几何与代数-斐波那契数列5-1

1“斐波那契数列”若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即：1，1，2，3，5，8，13，……意大利数学家斐波那契的《算盘书》（1202年）2二阶递推公式由可得因此问题的提出：设A

是n阶方阵,求Ak?分析：(1)若A是对角阵，则易求Ak

=k.A

=

P1Q1

(2)一般方阵A可与对角阵相抵，即存在n阶可逆阵P,Q,使得

PAQ

=.

Ak

=

(P1Q1)

(P1Q1)…(P1Q1)若Q1

=P

,则

Ak

=P1

k

Q1

=

Qk

Q1(3)因此，当存在n阶可逆阵Q,使得

Q1AQ

=(对角阵)时,易求方阵Ak.此时称方阵A可与对角阵相似。问题：当A可与对角阵相似,

Q

与的关系如何

?当方阵A可与对角阵相似，即存在n阶可逆阵Q,使得

Q1AQ

=(对角阵)时,易求方阵Ak.Q–1AQ

=,设Q

的列向量为q1,q2,…,qn.显然它们线性无关.即A(q1,q2,…,qn)=(1q1,2q2,…,nqn),即Aqi=iqi,i=1,…,n

特征值

特征向量

对应qi则AQ=Q=Qdiag(1,2,…,n),1.定义=

n阶方阵

非零向量

特征值(eigenvalue)

特征向量(eigenvector)

对应§5.1方阵的特征值和特征向量一.特征值、特征向量的概念A

数注1.几何意义A33y=A=//y=A注2.否则,=,R,A==但是可以=0,此时,A=0=A=

(E–A)=0|E–A|=0

特征方程=

–a11–a12…–a1n

–a21

–a22…–a2n…………–an1–an2…–ann

特征多项式

特征值

特征向量

对每个，求(E–A)x=0的基础解系1,2,,t对应于的所有特征向量为k11+k22++ktt，

k1,,kt不全为0。2.计算先解|E–A|=0，求出所有特征值，解:|E–A|=(+1)(–2)2.

所以A的特征值为1=–1,2=3=2.

(–E–A)x=的基础解系:p1=(1,0,1)T.

对应于1=–1的特征向量为k1p1(k10).

(2E–A)x=的基础解系:

p2=(0,1,–1)T,p3=(1,0,4)T.

对应于2=3=2的特征向量为k2p2+k3p3

(k2,k3不同时为零).例1.求的特征值和特征向量.解:|E–A|=(–2)(–1)2.

所以A的特征值为1=2,2=3=1.

对于1=2,

求得(2E–A)x=0

的基础解系:p1=(0,0,1)T.

对应于1=2的特征向量为k1p1(k10).

对于2=3=1,

求得(E–A)x=0

的基础解系:p2=(–1,–2,1)T.

对应于2=3=1的特征向量为k2p2(k20).例2.求的特征值和特征向量.解法1:所以A的全部特征值为0(n1重根)和

例3.设0，Rn，求A=T的特征值和特征向量。设a10解:当=0时,(EA)x=0,即Ax=0.不妨设例3.设0，Rn，求A=T的特征值和特征向量。对应=0的任意特征向量不全为0此时只有一个线性无关的特征向量解:当=T时，(T

EA)x=0因为Ax=x，即x=x注意到即为A的对应特征值=T的特征向量所以只要找一个非零向量满足上述方程即可

例3.设0,Rn,求A=T的特征值和特征向量.r(TEA)+r(x)

nr(TEA)

n1r(TEA)+r(A)

r(TEA+A)=r(TE)=nr(TEA)

=n1=T的特征向量为r(A)=1二.特征值的性质性质1.

设1,…,n(实数或复数，可重复)是n阶方阵A=(aij)的n个特征值，即

|E–A|=(–1)(–2)…(–n)，则i=trA=aii

n

i=1n

i=1i=detA=|A|n

i=1证明：|E–A|=(–1)(–2)…(–n)推论1.方阵A可逆A的特征值均不为0性质3.设是A的特征值，对应特征向量，则

k、m、1/、f()

分别是

kA、Am、A-1、f(A)的特征值，且特征向量不变。

性质2.

方阵A与AT的特征值相同

证明：

|E–A|=

|(E–A)T|=|E–AT|性质4.若f是多项式，A是一个方阵，使f(A)=0说明(1).称f为A的一个化零多项式。则A的任一特征值必满足f()=0。注1.

A的化零多项式的根是A的所有可能的特征值.

例4.

若A2=

E,求A的所有可能的特征值.1=2=11=2=11=1,2=1解:由A2

E=0知，f(x)=x21为A一个化零多项式。f(x)=x21=0的根1、-1为A的所有可能特征值。注2.

A的化零多项式的根未必都是A的特征值.

例5.

f(x)=x21，

根为1、-1A1=1001,A2=1001,A3=0110.错误做法：

A2=

E,A2E=0,(A+E)(A

E)

=0,|A+E||A

E|

=0,|A+E|=0,|A

E|

=0,=1,1错误在于只能说明1、-1

是A的可能的特征值，但不能保证是所有可能的特征值。解法2:所以A的所有可能的特征值满足所以A的所有可能的特征值例3.设0，Rn，求A=T的特征值和特征向量。所以A的全部特征值为0(n1重根)及

例7.

设3阶矩阵A的特征值为2、1、-1，则解：A可逆若是可逆阵A的特征值，则1/是A1的特征值。故(+

1/)

是(A+A1)的特征值。例8.设3阶矩阵A的特征值为1,2,3,,则