人教新课标质点在平面内的运动精讲精练 名师获奖

2质点在平面内的运动【思维激活】飞机现已广泛应用于突发性灾难的救援工作。图6-2-1中显示了交通部上海海上救助飞行队将一名在海上身受重伤、生命垂危的渔民接到岸上的情景。为了达到最快速的救援效果，飞机常常一边匀速收拢缆绳提升伤员，将伤员接进机舱，一边沿着水平方向匀速飞向岸边。图6-2-1（1）从运动合成的观点来看，在此情景中伤员同时参与了哪两个运动？（2）伤员的哪个运动是合运动，哪个运动是分运动？（3）如果已知飞机匀速飞行的速度为v1，收拢缆绳的速度保持为v2，那么伤员的运动轨迹是怎样的？提示：如果飞机在水平方向上匀速飞行，但不收拢缆绳，伤员将在水平方向上匀速运动；如果飞机静止在空中同时匀速收拢缆绳，伤员将竖直向上匀速运动，当飞机在水平方向上匀速运动，同时收拢缆绳时，伤员参与了两个分运动：一个是竖直向上的匀速运动，另一个是水平方向上的匀速运动。伤员斜向上的运动是他的合运动（实际运动），因为伤员的两个分运动是互相垂直的，所以伤员的实际速度是v＝，大小一定，伤员做匀速直线运动。【自主整理】1．对烛块运动研究思路的理解在研究红烛块的运动时，我们遵循以下的思路：建立平面直角坐标系，然后先研究蜡块的位置，确定其位置坐标随时间变化的关系，再依次研究蜡块的运动轨迹和蜡块的位移，最后再研究蜡块的运动速度。这对于其它一些较复杂的运动，也是常见的且较合理的研究思路。2在直角坐标系中研究蜡块的运动（1）建立直角坐标系运动开始时蜡块的位置为原点，水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向。（2）蜡块的位置图6－2－3如图6－2－3所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右移动的速度设为vx。从蜡块开始运动的时刻计时，于是，在时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示x=vxty=vyt用坐标来描绘物体位置的变化，是最准确的做法，是研究问题的一种切实可行的方法。（3）蜡块的运动轨迹由以上两式可得：y=x因为vy、vx都是常量，故y=x代表的是一条过原点的直线。蜡块的实际运动可以看成是水平的匀速运动和竖直的匀速运动的合运动。【高手笔记】1．合运动与分运动的概念如果一个具体的运动可以看成是由两个简单运动的合成，那么这个运动就称为另外两个运动的合运动，而另外两个运动称为合运动的分运动。合运动就是物体的实际运动。物体的实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。上例中蜡块同时参与了竖直方向沿玻璃管匀速上升及水平方向随玻璃管匀速向右的两个分运动。蜡块的实际运动就是合运动。2.运动的合成与分解包括位移、速度、加速度的合成与分解，它们与力的合成与分解一样都遵守平行四边形定则：由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成，已知合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。两个直线运动的合运动可以是曲线运动。反之，一个曲线运动也可以分解为两个方向上的直线运动，分别研究这两个方向上物体的受力情况与运动情况，弄清作为分运动的直线运动的规律后，通过运动的合成就可以知道作为合运动的曲线运动的规律。这也是运用运动合成与分解的方法来处理复杂的曲线运动的基本思路。3.合运动和分运动的关系（1）等时性：合运动与分运动经历的时间相等。（2）独立性：一个物体同时参与几个运动，其中的任一个运动并不因为有其他运动而有所改变，合运动是这些相互独立的运动的叠加，这就是运动的独立性原理，或叫做运动的叠加原理。各分运动独立进行，各自产生效果（v分、s分）互不干扰。（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即等效性。也就是说，合运动的位移s合、速度v合和加速度a合分别等于对应各分运动位移s分、速度v分、加速度a分的矢量和。4.