弯曲应力、强度计算参考资料

第六章弯曲应力和强度一、授课学时：6学时二、重点与难点：重点:弯曲正应力、剪应力分布，弯曲强度条件应用难点:弯曲正应力、剪应力推导过程和弯曲中心的概念重点处理:从弯曲变形的特点出发，让学生了解两个应力的分布规律，并对两个应力的分布进行对比，加强学生理解和记忆。分析弯曲正应力、剪应力公式中各项的意义计算方法，结合T型截面梁铸铁梁.这一典型问题分析，并在作业中进一步强化训练.难点处理：结合梁弯曲变形的特点，推导两个应力公式，在推导中，充分利用前面的知识，N发挥学生的主动性，让学生自己选择解决方法，加强学生对内容的掌握。对照。=3,^=邛AiP的推导消化难点，以学生理解这一推导思路.结合纯弯曲的条件和两个方向平面弯曲理解弯曲中心.三、主要内容：（一）弯曲正应力1、纯弯曲时的正应力图所示简支梁AB，载荷P作用在梁的纵向对称面内，梁的弯曲为对称弯曲，其计算简图如图所示。从AB梁的剪力图）和弯矩图可以看到，AC和DB梁段的各横截面上，剪力和弯矩同时存在，这种弯曲称为横力弯曲；而在CD梁段内，横截面上则只有弯矩而没有剪力，这种弯曲称为纯弯曲。横力弯曲时，华=Q力0。dxdM八八可以知道，梁的各截面上弯矩是不同的；纯弯曲时，由于一厂=Q=0，可知梁的各dx截面上弯矩为一不变的常数值，即M=常量。因此，纯弯曲时，梁的横截面上只有弯曲正应力，没有弯曲剪应力。下面，首先分析梁在纯弯曲时横截面上的弯曲正应力。纯弯曲时，根据梁的静力关系知道，横截面上的正应力。组成的内力系的合力矩即为弯矩M。但是，只利用静力关系是不可能找到应力分布规律的，因此，所研究的问题是超静定的。和拉（压）杆的正应力、圆轴扭转的剪应力的分析一样，必须综合考虑梁的变形关系、物理关系和静力关系进行分析。（1）变形几何关系为了分析梁的关系，变形前先在梁的侧面画上与轴线平行的纵线以及与梁轴垂直的横线，分别表示变形前梁的纵向纤维和梁的横截面（图6-2a）。在材料试验机上作纯弯曲实验，可以观察以下现象：（1）梁上的纵线（包括轴线）都弯曲成圆弧曲线，靠近梁凹侧一边的纵线缩短，而靠近凸侧一边的纵线伸长。（2）梁上的横线仍为直线，各横线间发生相对转动，不再相互平行，但仍与梁弯曲后的轴线垂直。（3）在梁的纵线伸长区，梁的宽度减小；而在梁的纵线缩短区，梁的宽度增大根据上述实验观察到的纯弯曲的变形现象，经过判断、综合和推理，可作出如下假设:（1）梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。横截面只是绕其面内的某一轴线刚性地转了一个角度。这就是弯曲变形的平面假设。（2）梁的纵向纤维间无挤压，只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。为进一步研究与正应力有关的梁的纵向纤维的变形规律，如图所示，用横截面1-1和2-2从梁中截取出长为dx的一个微段，横截面选用如图所示的J-Z坐标系。图中，J轴为横截面的对称轴，z轴为中性轴。从图中可以看到，横截面1-1和2-2间相对转过的角度为d0，中性层OO2曲率半径为P，距中性层为j处的任一纵线（纵向纤维）a为圆弧曲线。因此，纵线ab的伸长为AZ=(p+y)dO-dx=(p+y)d0-pd0=ydQ而其线应变为TOC\o"1-5"\h\zAlyd^

