基础8空间几何、解析几何

作业回顾作业回顾作业回顾空间几何体概念性：长方体，柱体，球体计算型：体积和表面积难

点：几何体的组合，内切，外接，截面𝑎2

+𝑏2

+𝑐2

；长方体的每一个矩形都叫做长方体的面，面与面相交的线叫做长方体的棱，三条棱相交的点叫做长方体的顶点。长方体有6个面。每组相对的面完全相同。长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，相邻的两条棱互相垂直。长方体有8个顶点。每个顶点连接三条棱。三条棱分别叫做长方体的长，宽，高。设长方体的三条棱长为𝑎,𝑏,

𝑐

,则体积𝑉=𝑎𝑏𝑐；表面积𝑆=2(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑎𝑐)；体对角线长𝑑=所有棱长之和为4(𝑎+𝑏+𝑐).立方体是由6个正方形面组成的正多面体，又称正六面体、正方体或正立方体。设立方体的棱长为𝑎，则表面积为

6𝑎2

,体积为𝑎3，体对角线长为

3𝑎.在所有表面积一定的长方体中，立方体的体积最大，同样，在所有长宽高之和一定的长方体中，立方体的体积也是最大的。反之，体积相等的长方体中，立方体拥有最小表面积及长宽高之和。常规战术长方体中与同一顶点相邻的三个面的面积分别为2，6，3，则它的体积为（

）.A.

4 B.

5 C.

6 D.

7 E.

8秒杀秘籍将表面积分别为54、96和150的三个铁质正方体熔成一个大的正方体（忽略损耗），则这个大正方体的体积为（

）.A.176

B.186

C.196 D.206 E.

216常规战术长方体的体对角线长为A.

22 B.

2414

，表面积为22，则长方体所有棱长之和为（

）.C.

26 D.

28 E.

32柱体包括圆柱和棱柱.圆柱底面是圆形,棱柱的底面是多边形.圆柱的侧面是曲面,棱柱的侧面是由多个四边形组成的.一个长方形以一边为轴旋转一周得到的空间几何体叫做圆柱体。圆柱体是由两个底面和一个侧面组成的。圆柱体的两个底面是完全相同的两个圆面。两个底面之间的距离是圆柱体的高。设圆柱体的高为ℎ,底面半径为𝑟，则底面积𝑆底=𝜋𝑟2体积𝑉=𝜋𝑟2ℎ侧面积𝑆侧=2𝜋𝑟ℎ表面积𝑆表=2𝜋𝑟ℎ+2𝜋𝑟2𝐷过圆柱的轴的截面叫做圆柱轴截面.当轴截面为正方形时(2𝑟=ℎ),侧面积𝑆侧=4𝜋𝑟2表面积𝑆表=6𝜋𝑟2底面积𝑆底=𝜋𝑟2体积𝑉=2𝜋𝑟3𝐷当旋转面为正方形时(𝑟=ℎ),侧面积𝑆侧=2𝜋𝑟2表面积𝑆表=4𝜋𝑟2底面积𝑆底=𝜋𝑟2体积𝑉=𝜋𝑟3一个圆柱的直视图是正方形，则圆柱的表面积与侧面积之比是（

）.A.

3:2 B.

2:3

C.

4:9

D.

9:4

E.

27:8一个圆柱的侧面积展开图是正方形，则圆柱的侧面积是下底面积的（ ）倍.A.

2 B.

4 C.

4𝜋 D.

𝜋 E.

2𝜋3设球体的半径为

𝑟，则球的表面积

𝑆

=

4𝜋𝑟2

, 球的体积𝑉

=

4

𝜋𝑟3.球面定义1.(集合的观点)到一个定点的距离等于定长的点的集合.定义2.(运动的观点)半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面.球体：到一个定点的距离小于或等于定长的点的集合.球面所围成的几何体叫做球体，简称球。连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径。连接球面上两点且经过球心的线段叫做球的直径。用一个平面去截一个球，截面是圆面。球的截面有以下性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面。球心到截面的距离𝑑与球的半径R及截面的半径𝑟有下面的关系：𝑟2

=𝑅2

−𝑑2.球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度， 把这个弧长叫做两点的球面距离。正方体的外接球：球直径等于正方体的体对角线.正方体的内切球与外接球的半径之比为1：