运动的合成与分解的运算法则运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们都是矢量，所以都遵循平行四边形定则。（1）两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减。例如，竖直抛体运动看成是竖直方向的匀速运动（v0t）和自由落体运动（gt2）的合成，下抛时，vt=v0+gt，x=v0t+gt2.上抛时，vt=v0－gt;x=v0t－gt2.（2）不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图6－2－4所示：图6－2－4平行四边形定则是一切矢量合成都必须遵循的法则。（3）两分运动垂直或正交分解后的合成a合=，v合=，x合=这几个方程仅适用于两个分运动互相垂直的情况。5．对运动的合成与分解方法及其意义的再认识运动的合成实际上就是描述运动的位移、速度、加速度等物理量的合成。由前面分析可知，合运动的位移（或速度、加速度）矢量可用分运动位移（或速度、加速度）矢量为邻边所构成的平行四边形的对角线表示。所以，与力的合成一样，运动的合成也遵循平行四边形定则。还应注意，将各物理量合成时，各物理量必须是相对于同一参考系的。与运动的合成一样，运动的分解实际上就是位移、速度和加速度的分解。由于这些物理量是矢量，所以运动的分解同样遵循矢量的运算法则――平行四边形定则。运动的分解是运动合成的逆运算。运动的分解如同力的分解一样，如果没有其他任何约束条件的话，一个运动可以分解为无数组分运动，但是在具体分解运动时，通常按运动的实际效果先确定分运动的方向再进行分解。两个直线运动的合运动可以是曲线运动，反之，一个曲线运动通常也可以分解为两个方向上的直线运动，分别研究这两个方向上物体的受力情况和运动情况，弄清这两个分运动的规律，就可以知道作为合运动的曲线运动的规律。即可以把一个较为复杂的实际运动看成是几个基本的、较简单的运动合成的，通过对简单分运动的处理，而达到研究复杂运动的目的。【名师解惑】1．在研究物体运动时如何选取坐标系？剖析：选取、建立坐标系是研究问题的需要。确立了坐标系后，物体运动过程中各时刻所处的位置便能以坐标表示，当然，也就可以进一步讨论物体运动的轨迹方程、定量表示物体在某一段时间内发生的位移大小和方向等。对于直线运动，最简单的处理方法就是建立一个一维直线坐标系。而对于曲线运动，研究时就必须建立一个二维或者三维的坐标系，否则就无法完整地描绘其运动情况，并对其定量研究。xyxyO图6-2-5xyO图6-2-6综上所述，如果物体的运动形式不清楚，研究时通常可行的是选择三维直角坐标系，而如果能确定物体沿某条直线运动或在某个平面内运动，则分别选择一维直线坐标系或平面直角坐标系即可，处理也较为简便。2.如何进行运动的分解?剖析：运动的分解是运动合成的逆过程，运动的分解如同力的分解一样，如果没有其他条件约束的话，一个运动可以分解为无数组分运动，因此，在具体问题中，除去遵循平行四边形定则外，还应该依据物体运动的实际效果来进行分解。进行运动分解的步聚：①确定合运动方向（实际运动方向）。②分析合运动的运动效果。③依据合运动效果确定两分运动方向。④依据平行四边形定则作出分解矢量图。运动合成与分解的具体方法:=1\*GB3①作图法：选好标度，用一定长度的有向线段表示分运动或合运动的有关物理量，严格按照平行四边形定则画出平四边形求解。②计算法：先画出运动合成或分解的示意图，然后应用直角三角形等数学知识求解。3.如何判断两个直线运动合运动的性质和轨迹？剖析：合加速度决定合运动的运动性质是匀速还是变速，是匀变速还是非匀变速，合初速度与合加速度方向是否在同一直线上，决定了合运动的轨迹是直线还是曲线。对于某方向上分运动的性质和轨迹，其判断方法与合运动性质和轨迹判断方法类似，只不过分运动的性质与轨迹取决于以及与之间的方向关系。合运动性质由分运动性质决定。应该根据平行四边形定则求出合运动的初速度和加速度，而后依据与间的关系进行判断：（1）若（分运动的加速度都为零），物体沿合初速度的方向做匀速直线运动。（2）若且与的方向在同一直线上，物体就做直线运动；与同向时做加速直线运动；与反向时做减速运动。