£=—=—\o"CurrentDocument"epd0由于中性层等远的各纵向纤维变形相同，所以，公式线应变£即为横截面上坐标为y的所有各点处的纵向纤维的线应变。（2）物理关系根据梁的纵向纤维间无挤压，而只是发生简单拉伸或压缩的假设。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限PP时，可由虎克定律得到横截面上坐标为y处各点的正应力为_…Eb=E£=—yPE该式表明，横截面上各点的正应力b与点的坐标y成正比，由于截面上一为常数，说P明弯曲正应力沿截面高度按线性规律分布，如图所示。中性轴z上各点的正应力均为零，中性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。（3）静力关系图所示梁的横截面的窨直角坐标系O-xyz中，y轴为截而后纵向对称轴，Z轴为截面的中性轴，x为通过截面上O点与截面垂直的轴。横截面上坐标为（y,z）的点的正应力为。，截面上各点的微内力^dA组成与横截面垂直的空间平行力系（图中只画出了该平行力系中的一个微内力，C为横截面的形心）。这个内力系只可能简化为三个内力分量，即平行于X轴的轴力2，对z轴的力偶矩M和对轴的力偶矩My，分别为N=\^dAA一M=jzEAM=jyjdAA0梁纯弯曲时，横截布没有轴力，有将物理关系代入上式可得：jEydA=—jydA=0aPPAE八由于弯曲时一卫0，必然有pjydA=S=0此式表明，z轴，即横截面的中性轴一定是形心轴，点O即为截面的形心（O点和C点重合）。x轴即为梁的轴线。从而，完全确定了纯弯曲时中性轴z在横截面上的位置。

同时，由于对称弯曲时梁的横截面上弯矩My=0,可得M=j8dA=0由于横截面上的正应力。只与点的y坐标成正比而与z坐标无关，而y轴又为截面的纵向对称轴，所以，这一关系式是自动满足的。最后，根据对称弯曲时梁的横截面上弯矩M=M，将物理关系代入下式M=jy^dA=—\y2dA=M式中积分jy2dA=I是横截面对中性轴z的惯性距，上式可表达为1EIz越大，则曲率-越小。因此，1_M厂E式中，-是纯弯曲时梁轴线变形后的曲率。该式表明，PEI称为梁的抗弯刚度。将该式代入式微分关系，即可得到弯曲时梁的横截面上的正应力计z算公式M°=亍z即以梁的中性层为界，梁的凸出一侧为拉压力，凹入的一侧为压应力。1EIz越大，则曲率-越小。因此，z即以梁的中性层为界，梁的凸出一侧为拉压力，凹入的一侧为压应力。设y为横截面上离中性轴最远点到中性轴的距离，则截面上的最大正应力为max如引入符号。二maxIzW=—^-如引入符号。二maxIzW=—^-maxmax^W

z式中，Wz称为截面图形的抗截面模量。它只与截面图形的几何性质有关，其量纲为长度1矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为：bh3I12bh2bh3I12bh2———=—-—=yh6max2Wz直径为d的圆截面：nd3I~6Fnd3

—L=——-—=yd32max—2至于各种型钢的抗弯截面模量，可从附录II的型钢表中查找。若梁的横截面对中性轴不对称，则其截面上的最大拉应力和最大压应力并不相等，例如T形截面。这时，应把y1和y2分别代入正应力公式，计算截面上的最大正应力。最大拉应力为：(b(b)tMz.最大压应力为：2、横力弯曲时的正应力弹性理论分析表明，对横力弯曲时的细长梁，即截面高度入远小于跨度l的梁，横截面上的下述附加正应力和纵向纤维间的正应力都是非常微小的。而且，用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式，即_My

b——Iz来计算细长梁横力弯曲时的正应力，和梁内的真实压力相比，并不会引起很大的误差，能够满足工程问题所要求的精度。所以，对横力弯曲时的细长梁，可以用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式计算梁的横截面上的弯曲正应力。3、弯曲正应力强度条件梁在弯曲时，横截面上一部分点为拉应力，另一部分点为压应力。对于低碳钢等这一类塑性材料，其抗拉和抗压能力相同，为了使横截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力，常将这种梁做成矩形，圆形和工字形等对称于中性轴的截面。因此，弯曲正应力的强度条件为：bmax<bbmax<b]W^7zmax对于铸铁等这一类脆性材料，则由于其抗拉和抗压的许用应力不同，工程上常将此种梁的截面做成如T字形等对中性轴不对称的截面（6-6b），其最大拉应力和最大压应力的强度条件分别为（七）max（bc）maxf牛7zmax<bc（bc）maxf牛7zmax<bc]"］和L］分别为脆性材料的弯曲许用拉应力和许用压应力。tc

