专题2.6以二次函数与特殊四边形问题为背景解答题-208年中考数学备考优生百日闯关系列解析版

第六关以二次函数与特殊四边形问题为背景的解答【总体点评】二次函数在中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次动点问题的、特殊平行四边形的性质（主要包括线段之间的关系、角度的大小等等。在中，往往【解题思路】以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆【典型例题1】y1x2bxcA(2，0)，B（0，-6）两点2xCBA，BC，求△ABC的面积P点坐标；若不存在，请说明理由.（1（4，2（2）6（3）（1）AC为三角形的底，OB分两种情况即可（1）A（2，022bc{

b

y1x2+4x﹣6，∵y1x2+4x﹣61x422c

c

（4，2（2）令1x2+4x﹣6=0，∴x2﹣8x+12=0，∴解得：x1=2，x2=6C（6，0212

（3）存在．分两种情况BBP∥OCPOBPCP（2，－6【名师点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及平行四边形的判定方法，解题的关键是4A（3，0，B（﹣1，0）yC．D，求△ACD的面积（1中探索P，QA1AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动P，Q运动到t秒时，△APQPQ所在的直线翻折A恰好落在抛EAPEQE点坐标（2中探索． x﹣4（2）4（3）4（1）（2）（3）相同，则△APQA、EAP=EP，AQ=EQ，易得四边形四边都相等，tEE在EtE4（1）∵y=3x2+bx+c的图象与xA（3，0，B（﹣1，0493bc441bc∴ b33 ∴y=3x2﹣3DDM⊥y ∵y=3x2﹣3x﹣4=3（x﹣1）2﹣3

3C（0，﹣41

S△ACD=SAOMD﹣S△CDM﹣S△AOC2×（1+3）×3﹣2×（3﹣4）×1﹣2 APEQ为菱形，E点坐标为（﹣8，﹣16．理由如下2，EPQAQ作，QF⊥APF，AQEPAFFQ∴ ACAFFQ∴ ∴AF=5t，FQ=5 ∴Q（3﹣5t，﹣5 ∴E（3﹣5t﹣t，﹣5 ∵Ey=3x2﹣3x﹣4 ∴﹣5t=3（3﹣5t）2﹣3（3﹣5∴t=64t=0（A重合，舍去 ∴E（﹣8，﹣16【名师点睛】本题考查了二次函数性质、求三角形的面积、菱形等知识，总体来说题意复杂但解答A（3，1C（0，4，顶MAAB∥xyDBBC．若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的（不包括△ABC的边界，求m的取值范围ACCMCBM（1）y=﹣x2+2x+4（1，5（﹣1，7）;（4（1，3）（1）利用待定系数法，求二次函数解析式.(2)ACAC下方，AB上方，在求出坐标的范围.(3)y=1时，﹣x2+2x+4=1，解得x=﹣13MM′∥AC，可得平M的坐标.(4)MC，MM′PQFCMFP是矩形当四边形PAM′M是平行四边形时,P的坐标为（1，3）或（﹣3，7．学/*科+-/*网（1）A（3，193bc c

,解得

b,c∴M的坐标为A（3，1，C（0，4）k

3kb，b解得： b∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点（1，3（1，1（1，5﹣m∴B（﹣1，1∵C（0，4 M的坐标（3，3）或（﹣1，7P（m，﹣m+422则 22∴P（1，322 （﹣m22∴P（﹣3，7（﹣3，7【名师点睛】1.求二次函数的解析已知二次函数过三个点，利用一般式，y＝ax2＋bx＋c（a0）.列方程组求二次函数解析式已知二次函数与x轴的两个交（x1,0）(x2,0)， 根式

axx1xx2（a0）求函数解析式,而且此时对称轴方程过交点的中点

xx1x22yaxh2k,（a0）求二次函数解析式（4）已知条件中a，b，c，给定了一个值，则需要列两个方程求解(5)（x1y）(x2,y)xx1x22【方法归纳①若是否存在这样的动点构成矩形呢？先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否？若相等， ③若是否存在这样的动点构成正方形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等？和【针对练习x=A（6，0）B（0，﹣4E（x，y）OEAFOA为对角线的平行四边形OEAFSx之间的函数关系式；当（2）OEAF24OEAF-+，（2）S=-12（3）（2）E4，S=2×S=﹣2x2+14x﹣12；（3）OEAF24OEAFOEAFEOEAF24OEAF不能为菱形．考点：1二次函数综合题；2菱形A（﹣2，0（0，﹣8DBB'P的坐标；B，F，M，NM（）y=22﹣8，（1﹣9（2）（