3o正方体的内切球：球直径等于正方体棱长.体对角线是解决“接与切”问题的关键考点体对角线长外接球半径内切球半径备注长方体𝑎2

+

𝑏2

+

𝑐21𝑎2

+

𝑏2

+

𝑐221𝑎2长𝑎

宽𝑏

高𝑐(当且仅当𝑎=𝑏=𝑐时存在内切球）圆柱体(2𝑟)2+ℎ21(2𝑟)2+ℎ221ℎ2底面半径𝑟

高h(当且仅当2𝑟=ℎ时存在内切球）若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是(

).A.

1:2

2

B.1:3

2 C.

1:

2

D.1:3

4

D.1:1【考点分析】概念性：平面直角坐标系，斜率，截距计算型：直线方程，圆的方程，距离公式推理型：位置关系(直线与直线，直线与圆，圆与圆）难 点：位置关系，距离公式平面解析几何代几数何是是符图号形的的几代何数平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成

平面直角坐标系.其中横轴为𝑥

轴，纵轴为𝑦

轴，它们把坐标平面分成四个象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点不属于任何象限.两条数轴满足①互相垂直②原点重合③单位长度相同④通常取向右、向上为正方向。直角坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁，它使几何概念可以用数来表示，几何图形也可以用代数形式来表示。用代数的方法来研究几何图形的数学分支—解析几何有了直角坐标系，平面上的任意一点𝑃

就和有序数对(𝑥,𝑦)建立了一一对应关系。有序数对(𝑥,𝑦)称为点𝑃

的坐标.𝑥轴上的点的纵坐标为零;𝑦轴上的点的横坐标为零。第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。关于𝑥

轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。(横同纵反)关于𝑦

轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。(横反纵同)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数。(横纵皆反)22𝑥

+𝑥1

2,𝑦

+𝑦1

2)，给定平面上的两点

𝐴 𝑥1,

𝑦1

和𝐵(𝑥2,

𝑦2)，中点坐标为

(两点间距离公式

𝑑

= (𝑥2

−𝑥1)2+(𝑦2

−

𝑦1)2

.重新组合后为什么少了一块？魔术师的地毯一天，一个人拿着一块8×8米的正方形地毯到裁缝店，要求把它改成13×5米的长方形地毯。裁缝师心里暗笑，这家伙是不是连小学都没毕业，这么简单的数学题都不会,8×8=64，而13×5=65，面积相差1平方米，怎么可能改呢？面积少了1面积多了1在平面直角坐标系中，当直线𝑙

与𝑥

轴相交时，使𝑥

轴绕着交点按逆时针方向（正方向）旋转到和直线𝑙重合时所转的最小正角记为𝛼，称𝛼为直线𝑙的倾斜角.当直线𝑙

与𝑥

轴平行或重合时，规定它的倾斜角为零度.直线向上的方向与𝑥

轴正向的夹角称为直线的倾斜角𝛼

,0°≤𝛼<180°.倾斜角的正切值称为直线的斜率，记为𝑘=tan𝛼，−∞<𝑘<+∞.所有直线都有倾斜角但未必有斜率，倾斜角为90°时不存在斜率.直线斜率的计算1.(定义)设直线的倾斜角为𝛼(𝛼≠90°), 则直线的斜率为𝑘=tan𝛼.2.(公式)已知直线过两点

𝐴 𝑥1,

𝑦1

和𝐵(𝑥2,

𝑦2)，𝑥1

≠

𝑥2,则直线的斜率为𝑥2−𝑥1𝑘

=

𝑦2−𝑦1.倾斜角030456090120斜率不存在−

3-13−3点斜式：过点𝑃(𝑥0,

𝑦0)，斜率为𝑘的直线方程是

𝑦

−

𝑦0

=

𝑘 𝑥

−

𝑥0

.斜截式：斜率为𝑘，在𝑦轴上的截距为𝑏的直线方程是𝑦=𝑘𝑥+𝑏.𝑦−𝑦1两点式：过两点

𝐴(𝑥1,

𝑦1)、

𝐵(𝑥2,

𝑦2)

