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文档简介

函数复习之函数与方程函数与方程

函数与方程的思想，既是函数思想和方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。

（1）函数和方程是密切相关的，对于函数

y=f(x)，当

y=0时，就转化为方程

f(x)=0，也可以把函数式

y=f(x)看做二元方程

y–f(x)=0。函数问题可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程

f(x)=0，就是求函数

y=f(x)的零点。

（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数

y=f(x)，当

y>0时，就转化为不等式

f(x)>0，借助于函数图象与性质解决有关问题；而研究函数的性质，也离不开解不等式。二次方程有解问题确定主元，把它看成关于y的一元二次方程，其中x为参数于是解得解得该方程有意义，代表方程在实数范围内有解二次方程有解问题思路一：求导思路二：利用均值不等式思路三：转化成方程一般来说，分式二次型函数求值域可以转化成关于x的二次方程，利用判别式来解决（当且仅当x=±2时取等号）函数与方程思路一：用a,c

表示b，即b=f(a,c)，然后求该函数的值域思路二：用b表示a,c，得到关于b的方程由已知得原式所以a,c是方程的两根函数与方程因为f(x)为增函数，所以必有思路二：参变分离，画图所以a,b是方程的两根令，可得二次方程有两个不等的非负根思路一：由韦达定理二次方程根的分布：思路三：通过讨论二次函数的开口、对称轴、特殊点的函数值以及判别式研究零点方程与不等式思路一：二元化一元，转化成关于a

或b

的函数，再求值域思路二：将

ab，a+b看成整体，利用均值定理构造关于ab的不等式令，可得一般来说，二元函数求值域二元化一元，转化为一元函数求值域方程与不等式是否错选B?当且仅当时，取等号由图知

0<a<1函数在(0,1)上递减函数与不等式思路二：将不等式等价变形，参变分离思路一：令，转化为函数f(x)的最小值大于0令，则有a>g(x)恒成立，转化为求函数g

(x)的最大值在[1,2]上恒成立所以g(x)在[1,2]上递增，故g(x)在x=2时取得最大值

一般来说，不等式恒成立问题首选参变分离，避免分类讨论函数与不等式思路二：将不等式等价变形，构造新函数解决问题思路一：特殊值法，写出一个满足题意的函数，如f(x)=3x+5

令g(x)=

f(x)-2x–4，求导得g’(x)=

f’(x)–2>0

所以g(x)在R上单增，又因为g(-1)=

f(-1)+2–4=0，所以g(x)>0的解为

x>-1不等式相

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