2016年北大优秀中学生体验营暑期课堂数学试题及详解

年北京大学全国优秀中学生暑期学堂数学试题文科生做前5题，理科生做后5题，每题20分.111、b一c.c丁,.；a.a、b111、b一c.c丁,.；a.a、b设a,b,c均为正数且a,b,c成等差数列，判断是否成等差数列，并说明理由.222设a,b,c为实数，证明：对任意实数x都有(x-a)+(x-b)?c当且仅当(a-b)?2c.已知复数Z1,z2满足Z1与Z1+Z2有相同的模且Zz2二a(1-i)，其中a为非零实数，求Z2的值.—条直线与双曲线交于A,B两点，与此双曲线的渐近线交于C,D两点，证明：线段AC与BD的长度相等.设a,3均为锐角，满足sina+sin3=sin(a+3)，求a+3的值.已知△ABC的面积为1,D,E分别是边AB,AC上的点，F为线段DE上的一点，设AD:AB=x,AE:AC=y,DF:DE=z且y+z-x=1.求△BDF的面积的最大值并求出此时x,y,z的值.2016年北大全国优秀中学生暑期学堂数学试题参考答案2题中方程有解即a=-sinx-cosx有解，从而有2a二2a二cosx-cosx-15-丄2I2丿由题意知b-a=c-b=(c-a)/2，所以11.c-.b•.bija.cYa.ca2+——='===;b、ca•,bc-bb-ab-a1c,a2(c_a丿从而得1'一从而得1'一c亠-.:a—一-是等差数列.、a亠、b对题中不等式整理得2222x-2(a+b)x+(a+b-c)?0,此不等式恒成立当且仅当对应判别式22.22、小△=4(a+b)-8(a+b-c)=4[2c-(a-b)]?0,等价于2c?(a-b)2,命题得证.由题意知：2_I2__Z1=乙石=忆+乙2=(Z1+Z2)(N+爲),化简得z2Z2z2Z|Z|Z2=0因为Z,z2=a(1-i)，所以z,Z2=a(1■i)，代入上面的式子得z2Z2=-2a.于是有z2互z2-2a-1iz,z2互z2-2a-1iz,z,z2a(1i)5.以双曲线的中心为原点，以实轴所在直线为x轴建立直角坐标系，则双曲线与它的渐近线方程可以表示为其中入=1时为双曲线，入=0时为渐近线.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，则有厂2x_2a2x22la2b212b21两式相减得(为—X2)(x「X2)(%-y2)(wy2)_0a2b2同样有(X3-X4)(X3X4)2a因为A,B,C,D四点共线，当此直线斜率不存在或者斜率为零时,因为A,B,C,D四点共线，当此直线斜率不存在或者斜率为零时,由双曲线的对称性得AC=BD当此直线的斜率k存在且不为零时，有yiyiy2x冷y3y4_b2~x3x4ak即AB的中点与CD的中点在过原点的同一条直线上，所以它们重合，从而有AC=BD事实上，此结论可以直接由双曲线的“垂径定理”得到.6.显然当a+3=n/2时，等式成立；由已知条件知22sina+sin3=sinacos3+cosasin3,整理得sina(sina-cos3)=sin3(cosa-sin3).若a+3工冗/2，则有sina-cos3与cosa-sin3同号.若它们同为正，则有sina>cos3=sin(n/2-3),cosa=sin(n/2-a)>sin3,从而有a>n/2-3,n/2-a>3,无解；若它们同为负，用类似的方式也可以推导出矛盾.综上，a+3=n12.7.如图，连结BE:■B由三角形的面积公式1S=absinC可以得到2ADE=xyS^AB(=xy,S^bce=(i-y)S△ABC=1-y,所以有S^BDE=l-xy-(1-y)=y(1-x).从而有z+