1- （3） 9）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣32【解析】试题分析（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式可求得a、c的值，从而得到抛物线的解D的坐标；y=0BE的坐标，由折叠的性质可求得∠BEP=45°，设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入可求得b的值，从而可求EPEP的解析式和抛物线的解析式联立组成方程组求解即可；CDCBy=k2x﹣8F（a，﹣a﹣84a4c（1）

c

1或121P12

11

1111（3）CDy=kx﹣8D的坐标代入得：k﹣8=﹣9CDCBy=k2x﹣8B的坐标代入得：4k2﹣8=0BCy=﹣6，∴F（1，﹣6（a，﹣a﹣8（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）22 坐标为 （a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2M的坐标为（4，﹣12）或（﹣5，﹣3M的坐标为（﹣252

9）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣32a的方程是解题的关键．A（﹣3，0，B（﹣2，3，C（0，3M（1，mPAC上方的一个动点，求△APCFN，D，E，FE【答案（1）yx22x3

）

3

3，3 3332（1）Bx=1B′B'D，B'Dx=1的交Mm的值．yPE（﹣1，4 B′（4，3，由D（﹣1，4

x =18 PE⊥xACE2，ACy=x+3，设

m22m3（mm+31PE=m22m3m3=m23m12m=﹣3时，△APC27

PE•|xA|=2

（m23m）×3=

3m22

3 2 2 （1D（﹣1，4，N（﹣1，2E（x，x+3①当点E段AC上时，点F在点E上方，则F（x，﹣x22x+3，∵EF=DN，∴﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）（﹣2，1（x﹣x2﹣2x+3∵EF=DN（x+3）﹣（﹣x2﹣2x+3）=2x32

2

E2

3 ）23333 332

33333点睛：本题考查了二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）分类，以防遗漏y1x2bx2

（6，0，点（0，6D的坐标；学*/*/科*/F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDEFMMMN∥xNPxQMNMPNQQ，D（2，8（2（﹣1，（3（2， 或（2，2 （1）FFG⊥xGF点坐标，利用△FBG∽△BDEFM、NPxQQ1x22x 4Fx6 x=﹣1x=6（舍去F点的坐标为（﹣172

1x22x1 16 1x22x当点F在x轴下方时，有 1，解得x=﹣3或x=6（舍去此时F点的坐标为（﹣3，﹣6 92 F点的坐标为2

）或（﹣3，﹣2（3）2MN、PQO′M、NMPNQ为正方（22nn，∵ n= ，∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，2 ）或（2，2 考点：二次函数综合题；分类；动点型；压轴题1yax2bx2xABy轴交于点CAB4，矩形OBDCCD1DCE如图2PEOPyEO于点GPHEOH.PH的长为lPm，求lm的函数关系是（m的取值范围，并求出l的最大值；NMMA,CN为顶点的四边形是M的坐标；若不存在，请说明理由.（1）y=﹣2x2﹣4x+2（2）l=﹣2（m1）2492492（3） 3

）或3

）或（﹣2，2（1）EOE解析式，可知∠PGH=45°mPGlACACACMF，则可证得A、Bab2 9a3b2 a 解得 b ∴抛物线解析式为y=﹣2x2﹣4 （2）y=﹣2x2﹣4x+2y=22=﹣2x2﹣4x+2x=0 ∴E（﹣2，2OE23

m2﹣4m+23∵PG∥y∴G（m，﹣m∵POE∴PG=﹣2m2﹣4m+2﹣（﹣m）=﹣2m2﹣1m+2=﹣2（m+1）2+49 OE 49 [﹣

14

时，l有最大值，最大值 4949ACL，（x，y，则x=23

，当x=﹣4时 3∴M点坐标为3

）或 3∴M（﹣2，2M的坐标为3

）或3

）或（﹣2，2

5DDCx轴，垂足为C.x-k+-2点P 段OC上（不与点O、C重合过P作PNx轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求PCM面积的最大值；Px轴正半轴上的一动点，设OPM、C、D、N为顶点的四边形【答案】

y3x211x1；（2）当m=

=

9

M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形

最大 （1）

5yax2bx1a、b2（2）

（0<m<3PCMm（3）PCPC的右边两种情况求解（1）B(4,0

5yax2bx12ADb 3kb把A(0,1)，D(3,2)3kb b解得， 1b 1∴y

x2xp

（0<m<31∴MP=ym2m11∵OPtxpt（0<t<3

1t1,

3t211t1 ∴MN=yN5

(3t211t1)(1t1)3t29t 2∴3t29t5 9 6综上所述，当t 时，以点M、C、D9 6yax2bxcA(1,0B(3,0C(0,3.MNMMD//yBCDxEyax2bxcNNFxF.MNFE为正方形（M在对称轴的右侧若DMN900MDMNM的横坐标（1）y=﹣x2+2x+3（2）24+8524﹣85（3）M517、2、﹣15 设点M坐标为（m，﹣m2+2m+3）ME=|﹣m2+2m+3|、MN=2m﹣2MNFE为正方形知ME=MN，据此列出方程，分类求解可得；﹣a+3），由MD=MN列出方程，根据点M的位置分类求解可得．试题解析：（1）∵y=ax2+bx+cA（﹣1，0），B（3，0），2（2）由（1）x=﹣2(1)①当﹣m2+2m+3=2m﹣2时，解得：m1=5、m2=﹣5（不符合题意，舍去m=5时，正方形的面积为（25﹣2）2=24﹣85；学/*科+-*-②当﹣m2+2m+3=2﹣2m时，解得：m3=2+5，m4=2﹣5（不符合题意，舍去m=2+5时，正方形的面积为[2（2+5）﹣2]2=24+8524+8524﹣85（3）BC3kbb