例•图所示外伸梁，用铸铁制成，截面为『字形。已知梁的载荷尸广\QkN,L=4kN,铸铁的许用应力卜七]=30MPa,t°]=100MPa。截面的尺寸如图所示试校核此梁。PP解：①计算梁的支反力并作弯矩图根据AB梁的平衡条件，求得支反力为RA=3kN,RB=11kN作AB梁的弯矩图如图6-7(b)所示。可以看到在梁的。截面上有最大正弯矩MC=3kN-m在B截面上有梁的最大负弯矩：M=-4kN-mB②确定截面形心位置并计算形心轴惯性矩T字形截面尺寸如图6-7(a)所示，心y-Z'为考虑坐标系，确定截面形心的位置。由S20X90X10+120X20x80“y=y==2q~90~120~20=50mmT形截面对其形心轴z的轴惯性矩90x2035“小20x12035I=+90x20x402++120x20x302Z1212=7.89x10-6m4③分别校核铸铁梁的拉伸和压缩强度对等直梁，若材料为塑性材料时梁的截面大多数为具有水平对称轴的截面，梁内的最大拉应力和最大压应力相等，并且都发生在梁的弯矩绝对值最大的截面上。而脆性材料梁的截面大都制成象T字形等没有水平对称轴的截面。这时，梁的最大拉应力（或压应力）不仅取决于弯矩数值的大小，还与弯矩的正负符号（方向）及截面开头有关。因此，要分别校核危险截面B和C上的弯曲正应力。TOC\o"1-5"\h\zG）=竺2=4x103x50x10-325AMPav"

tmaxI7.98X10-6t在'截面：G）=3=4x103x90x10-3=45.*。vt]cmaxI7.98x10-6c在C截面：（t）==3x103x50x10-3=18.8MPavt]maxI7.98x10-6c=如=3x103x90x10-3=33郴尸。＞t]tmaxtI7.98x10-6t所以，铸铁梁的拉伸强度不满足，即AB梁是不安全的。4、提高弯曲强度的措施（1）合理安排梁的支承及载荷（2）梁的合理截面（3）等强度梁

弯曲剪应力横力弯曲时，梁内不仅有弯矩还有剪力，因而横截面上既有弯曲正应力，又有弯曲剪应力。同时，由于横力弯曲时梁的横截面不再保持为平面，弯曲剪应力不能采用综合变形条件、物理条件及静力条件进行应力分析的方法。本节从矩形截面梁入手，研究梁的弯曲剪应力。矩形截面梁的弯曲剪应力分析图所示横力弯曲的矩形截面梁截面上某点处的剪应力时，需要先分析截面上剪应力的分布规律。矩形截面上，剪力己截面的纵向对称轴J轴重合。在截面两侧边界处取一单元体(尺寸分别为dx,dy,dz)的微小六面体，设在横截面上剪应力^的方向与边界成一角度，则可把该剪应力分解为平行于边界的分量ty和垂直于边界的分量'。根据剪应力互等定理，可知在此单元体的侧面必有一剪应力tx和tz大小相等。但是，此面为梁的侧表面，是自由表面，不可能有剪应力，即tx=tz=0。说明矩形截面周边处剪应力的方向必然与周边相切。因对称关系，可以推知左、右边界y轴上各点的剪应力都平行于剪力Q。所以，当截面高度h大于宽度b时，关于矩形截面上的剪应力分布规律，可作如下假设：截面上任意一点的剪应力都平行于剪力Q的方向。剪应力沿截面宽度均匀分布，即剪应力的大小只与y坐标有关。

从图所示横力弯曲的梁上截取长为dx的微段梁，设该微段左、右截面上的弯矩分别为M及M+dM；剪力均为。。再在m-n和m】-七两截面间距中性层为y处用一水平截面将该微截开，取截面以下部分进行研究。在六面体町n"，左、右竖直侧面上有正应加1、。2和剪应力"顶面上有与'互等的剪应力…。在左、右侧面上的正应力。1和-之分别构成了与正应力方向相同的两个合力N成了与正应力方向相同的两个合力N1和N之，它们为刀Mj

bdA=-j—jz如图所示。式中积分式中，A*为横截面上距中性轴为y的横线以外的面积，S;=jydA是A*的截面积对矩形截面中性轴z的静矩。因此，上式简化为N1=#S*如图所示。式中积分同理，N2=空S；因微段的左、右两侧面上的弯矩不同，故N2和N1的大小也不相同。N1N2只有和水平剪应力T‘的合力一起，才能维持六面体在X方向的平衡，即zX=0，N1-N2T’(bdx)=0将N1和N2代入上式，有M+dMMv1S*——S*—tbdx=0整理、化简后有,dMS*T=zdxblz根据梁内力间的微分关系华=Q，可得dx,QS*T=zblz由剪应力互等定理『=匚，可以推导出矩形截面上距中性轴为J处任意点的剪应力计算公式为QS*T=zblz式中Q——横截面上的剪力I——横截面A对中性轴乙的轴惯性矩b——横截面上所求剪应力点处截面的宽度（即矩形的宽度）S:——横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积A*对中性轴的静矩现在，根据剪应力公式进一步讨论剪应力在矩形截面上的分布规律。在图所示矩形截面上取微面积dA=bdy，则距中性轴为j的横线以下的面积A*对中性轴z的静矩为