的直线方程是

=𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1𝑥−𝑥1

.截距式：直线在𝑥轴𝑦轴上的截距为𝑎,𝑏的直线方程是𝑥

+𝑦

=1.𝑎

𝑏直线方程𝐴,𝐵,𝐶的取值直线特点𝐴

=

0,

𝐶

≠

0与𝑥轴平行𝐵

=

0,

𝐶

≠

0与𝑦轴平行𝐴

=

0,

𝐶

=

0与𝑥轴重合𝐵

=

0,

𝐶

=

0与𝑦轴重合𝐴𝐵

≠

0与𝑥轴𝑦轴都相交𝐶

=

0过原点𝐵

=

0

⟺𝐶

=

0

⟺过原点平行于𝑦

轴任意直线的方程都可写成关于𝑥、𝑦的二元一次方程，反之也对.一般式

𝐴𝑥

+

𝐵𝑦

+

𝐶

=

0 (𝐴2+𝐵2

≠

0)𝐴=0⟺

平行于𝑥

轴直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏

过各个象限的情况𝑏

>

𝟎𝑏

=

𝟎𝑏

<

𝟎𝑘

>

0一、二、三一、三一、三、四一、三𝑘

=

0一、二𝑥轴三、四平行𝑥轴𝑘

<

0一、二、四二、四二、三、四二、四一、二过原点三、四名

称几何条件方程表达式局限性点斜式过点𝑥0,𝑦0

，斜率为𝑘𝑦

−

𝑦0

=

𝑘(𝑥

−

𝑥0)不能垂直于X轴斜截式斜率为𝑘，在𝑦轴上的截距为𝑏𝑦

=

𝑘𝑥

+𝑏不能垂直于X轴两点式过

𝑥1,

𝑦1

和(𝑥2,

𝑦2)两点𝑦

−

𝑦1

=

𝑥

−𝑥1𝑦2

−

𝑦1

𝑥2

−𝑥1不能垂直于坐标轴截距式在𝑥轴上的截距为𝑎在𝑦轴上的截距为𝑏𝑥

𝑦+ =

1𝑎

𝑏不能垂直于坐标轴不能过原点一般式斜率−𝐴

,𝑥轴截距−𝐶

,𝑦轴截距−𝐶

𝐵

𝐴

𝐵𝐴𝑥

+𝐵𝑦

+𝐶

=

0𝐴2

+

𝐵2

≠

0直线方程的五种形式直线形式位置关系斜截式𝒍𝟏:

𝒚

=

𝒌𝟏𝒙

+

𝒃𝟏𝒍𝟐:

𝒚

=

𝒌𝟐𝒙

+

𝒃𝟐一般式𝑨𝟏𝒙

+

𝑩𝟏𝒚

+

𝑪𝟏

=

𝟎𝑨𝟐𝒙

+

𝑩𝟐𝒚

+

𝑪𝟐

=

𝟎平

行𝒌𝟏

=

𝒌𝟐,𝒃𝟏

≠

𝒃𝟐𝑨𝟏

=

𝑩𝟏

≠

𝑪𝟏𝑨𝟐

𝑩𝟐

𝑪𝟐相

交𝒌𝟏

≠

𝒌𝟐𝑨𝟏

≠

𝑩𝟏𝑨𝟐

𝑩𝟐垂

直𝒌𝟏𝒌𝟐

=

−𝟏𝑨𝟏

∙

𝑨𝟐

=

−𝟏𝑩𝟏

𝑩𝟐直线的位置关系点

𝑥0,

𝑦0

到直线

𝐴𝑥

+

𝐵𝑦

+

𝐶

=

0

的距离公式|𝐴𝑥0

+

𝐵𝑦0

+

𝐶|𝐴2

+

𝐵2两平行线𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶1

=0

和𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶2

=0

的距离公式|𝐶1

−

𝐶2|𝐴2

+

𝐵2秒杀秘籍已知三个点𝐴(𝑥,5),𝐵(−2,𝑦),𝐶(1,1),如果𝐶是线段𝐴𝐵的中点，则（

）.A.𝑥

=

4,

𝑦

=

−3D.

𝑥

=

−4,

𝑦

=

−3B.

𝑥

=

0,

𝑦

=

3

C.

𝑥

=

0,

𝑦

=

−3E.

𝑥

=

3,

𝑦

=