人教新课标生活中的圆周运动精讲精练 省赛获奖

庖丁巧解牛知识·巧学一、铁路的弯道1.火车车轮的结构特点火车的车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上运行时，有凸出轮缘的一边在两轨道内侧，这种结构特点，主要是有助于固定火车运动的轨迹.2.火车转弯时，如果转弯处内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力就是火车转弯的向心力.但火车质量太大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损.误区警示从这个例子我们再一次看出，向心力是按效果命名的力，任何一个力或几个力的合力，只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力.如果认为做匀速圆周运动的物体除了受到另外物体的作用，还要再受一个向心力，那就不对了.3.火车转弯时，如果在转弯处使外轨略高于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力.这就减轻了轮缘与外轨的挤压.在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力FN的合力来提供（图6-8-1）.图6深化升华通过分析火车的受力情况，由牛顿第二定律结合运动学公式求解火车的转弯速度时，一定要正确确定圆心及半径.要明确圆心在火车重心所在的水平面上，而不是在斜面上.设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，火车转弯的规定速度为v0.由图6-8-1所示力的合成得向心力为F合=mgtanα≈mgsinα=由牛顿第二定律得：F合=所以=即火车转弯的规定速度v0=.通过关系式v0=可知，要想使重力与支持力的合力恰好提供火车转弯所需的向心力，而防止对内外轨产生挤压造成设施损坏.那么g、h、R、L、v0各量间必然存在一定的对应关系.深化升华我国铁路转弯速率一般规定为v0=54km/h,即15m/s，轨距L=1435mm，则v0=可知，h\,R为一定值，而铁路弯曲的曲率半径R是由地形条件决定的，所以转弯处内外轨的高度差h也就是一个确定的值.4.对火车转弯时速度与向心力的讨论当火车以规定速度v0转弯时，合力F等于向心力，这时轮缘与内外轨均无侧压力.当火车转弯速度v＞v0时，该合力F小于向心力，外轨向内挤压轮缘，提供侧压力，与F共同充当向心力.当火车转弯速度v＜v0时，该合力F大于向心力，内轨向外侧挤压轮缘，产生的侧压力与该合力F共同充当向心力.记忆要诀（1）当火车行驶速率v＞v0时，外轨道对轮缘有侧压力.（2）当火车行驶速率v＜v0时，内轨道对轮缘有侧压力.二、拱形桥1.汽车过拱桥时，车对桥的压力小于其重力汽车在桥上运动经过最高点时，汽车所受重力G及桥对其支持力FN提供向心力.如图6-8-2所示.图6G－FN=所以FN=G－汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力与反作用力，故汽车对桥的压力小于其重力.联想发散汽车通过凸形路面顶端时，处于失重状态，汽车行驶的速度v越大，汽车对凸形路面的压力FN越小；当汽车的速度等于（当FN=0时，由G=可得v=）时，对凸形路面压力FN为零，处于完全失重状态，此时vm=是汽车保持在凸形路面顶端运动的最大速度（临界速度），若超过这个速度，这时汽车将“飞”凸形路面.我们看摩托车越野赛时，常有摩托车飞起来的现象，就是这个原因.2.汽车过凹桥时，车对桥的压力大于其重力图6如图6-8-3，汽车经过凹桥最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，其合力充当向心力.则有：Fn－G=，所以FN=G+由牛顿第三定律知，车对桥的压力FN′=G+，大于车的重力.而且还可以看出，v越大，车对桥的压力越大.三、航天器中的失重现象飞船环绕地球做匀速圆周运动，当飞船距地面高度为一二百千米时，它的轨道半径近似等于地球半径R，航天员受到的地球引力近似等于他在地面测得的体重mg.除了地球引力外，航天员还可能受到飞船座舱对他的支持力FN.引力与支持力的合力为他提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力F=，即mg－FN=也就是Fn=m（g－）由此可以解出，当v=时，座舱对航天员的支持力FN=0，航天员处于完全失重状态.深化升华这样的飞行器中都是一个完全失重的环境，其内任何物体除受重力外，均不受任何其他力的作用，即处于完全失重状态.四、离心运动1.定义：做匀速圆周运动的物体，在所受合力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动.2.