kbb，解得： BCM的坐标为（a，﹣a2+2a+3）N（2﹣a，﹣a2+2a+3），Ma2﹣3a≥0a≤0a≥3，a2﹣3a=2a﹣2，

52

52

M

52

、2、﹣1

5 yx2x1xA(10，另一交点为B，与y轴交点为C．NBCNCN P是抛物线上一点，点Qy

x 的图象上一点，若四边形OAPQ （）y=﹣22x+3（（143）（0，3（1，3）

2，4把（﹣1，0）0=﹣（﹣1﹣1）2+k，k=4，y=﹣（x﹣1）2+4，即（2）y=﹣x2+2x+3x=0y=3，即C的坐标是（0，3，OC=3．∵B的坐标是（3，0∴OC=OB，则△OBC∴N的坐标是（1，4（3）∵OAPQPQ=OA=1 P（t，﹣t2+2t+3y=2x+2，则﹣t2+2t+3=2（t+1）2，2t2﹣t=0，1t=02∴﹣t2+2t+334 （0，3（1，3）如图，抛物线yax2bx3经过点A23x轴负半轴交于点ByC，且OC3OBDy轴上，且BDOBACDMNABMN为顶点的四边形是平M的坐标；若不存在，请说明理由.（1y=x2﹣2x﹣3（2D（01D（0﹣1（3（1）F（﹣1，﹣3（0，mM（a，a2﹣2a﹣3，N（1，na∴b2ACBF⊥ACAC∵A（2，﹣3，C（0，﹣3∴AF∥x∴F（﹣1，﹣3D（0，m∴D1（0，1，D2（0，﹣1M（a，a2﹣2a﹣3，N（1，nABAB∥MN，AB=MN2M作MEyE，AF⊥xF，∴a=4（﹣2，5（3ma，mPPt，△PABss与t在（2）xQB．C．P．Q，m=3（2）S=﹣t﹣5（3）﹣3，0（1） ，根据待定系数法即可求得联立方程求得 的坐标，设点横坐标为，则进而求得D的坐标，然后根据 的坐标，根据平行四边形的性质即可确定的坐标为1，代入抛物线解析式求得横坐标，进 ∴Pt,把x=t代 得或由直线AB为可知∵B3，Q(m,0),则Q如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线顶点，点是直线 （）这个二次函数的表达式 （）设直 （）若把条件“点是直线 下方的抛物线上一动点．”改为“点是抛物线上的任一动点”，其它条件不变， （2）x≤0x≥3（3）（4）（5）（－2，5（2，－3）（4，5x=0，∴y=﹣3，∴C（0，﹣3x=3，∴A（﹣1，0，B（3，0，∴PO=PC．∵C（0，﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3上，∴﹣ 或 （舍，∴P（ ．﹣当m=时，S四边形ABPC最大=．B（3，0，C（0，﹣3，D（1，﹣4的解析式为y=2x﹣6，直线CD的解析式为y=﹣x﹣3．∵以P、C、D、B为顶点的四边形为梯形．∵抛物线y=x2﹣2x﹣3①；P1（2，﹣3，[﹣4）D重合，舍去P3（﹣2，5（﹣2，5（4，5（10，0D（﹣2，0CP=t（0＜t＜10t（2）t=3（3） （1）∴C（0，4A（10，0∴B（10，4

100a10b4B、D坐标代入抛物线解析式可得a

4a2b4解得

6b3t 当∠PBE＝∠CDO时，则 t t＝3（3）PMQN AQ2AQ2OC2mOC2

＝25

＝45解直角三角形、方程思想等知识．在（1）中注意利用矩形的性质求得B点坐标是解题的关键，在（2）中证得△PBE∽△OCD是解题的关键，在（3）Rt△COQ∽Rt△QABCQ的长是解题的关键．本题13（2017C． ，点A的坐标 ，点B的坐标 为该抛物线的“梦想三角形”NFE、F（﹣2， （10（2N +3（3）（1）∵梦想直线与抛物线解析式可得 B（1，0，（﹣2， （2）当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形，如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD=2中，令y=0可求得x=﹣3或1，∴C（﹣3，0，且A（﹣2，，∴