《复变函数论》教学大纲

《复变函数》课程名称：复变函数英文名称：TheoryofFunctionsofaComplexVariable适用对象：数学与应用数学专业函授生先修课程：数学分析执笔人：于兴江 审定人：孟晗一、课程的性质、目的和任务（如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析…）及其它领域（学、弹性力学、电学、工程技术…）有着密切联系。通过本课程的学习,使学生系统掌握复变函数的基本理论与方法,从而增强分析问题与解决问题的能力。中学数学教育工作的能力。继课的学习做好了必要的准备。二、课程教学和教改基本要求三、课程各章节重点与难点、教学要求与教学内容、学时分配第一章复数与复变函数重点难点：无穷远点与扩充复平面教学要求：根的求法，会用复数表示平面图形，会用复数解决一些简单的几何问题。单连通区域与多连通区域。充分理解复变函数、多值函数、反函数等概念，理解复变函数的几何表示，会求简单平面图形的变换象（或原象函数的连续性及其等价刻划定理，熟悉有界闭集上连续函数的性质。教学内容：复变函数的极限与连续性，复球面，无穷远点与扩充复平面。第二章解析函数教学要求：的等价刻划定理特别是柯西-黎曼条件。数定义与基本性质。3.3．掌握幂函数与指数函数的变换性质与单叶性区域，理解并逐步掌握通过限制幅角或割单值解析分支的初值计算终值，了解反三角函数与反双曲函数。教学内容：复变函数的导数与微分，解析函数及其简单性质，柯西-黎曼条件，指数函数，三角函数，双曲函数，根式函数，对数函数，一般幂函数与一般指数函数，具有多个支点的多值函数，反三角函数与反双曲函数。第三章复变函数的积分重 点：柯西积分定理，柯西积分公式。难 点：柯西积分定理，柯西积分公式，解析函数与调和函数的关系教学要求：3.1．理解复变函数的积分的定义，掌握复积分的性质与计算方法。是由变上限积分确定的单值解析函数，会用牛顿-莱布尼兹公式计算复定积分。及它的第二个等价刻划定理，掌握柯西不等式、刘维尔定理、摩勒拉定理。函数的实部（或虚部）求虚部（或实部）的两种方法。教学内容：与调和函数的关系。第四章解析函数的幂级数表示法重 点解析函数的第三充要条件第四充要条件解析函数的唯一性定理解析函数点的孤立性。难 点：解析函数的唯一性定理，解析函数零点的孤立性。教学要求：理解复数项级数敛散性的定义，掌握其收敛性的两个刻划定理，掌握复级数的绝对收敛性及绝对收敛复级数的性质，掌握关于复变函数项级数的柯西一致收敛准则与优级数准解析函数项级数的维尔斯特拉斯定理。幂级数和函数的解析性。展开式，会用间接法把解析函数展开为幂级数。性与解析函数的唯一性定理，熟练掌握最大模原理及其推论。教学内容：第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点教学要求：级数的关系，会用间接法把解析函数在孤立奇点邻域内展成罗朗级数。斯特拉斯定理和皮卡（大）定理。判别法。掌握整函数的概念及其分类，了解亚纯函数的概念及其与有理函数的关系。教学内容：无穷远点的性质，整函数与亚纯函数。第六章留数理论及其应用重 点：留数定理，留数的求法，儒歇定理。难 点：用留数计算实积分，幅角原理，儒歇定理教学要求：求法。掌握用留数计算三角函数有理式在一个周期上的积分、有理函数的无穷限广义积分、（或三角函数上有奇点的积分的求法。其应用。教学内容：留数的定义，留数定理，留数的求法，函数在无穷远点的留数，用留数计算实积分，对数留数，幅角原理，儒歇定理。第七章保形变换重点：保形变换。难点：儒可夫斯基变换，黎曼映射定理，边界对应定理。教学要求：理解并掌握解析变换的保域性，理解解析变换的保角性（导数的几何意义，理解单叶解析变换的保形性。熟练掌握分式线性变换，掌握分式线性变换的保形性、保交比性、保圆（周）对称点性及分式线性变换的应用。掌握幂函数与根式函数所构成的保形变换及其作用，掌握指数函数与对数函数所构成基变换。教学内容：解析变换的保域性和保角性，单叶解析变换的保形性，分式线性变换及其分解，分式线性变换的保形性、保交比性、保圆（周）四、课外习题及课堂讨论课外习题及课堂讨论及见教材《复变函数论》钟玉泉编（第三版）高等教育出版社.2003.五、作业与考核方式作 业：见《复变函数论》钟玉泉编（第三版）高等教育出版社考核方式：闭卷考试六、推荐教材教学参考书：（第三版）高等教育出版社参考书：1、[德]C.Caratheodory()1985.72、[俄]普里瓦洛夫《复变函数引论》，闵嗣鹤，程民德等译，人民教育出版社，1983.3.L..Ahlfors(阿尔福斯（张立、张靖译，上海科学技术出版社，1984.6.4、庄圻泰，张南岳著：《复变函数》，北京大学出版社，1984.45、华北师范大学：《复变函数论》，辽宁人民出版社，1983.11（一，高等教育出版社，1993.47[苏联]沃尔科维斯基（宋国栋等译