本质：离心现象是物体惯性的表现.3.如图6-8-4所示：图6（1）向心力的作用效果是改变物体的运动方向，如果它们受到的合外力恰好等于物体所需的向心力，物体就做匀速圆周运动.此时，F=mrω2.（2）如果向心力突然消失（例如小球转动时绳子突然断裂），则物体的速度方向不再变化，由于惯性，物体将沿此时的速度方向（即切线方向）按此时的速度大小飞出，这时F=0.（3）如果提供的外力小于物体做匀速圆周运动所需的向心力，虽然物体的速度方向还要变化，但速度方向变化较慢，因此物体偏离原来的圆周做离心运动.其轨迹为圆周和切线间的某条线，如图6-8-4所示.这时，F＜mrω2.深化升华物体做离心运动并不是受到“离心力”的作用（没有施力物体），而是提供的向心力太小或者突然消失造成的，是惯性的一种表现.离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动.当向心力突然消失时，物体沿速度方向做远离圆心的直线运动（沿切线方向飞出），而不是沿半径方向运动，“远离”不能理解为“背离”.4.离心运动的应用和危害（1）利用离心运动制成离心机械.例如离心干燥器、洗衣机的脱水筒和离心转速计等等.（2）在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供的.如果转弯时速度过大，所需向心力F很大，大于最大静摩擦力Fmax，汽车将做离心运动而造成交通事故.如图6-8-5所示.因此，在转弯处，为防止离心运动造成危害：一是限定车辆的转弯速度；二是把路面筑成外高内低的斜坡以增大向心力.图6联想发散汽车拐弯时为什么不能超速行驶?提示：当汽车超速行驶时，需要的向心力增大，大于提供的向心力，也就是说提供的向心力不足以维持汽车做圆周运动的向心力，汽车将做离心运动而造成交通事故.问题·探究问题1试探究自行车转弯问题.探究:自行车或摩托车在水平面内转弯时，车速和车身的倾斜角度都受到地面动摩擦因数μ的限制，如图6-8-6所示，车受三个力：重力mg、支持力FN和静摩擦力Ff.图6转弯时自行车有向外侧打滑的趋势，故受到指向内侧圆心的静摩擦力的作用来提供向心力.①自行车转弯时的最大速度vm受到哪些因素的制约？为了不使自行车向外打滑甩出，必须满足：F向≤Ffm当Ffm=，最大速度为：vm=，即vm=.当转弯半径r一定时，转弯时最大速度受到最大静摩擦力（最大静摩擦因数μ）的制约.②自行车转弯时的最大内倾角θm由哪些因素决定？为了不使自行车翻倒，重力mg、地面支持力FN和静摩擦力Ff对于重心的合力矩必须为零.因此，自行车不翻倒的临界条件为FN与Ff的合力作用线通过重心，所以车身必须内倾，且与竖直方向的临界角为：θm=acrtan=arctan=arctanμ=arctan.当转弯半径一定时，自行车转弯时的内倾角随转弯速度增大而增大，但其最大角度还要受最大静摩擦力（最大静摩擦因数）的制约.问题2试探究过山车实例.探究:我们可以分别从实验与理论两个方面加以探究.不妨用两根铁丝弯成如图6-8-7所示的形状来模拟过山车的轨道，用小球模型代替过山车来模拟过山车的运动过程，通过实验来定性的研究；同时，依据牛顿第二定律与圆周运动知识从理论上加以分析推理.图6-8-7图6如图6-8-8，当你在游乐场乘过山车正以时速近一百公里奔驰之际，你会否想起：乘坐过山车时，为什么我们倒转了却不会掉下来呢？（1）实验探究步骤：现将小球从斜面的某一高度释放然后逐步改变小球的释放点.现象：释放点较低时，小球不能越过球形轨道的顶端而掉下来；当释放点达到某一高度时，小球恰好越过环形轨道顶端，并继续沿轨道运行而不掉下来.结论：小球欲通过环形轨道顶端时，必须超过一定的临界速度，否则将无法通过顶端而掉下来.（2）理论探究图6①如图6-8-9所示，当小球经过最高点时，向心力F=mg+N，根据向心力公式可得mg+N=.只要小球对轨道顶端的压力不为零，小球即可通过轨道.当N=0时，小球所需的向心力完全由重力提供，小球恰好能通过最高点时的速度为v=，是小球通过最高点的临界速度.可以看出小球能通过最高点的条件是在最高点的速度大小v≥.②如图6-8-10所示，当小球经过最低点时，向心力F=N-mg，根据向心力公式可得N-mg=.在此,无论v取何值，总有N＞mg，即小球与轨道总存在挤压，小球不会脱离轨道.故小球通过最低点的条件：v＞0（即速度不为零），且对于轨道压力总大于本身重力.图6问题3如何理解轻绳模型与轻杆模型？探究:在具体的题目中，要分清绳与杆的区别，对于轻绳来说，在最高点可以提供拉力，不可能提供支持力.而杆对球既可能提供拉力，也可能提供支持力.绳对球的拉力的方向只能沿绳指向圆心，而杆对球的力的方向可以沿杆也可以不沿杆.