=jydA=j2bydyA*111将此式代入剪应力公式，可得矩形截面剪应力计算公式的具体表达式为从该式可以看出，沿截面高度剪应力T按抛物线规律变化，如图所示。可以看到，当h„y=±5时，即矩形截面的上、下边缘处剪应力t=0；当y=0时，截面中性轴上的剪应力为最大值：Qh2T=max8IzTbh3将矩形截面的惯性矩I=代入上式，得到z123QT=max2bh说明矩形截面上的最大弯曲剪应力为其平均剪应力1.5倍。工字形截面梁的弯曲剪应力工字形截面可以看做由三个矩形截面组成，因此其弯曲剪应力计算与矩形截面梁类似。仍然沿用矩形截面梁弯曲剪应力计算公式T仍然沿用矩形截面梁弯曲剪应力计算公式TQS*zbl+b((h-y\27((h-y"2_(Hh)「h1(Hh\=B—一一"22)将此式代入弯曲剪应力公式并注意到t=b，可得腹板上弯曲剪应力的计算公式T=—BH2一h2)+-[—一y+b((h-y\27((h-y"2zLy=0时，在截面中性轴上y=±3时，在腹板与翼缘的交界处Tmax专［题-sb尊］Q「BH2Bh2T=Tmax专［题-sb尊］minbl^88z弯曲剪应力强度条件由于横力弯曲时在梁的截面上同时存在两冲应力，即弯曲正应力和弯曲剪应力，并且它们的分布规律并不相同，因此，弯曲强度的计算是比较复杂的，为使梁安全可靠地工作，梁除了必须满足正应力强度条件外，还必须满足剪应力强度条件。梁的最大弯曲剪应力都发生在截面中性轴上各点处，而中性轴上各点的弯曲正应力都为零，即这些点都处于纯剪切状态，所以，梁的弯曲剪应力强度条件为=(多]阳max"blzmax式中，L］为材料的许用弯曲剪应力。例.试比较图所示受均布载荷g作用的矩形截面梁的最大弯曲正应力和最大弯曲剪应力。

解：①计算梁的支反力并作内力图根据AB梁的平衡，求得支反力为ra=rb=q作梁的剪力图和弯矩图如图所示。从图中看到Qmax=qql2M=-—maz8②计算梁的最大应力在梁的中间截面的上、下边缘处有最大弯曲正应力Q=Mmax_%=虹max一俨—bh2—4bh2z6在梁的两端截面的中性轴上，在最大弯曲剪应力qlt_3Qmx_3.y_3q£max2bh2bh4bh③比较此梁的最大弯曲正应力与最大弯曲剪应力bmax_Tmax3ql2

4bh2

bmax_Tmax（三）非对称开口薄壁截面梁的弯曲中心横力弯曲时，梁的横截面上不仅有正应力还有剪应力。对于有对称截面的梁，当外力作用在形心主惯性平面内时，剪应力的合力，即剪力作用线通过形心，梁发生平面弯曲。对于非对称截面（特别是薄壁截面）梁，横向外力即使作用在形心主惯性平面内，剪应力的合力

作用线并不一定通过截面形心。当剪应力的合力作用线不通过截面形心时，梁不仅发生弯曲变形，而且还将产生扭转，如图所示。只有当横向力作用在某一特定点A并和形心主惯性平面平行时，该梁才只产生平面弯曲而无扭转，如图所示。这一特定A称为弯曲中心或剪切中心，简称弯心。1、开口薄壁杆件的弯曲剪应力V图所示任意的开口薄壁杆件。当杆件发生平面弯曲时，其截面上的弯曲剪应力形成剪应力流，如图所示，开口薄壁杆件横截面上的剪应力，可按照与矩形截面相同的方法来分析。薄壁杆件的X截面上剪力为。。欲求该截面上距自由边缘为&点的剪应力时，仍从梁中以相距心的两个横截面和沿薄壁厚度t的纵向截面截出一部分abcd。在这一部分的ad和bc面上有弯曲正应力。1和。之，在底面d上有和b面上c点的剪应力互等的剪应力…。这些应力的方向都平行于X轴。类似于矩形截面弯曲剪应力的推导，先求得be和ad面