其中，若同时恒定，物体做的是匀变速直线运动。（3）若与的方向不在同一直线上，则合运动是曲线运动。其中，若恒定时，则合运动是匀变速曲线运动。【讲练互动】【例题1】关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下列说法正确的是（）A.一定是直线运动B.一定是曲线运动C.可能是直线运动，也可能是曲线运动D.以上都不对【解析】两个运动的初速度合成、加速度的合成如图6－2－7所示，当a和v重合时，物体做直线运动;当a和v不重合时，物体做曲线运动.由于题目没有给出两个运动的加速度和初速度的具体数值，所以以上两种情况都有可能，故正确答案为C.图6－2－7【答案】C【绿色通道】两直线运动的合运动的性质和轨迹由各分运动的性质及合初速度与合加速度的方向和大小关系决定，判断物体是否做曲线运动，主要是判断合速度和合加速度是否在同一直线上，所以首先要判断出合加速度和合初速度方向.【变式训练1】关于运动的合成与分解，以下说法正确的是（）A.一个匀加速直线运动可以分解为两个匀加速直线运动B.一个匀减速运动可以分解为方向相反的匀速运动和初速度为零的匀加速直线运动C.一个在三维空间中运动的物体，它的运动可以分解为在一个平面内的运动和在某一方向上的直线运动D.一个静止的物体，它的运动可以分解为两个方向相反的匀速直线运动【解析】本题旨在考查对分运动与合运动关系的理解，针对实际问题如何将一个合运动分解为两个分运动，如何判断两个分运动与合运动的等效性。对于A选项.如图6-2-8所示，人站在匀加速直线运动的扶梯上以加速度a斜向上运动，人的运动可以分解为水平方向以ax=acosθ做匀加速运动；竖直方向以ay=asinθ做匀加速运动，任一时刻的速度vx=vcosθ，vy=vsinθ.显然这样的两个分运动合成起来一定是人的实际运动，A正确。图6-2-8对于B选项.匀速运动v不变，s=vt;初速度为零的匀加速运动vt=at,s=at2.当一个物体同时参与方向相反的两个运动时，任一时刻速度vt=v0－at,s=v0t－at2,显然这是一个匀减速直线运动，B正确。对于C选项.杂技演员在一个可以升降的平台上骑独轮车做圆周运动，这个杂技演员的运动可以看成在水平面上的曲线运动和在竖直方向的直线运动的合成，C正确。对于D选项.只要两个相反方向的直线运动的速度大小总相等，物体一定保持静止状态，D正确。【答案】ABCD【例题2】如图6－2－9所示，汽车以v0的速度匀速用绳索通过滑轮牵引船前进，试求船的速度为多大?图6－2－9【解析】本题运用运动的分解规律，关键在于如何进行分解.对于合速度和分速度的判断是一种能力的要求.船的运动可以看作两个运动的合运动，即沿绳子方向的运动，速度为v0，和垂直于绳子方向的运动（该运动是以定滑轮为圆心的摆动，它对运动的贡献表现在θ角的改变，而对绳子的伸缩没有关系）.根据矢量分解法则可以得到:v=.【绿色通道】随着θ角的增大，v逐渐增大，可见汽车做匀速运动，而船却做加速运动.在运动的合成与分解中，一般来说物体的实际运动是合运动.【变式训练2】图6－2－10如图6－2－10所示，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体.若汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为v1和v2，则下面的说法正确的是（）A.物体做匀速运动，且v2=v1B.物体做加速运动，且v2＞v1C.物体做加速运动，且v2＜v1D.物体做减速运动，且v2＜v1解析:汽车向左运动，这是汽车的实际运动，故为汽车的合运动.汽车的运动导致两个效果:一是滑轮到汽车的绳变长了，二是滑轮到汽车的绳与竖直方向的夹角变大了，显然汽车的运动是由沿绳的直线运动和垂直于绳的圆周运动合成的，故应分解车的速度，且沿绳方向上的速度相等.按图6－2－11所示，将车速分解，由于沿绳方向上速度相等，则有:v2=v1sinθ.图6－2－11由于v1是恒量，而θ逐渐增大，所以v2逐渐增大，故被吊物体做加速运动，且v2＜v1.答案:C【例题3】无风时气球匀速竖直上升的速度是4m/s，现自西向东的风速大小为3m/s，则⑴