图6（1）轻绳模型：如果小球到达最高点时绳子拉力为零,并且小球刚好能够通过最高点并完成圆周运动,那么小球在最高点仅受重力作用,即重力提供向心力,如图6-8-11所示,mg=,v=如果小球在最高点的速度v≥,那么小球可以顺利通过最高点,此时轻绳对小球存在拉力(当v=,拉力为零)如果小球在最高点的速度v=,那么小球在到达最高点前就脱离圆轨道而做斜抛运动了.（2）轻杆模型图6假设小球和轻杆是相连的,小球在最高点的临界速度是零.如图6-8-12所示,此时轻杆对小球有支持力的作用,并且支持力FN=mg.如果小球速度v=,和轻绳一样,杆对小球没有力的作用,FN=0，如果小球速度0≤v＜,轻杆对小球有支持力作用,FN≠0.如果小球速度v＞,轻杆对小球有拉力作用,T≠0.典题·热题例1汽车与公路面的动摩擦因数为μ=，公路某转弯处的圆弧半径为R=4m.（1）若路面水平，要使汽车转弯时不发生侧滑，汽车速度不能超过多少？（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10m/s2）（2）若将公路转弯处设计成外侧高，内侧低，使路面与水平面有一倾角θ=°，则当汽车以多大速度转弯时，可使车与路面无摩擦力？解析：汽车在路面水平转弯时，静摩擦力提供向心力，静摩擦力有最大值，则转弯速度必须受到限制，由此可以运用牛顿第二定律列式求取速度范围，在向内侧倾斜的路面无摩擦转弯时，支持力与重力的合力必须恰好提供向心力，由此切入运用牛顿第二定律列式求取速度即可.（1）汽车在水平路面上转弯不发生侧滑时，沿圆弧运动所需向心力由静摩擦力提供.当车速增大时，静摩擦力也随着增大，当静摩擦力达到最大值μmg时，其对应的车速即为不发生侧滑的最大行驶速度.由牛顿第二定律得μmg=求得车速的最大值为vmax=m/s=2m/s.图6（2）转弯处路面设计成倾斜的，汽车所受路面的支持力FN垂直于路面，不再与重力mg在一条直线上，当重力和支持力的合力F合恰等于汽车转弯所需向心力时，车与路面就无摩擦力，如图6-8-13所示（将汽车看成质点）.由牛顿第二定律得F合=mgtanθ=，故转弯的理想速度为：v0=m/s=2m/s即当汽车以2m/s速度转弯时，可使车与路面无摩擦力.方法归纳当在水平路面上转弯时，只有静摩擦力提供向心力，据μmg=可得v的范围.当在倾斜路面上转弯，支持力与重力的合力提供向心力时，静摩擦力恰好为零.挖掘静摩擦力为零的隐含条件（FN与mg的合力恰好提供所需的向心力）是解题的关键.当实际车速v＞v0时受到指向内侧的静摩擦力（充当部分向心力），v＜v0时，汽车受到指向外侧的静摩擦力.例2如图6-8-14所示，汽车质量为×104kg，以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，桥面圆弧半径为15m，如果桥面承受的最大压力不得超过×105N，汽车允许的最大速率是多少?汽车以此速率驶过桥面的最小压力是多少?（g取10m/s图6解析：首先要确定汽车在何位置时对桥面的压力最大.汽车经过凹形桥面时，向心加速度方向向上，汽车处于超重状态;经过凸形桥面时，向心加速度方向向下，汽车处于失重状态，所以当汽车经过凹形桥面的最低点时如图6-8-15甲所示，汽车对桥面的压力最大.图6当汽车经过凹形桥面最低点时，设桥面支持力为FN1，由牛顿第二定律有FN1－mg=要求FN1≤×105N解得允许的最大速度vm=7.07m/s由上面的分析可知，汽车经过凸形桥面顶点时对桥面的压力最小，设为FN2.如图6-8-15乙所示，mg－FN2=解得FN2=×105N.由牛顿第三定律知，FN2与FN2′等值反向.方法归纳公式F=是牛顿第二定律在圆周运动中的应用，向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合外力.因此，牛顿定律及由牛顿定律导出的一些规律（如超重、失重等）在本章仍适用.例3绳系着装有水的小木桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg,绳长L=40cm.求:(1)桶在最高点而使水不流出的最小速率;(2)水在最高点速度v=3m/s时,水对桶底的压力.解析：虽然向心力公式是由匀速圆周运动推出来的，但它仍适用于非匀速圆周运动.在最高点，水受桶的压力，方向竖直向下，向心力由重力和压力的合力提供.只要水受压力不为零，则水就紧贴桶底给桶底压力，水就不会流出，由此切入分析求解即可.(1)在最高点,水受两个力:一是重力;二是桶底对水的压力(向下).二者均向下.所以F向=F＋G=mv2/L,v变大时,F变大当F为最小,即F=0时vmin==m/s=2m/s桶在最高点时而使水不流出的最小速率为2m/s.(2)当v=3m/s时,F=mv2/L－mg=×(-10)N=N根据牛顿第三定律可知,水对桶底的压力为N,方向竖直向上.方法归纳选择桶中水为研究对象，通过分析，找出最高点水不流出的临界条件,即水与桶间压力为零，也就是