法类似地，利用微分性质及其推论，可将函数的微分方程转131例

求解

例求解132例

利用微分性质求函数的拉氏变换解

由微分性质得例利用微分性质求函数的133例

求解

根据拉普拉斯变换的位移性质根据微分性质例求解根据拉普拉斯变换的位移性质根据微分性质134性质5【积分性质】表明：一个函数积分后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以类似地，特别地，当时，性质5【积分性质】表明：一个函数积分后取拉氏变换等于这个函数135例

求函数的拉氏变换解

所以由积分性质例求函数136例

解

求根据性质又根据性质例解求根据性质又根据性质137工程应用数学电子教案第三章拉普拉斯变换课件138性质6【相似性质】案例【系统稳定性】在自动控制系统中，为研究系统的稳态性能（即函数在时的数值），因此经常需要求函数的初始值和终值。性质6【相似性质】案例【系统稳定性】在自动控制系统中，为研究139性质7【初值定理】性质8【终值定理】性质7【初值定理】性质8【终值定理】140例

解

设求例解设141例

解

设求例解设142第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计算拉普拉斯逆变换的计算拉普拉斯变换的应用用Matlab进行拉普拉斯运算第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计143引例

在自动控制的一阶线性系统中，有一种典型一阶系统，其输入信号为单位阶跃函数，为研究系统输出信号的变化规律，需要掌握该系统的响应函数（输出信号函数）.引例在自动控制的一阶线性系统中，有一种典型一阶系统，144解

根据自动控制系统的知识，典型一阶系统的微分方程为对微分方程两边进行拉氏变换，且设解根据自动控制系统的知识，典型一阶系统的微分方程为对微分方145由于系统为典型一阶系统，已求出了输出信号函数的拉氏变换，那么如何求输出信号函数呢？由于系统为典型一阶系统，已求出了输出信号函数的拉氏变换，146拉氏逆变换的求法定义

记为由拉氏变换的象函数求原函数的运算称为拉氏逆变换（或拉氏反变换）拉氏逆变换的求法定义记为由拉氏变换的象函数求原147拉氏逆变换的性质性质1【线性性质】性质2【平移性质】性质3【延滞性质】拉氏逆变换的性质性质1【线性性质】性质2【平移性质】性质3【148拉普拉斯逆变换的求法直接查表法性质法拉普拉斯逆变换的求法直接查表法性质法149例

解

求下列函数的拉氏逆变换1）将代入公式表中的公式5，得2)因为例解求下列函数的拉氏逆变换1）将代入公式表中的150例

解

求下列函数的拉氏逆变换1）由公式知2)例解求下列函数的拉氏逆变换1）由公式151如果象函数比较复杂，不能从表中直接找到，可先把象函数分成若干个简单象函数之和，然后再逐项查表（或应用拉氏变换的性质）求象原函数。Tips:如果象函数比较复杂，不能从表中直接找到，可先把Tips:152在运用拉氏变换解决工程技术中的应用问题时，通常遇到的象函数是有理分式.对于有理分式，一般可采用部分分式方法将它分解为较简单的分式之和，方法如下：第一步

先求出方程的根第二步

如果没有重根，则将写成在运用拉氏变换解决工程技术中的应用问题时，通常遇到第一步先153再将上式展开成部分分式其中为待定常数.通过查表就可以求得象函数的象原函数.如果有重根，如是重根，则将写成再将上式展开成部分分式再将上式展开成部分分式其中154例

解

求下列象函数的逆变换1）例解求下列象函数的逆变换1）1552)因为有理式的分母无实根，所以无法用部分分式法把它分解成几个简单象函数的和，于是

2)因为有理式的分母无实156注意:

一般地

因式分解法配方法注意:一般地

因式分解法配方法157例

解

求象函数的逆变换因为分母中，的查表例解求象函数158第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计算拉普拉斯逆变换的计算拉普拉斯变换的应用用Matlab进行拉普拉斯运算第三章拉普拉斯变换

引子拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的计159用拉普拉斯变换解微分方程拉氏变换求解微分方程的步骤：

1)对微分方程的两边取拉氏变换，得象函数代数方程；2)由代数方程求象函数；3)对象函数取拉氏逆变换，求出象原函数(即微分方程的解).用拉普拉斯变换解微分方程拉氏变换求解微分方程的步骤：1)160用图表示如下：

微分方程象函数的代数方程象原函数(原方程的解)象函数取拉氏变换解代数方程取拉氏逆变换用图表示如下：

微分方程象函数的代数方程象原函数象函数161例

解

求微分方程，满足初始条件的特解对方程两边进行拉氏变换，且设由拉氏变换的微分性质知由初始条件为得例解求微分方程162解出，并分解象函数，得两边取拉氏逆变换，得解出，并分解象函数，得两边取拉氏逆变换，得163运用拉氏变换求微分方程的解，以下几个结论非常重要：运用拉氏变换求微分方程的解，以下几个结论非常重要：164例

解

求微分方程满足初始条件的解对方程两边进行拉氏变换，且设例解求微分方程满165由此得由此得166例

解

求微分方程组满足初始条件的解对方程组中每个方程的两边进行拉氏变换，且设根据得例解求微分方程组167代入初始条件，整理得象函数的代数方程组解此代数方程组，得代入初始条件，整理得象函数的代168对上述两式取拉氏逆变换，得象原函数它们就是原方程组满足初始条件的特解.对上述两式取拉氏逆变换，得象原函数它们就是原方程组满足初始条169案例【系统响应】已知响应函数的拉氏变换为，试求系统的响应.解

查表知案例【系统响应】已知响应函数的拉氏变换为170案例【斜坡系统响应】求典型一阶系统中，输入信号为单位斜坡函数的一阶线性系统响应解

根据自动控制系统的知识，典型一阶系统的微分方程为：对微分方程两边进行拉氏变换，且设案例【斜坡系统响应】求典型一阶系统中，输入信号为单位斜坡函数171由,初始条件为零（即）得由于系统为典型一阶系统，对上式两边拉氏逆变换，得由,初始条件为零172案例【电路应用】在宁波某电子元件公司设计的电子元件中包含有一个如图所示的电路,其中电阻为,电感为,电压为,开关合上后，电路中有电流通过，试求该电子元件的电路中电流的变化规律.案例【电路应用】在宁波某电子元件公司设计的电子元件中包含有一173解

由回路电压定律知对方程两边进行拉氏变换，并设代入初始条件，