气球相对地面运动的速度大小为，方向。⑵

若风速增大，则气球在某一时间内上升的高度与风速增大前相比将。（填“增大”、“减小”、“保持不变”）【解析】速度的合成可采用平行四边形定则，注意运动的独立性原理。⑴

在地面上的人看来，气球的运动同时参与了两个运动，即竖直向上的运动和自西向东的水平运动。如图6-2-12所示，根据平行四边形定则，其合速度大小为图6-2-12Ov1v2图6-2-12Ov1v2vθ设合速度方向与水平方向夹角为θ，则

tan

θ＝，θ＝＝53°，即合速度的方向为向东偏上53°。⑵

如果一个物体同时参与两个运动，这两个分运动是“相互独立、同时进行”的，各自遵守各自的规律。由风引起的水平方向的分运动不会影响气球竖直方向的分运动，气球上升的高度与风速无关，在任一段时间内上升的高度不变。【答案】（1）5m/s；向东偏上53°。（2）保持不变【绿色通道】从本例不难看出，要正确解答有关运动的合成与分解的问题，首先要认清合运动和分运动，实际发生的运动就是合运动，参与而实际并没发生的运动就是分运动；二要正确理解运动的独立性原理；三要掌握运动的合成与分解的法则，灵活运用平行四边形定则。【变式训练3】在一无风的雨天，雨滴竖直下落至地表的速度v1=8m/s，一辆汽车以v2=6m/s的速度匀速行驶.求车上的人看到雨滴的速度大小与方向.【解析】如图6－2－13所示，当观察者处于汽车上时，观察到雨滴同时参与两个分运动，一是竖直下落运动，二是朝向汽车的运动.此运动的速度v2′与v2大小相等、方向相反，所以雨滴相对汽车的速度v为v1、v2的合速度.图6－2－13v==m/s=10m/s设v与竖直方向的夹角为α.则tanα==，所以α≈37°.答案：10m/s与竖直方向夹角为37°偏向后【例题4】设一条河宽L，水流速度为v1，船在静水中的速度为v2.那么：（1）怎样渡河时间最短？最短时间是多少？（2）若v1＜v2，怎样渡河航程最短？（3）若v1＞v2，怎样渡河船漂下的距离最短？【解析】图6－2－14（1）如图6－2－14甲所示，设船头斜向上游与河岸成θ角，这时船速在y方向的速度分量为v2y=v2sinθ，渡河所需时间为：t=.可以看出：在L与v2一定时，t随sinθ的增大而减小；当θ=90°时，sinθ=1（最大），所以，船头与河岸垂直时，渡河时间最短，且为.（2）如图6－2－7乙所示，为了使船渡河的航程最短，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，这时船头指向上游，并与河岸成一定的角度θ，则有：cosθ=，所以θ=arccos（）因为0≤cosθ≤1，所以只有在v1＜v2时，船才有可能垂直河岸渡河.（3）当v1＞v2，则不论船向如何，总被水流冲向下游.如图6－2－7丙所示，设船头（v2）与河岸成θ角，合速度v与河岸成α角，可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短.那么，在什么条件下α角最大呢？以v1的箭尾为圆心，以v2的大小为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大.根据cosθ=得船头与河岸的夹角应为：θ=arccos（）船漂的最短距离由==得xmin=·L.【答案】（1）船头与河岸垂直时，渡河时间最短，且为.（2）当船头指向上游且与河岸成夹角θ=arccos（）时，船垂直河岸渡河.（3）当船头与河岸成夹角θ=arccos（）时，船漂的距离最短xmin=·L.【绿色通道】由于运动的独立性原理，水流方向沿河岸，与过河时间无关，过河时间只与船的实际速度沿垂直河岸方向的分量有关.因此要船最短时间过河，船头应垂直指向对岸，但船的航线并不垂直指向对岸.对于船过河这类问题，一般记住两个结论：①要使过河时间最短，则垂直河岸方向的分速度须最大；②要能垂直到达对岸，则合速度须垂直河岸.【变式训练4】已知某船在静水中的速率为v1＝4m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100m，河水的流动速度为v2＝3m/s，方向与河岸平行。试分析：⑴

欲使船以最短时间渡过河去，航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？⑵

欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？【解析】船同时参与了这样两个运动：一是船相对于水的运动，其速度就是船在静水中的速度v1＝4m/s，方向与船头的指向相同；二是船随水漂流的运动，其速度等于河水流速v2＝3m/s，方向平行于河岸，与水流动方向相同，指向下游。船在河水中实际发生的运动（站在岸边观察者看到的运动）即是由上述两个运动合成的。根据运动的独立性和等时性，渡河时间取决于垂直河岸速度的大小，与水流速度无关，但渡河时船的运动轨迹取决于合速度的方向，显然与水流速度有关系。图6-2-15vv1αv2⑴

根据运动的独立性和等时性，当船在垂直河岸方向上的分速度v⊥最大时，渡河所用时间最短，设船头指向上游且与上游河岸夹角为α，其合速度v与分运动速度v1、v2的矢量关系如图6-2-15所示。河水流速v2平行于河岸，不影响渡河快慢，船在垂直河岸方向上的分速度v⊥＝v1sin图6-2-15vv1αv2图6-2-16vv1v2A显然，当sin

α＝1即α＝90°时，图6-2-16vv1v2A渡河的最短时间t

min＝＝EQ\F(100,4)s＝25s。船的位移为

s＝v

t＝t

min＝×25m＝125m。船渡过河时已在正对岸的下游A处，其顺水漂流的位移为x＝v2tmin＝＝EQ\F(3×100,4)m＝75m。图6-2-17v合v1θv2⑵

由于v1＞v2图6-2-17v合v1θv2cos

θ＝＝EQ\F(3,4)，θ＝41°24′。船的实际速度为

v合＝＝EQ\r(,42－32)m/s＝EQ\r(,7)m/s。故渡河时间t′＝EQ\F(d,v合)＝EQ\F(100,\r(,7))s＝EQ\F(100\r(,7),7)s≈38s。【问题探究】问题1．小船渡河过程中，如何渡河所需时间最短？如何渡河经历位移最短？思路：在具体讨论运动的合成与分解的实际问题时，先要明确哪个是合运动，哪