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文档简介

第九章习题课主要内容代数系统的构成：非空集合、封闭的二元和一元运算、代数常数二元运算性质和特异元素：交换律、结合律、幂等律、分配律、吸收律、单位元、零元、可逆元和逆元同类型的与同种的代数系统子代数的定义与实例积代数的定义与性质代数系统的同态与同构1计算机科学与工程学院基本要求判断给定集合和运算能否构成代数系统判断给定二元运算的性质求而二元运算的特异元素了解同类型和同种代数系统的概念了解子代数的基本概念计算积代数判断函数是否为同态映射和同构映射2计算机科学与工程学院练习11．设∘运算为Q上的二元运算，x,yQ,x∘y=x+y+2xy,(1)判断∘运算是否满足交换律和结合律，并说明理由.(2)求出∘运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元.(1)∘

运算可交换，可结合.任取x,yQ,

x∘y=x+y+2xy=y+x+2yx=y∘

x,任取x,y,zQ,(x∘y)∘z=(x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z

=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyzx∘(y∘z)=x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz

=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz3计算机科学与工程学院(2)设∘运算的单位元和零元分别为e和，则对于任意x有x∘e=x成立，即

x+e+2xe=x

e=0由于∘运算可交换，所以0是幺元.对于任意x有x∘

=成立，即

x++2x=

x+2x

=0

=1/2给定x，设x的逆元为y,则有x∘y=0成立，即

x+y+2xy=0(x≠1/2)因此当x

1/2时，是x的逆元.解答计算机科学与工程学院42．下面是三个运算表(1)说明那些运算是可交换的、可结合的、幂等的.(2)求出每个运算的单位元、零元、所有可逆元素的逆元练习2计算机科学与工程学院5解解答(1)*满足交换律，满足结合律，不满足幂等律.

∘不满足交换律，满足结合律，满足幂等律.

·满足交换律，满足结合律，不满足幂等律.(2)*的单位元为b，没有零元，

a1=c,b1=b,c1=a

∘的单位元和零元都不存在，没有可逆元素.

·的单位元为a，零元为c，a1=a，b,c不是可逆元素.说明：关于结合律的判断需要针对运算元素的每种选择进行验证，若|A|=n，一般需要验证n3个等式.单位元和零元不必参与验证.通过对具体运算性质的分析也可能简化验证的复杂性.6计算机科学与工程学院练习33.设G为非0实数集R*关于普通乘法构成的代数系统，判断下述函数是否为G的自同态？如果不是，说明理由.如果是，判别它们是否为单同态、满同态、同构.(1)

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