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文档简介
2023高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数在的图像大致为A. B. C. D.2.2020年是脱贫攻坚决战决胜之年,某市为早日实现目标,现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫,要求每个贫困县至少分到一人,则甲被派遣到县的分法有()A.6种 B.12种 C.24种 D.36种3.若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.240 B.264 C.274 D.2824.已知是双曲线的左、右焦点,是的左、右顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,,则的渐近线方程为()A. B. C. D.5.已知四棱锥中,平面,底面是边长为2的正方形,,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.6.已知等差数列中,则()A.10 B.16 C.20 D.247.做抛掷一枚骰子的试验,当出现1点或2点时,就说这次试验成功,假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为()A.13 B.18.观察下列各式:,,,,,,,,根据以上规律,则()A. B. C. D.9.如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE.,异面直线SC与OE所成角的正切值为()A. B. C. D.10.已知满足,则()A. B. C. D.11.已知底面为边长为的正方形,侧棱长为的直四棱柱中,是上底面上的动点.给出以下四个结论中,正确的个数是()①与点距离为的点形成一条曲线,则该曲线的长度是;②若面,则与面所成角的正切值取值范围是;③若,则在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为.A. B. C. D.12.的展开式中,项的系数为()A.-23 B.17 C.20 D.63二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,满足约束条件,则的最小值为__________.14.已知半径为的圆周上有一定点,在圆周上等可能地任意取一点与点连接,则所得弦长介于与之间的概率为__________.15.在平面直角坐标系中,双曲线(,)的左顶点为A,右焦点为F,过F作x轴的垂线交双曲线于点P,Q.若为直角三角形,则该双曲线的离心率是______.16.直线是圆:与圆:的公切线,并且分别与轴正半轴,轴正半轴相交于,两点,则的面积为_________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为直线垂直于轴,垂足为,与抛物线交于不同的两点,且过的直线与椭圆交于两点,设且.(1)求点的坐标;(2)求的取值范围.18.(12分)如图,四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,在锐角中,E是边PD上一点,且.(1)求证:平面ACE;(2)当PA的长为何值时,AC与平面PCD所成的角为?19.(12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y﹣29=0相切.(1)求圆的方程;(2)设直线ax﹣y+5=0(a>0)与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线l过点P(﹣2,4),若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.20.(12分)设为抛物线的焦点,,为抛物线上的两个动点,为坐标原点.(Ⅰ)若点在线段上,求的最小值;(Ⅱ)当时,求点纵坐标的取值范围.21.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,为实数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线与曲线交于,两点,线段的中点为.(1)求线段长的最小值;(2)求点的轨迹方程.22.(10分)在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),圆的方程为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求和的极坐标方程;(2)过且倾斜角为的直线与交于点,与交于另一点,若,求的取值范围.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【答案解析】
由分子、分母的奇偶性,易于确定函数为奇函数,由的近似值即可得出结果.【题目详解】设,则,所以是奇函数,图象关于原点成中心对称,排除选项C.又排除选项D;,排除选项A,故选B.【答案点睛】本题通过判断函数的奇偶性,缩小考察范围,通过计算特殊函数值,最后做出选择.本题较易,注重了基础知识、基本计算能力的考查.2.B【答案解析】
分成甲单独到县和甲与另一人一同到县两种情况进行分类讨论,由此求得甲被派遣到县的分法数.【题目详解】如果甲单独到县,则方法数有种.如果甲与另一人一同到县,则方法数有种.故总的方法数有种.故选:B【答案点睛】本小题主要考查简答排列组合的计算,属于基础题.3.B【答案解析】
将三视图还原成几何体,然后分别求出各个面的面积,得到答案.【题目详解】由三视图可得,该几何体的直观图如图所示,延长交于点,其中,,,所以表面积.故选B项.【答案点睛】本题考查三视图还原几何体,求组合体的表面积,属于中档题4.D【答案解析】
根据为等腰三角形,可求出点P的坐标,又由的斜率为可得出关系,即可求出渐近线斜率得解.【题目详解】如图,因为为等腰三角形,,所以,,,又,,解得,所以双曲线的渐近线方程为,故选:D【答案点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,属于中档题.5.B【答案解析】
由题意建立空间直角坐标系,表示出各点坐标后,利用即可得解.【题目详解】平面,底面是边长为2的正方形,如图建立空间直角坐标系,由题意:,,,,,为的中点,.,,,异面直线与所成角的余弦值为即为.故选:B.【答案点睛】本题考查了空间向量的应用,考查了空间想象能力,属于基础题.6.C【答案解析】
根据等差数列性质得到,再计算得到答案.【题目详解】已知等差数列中,故答案选C【答案点睛】本题考查了等差数列的性质,是数列的常考题型.7.C【答案解析】
每一次成功的概率为p=26=【题目详解】每一次成功的概率为p=26=13故选:C.【答案点睛】本题考查了二项分布求数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.8.B【答案解析】
每个式子的值依次构成一个数列,然后归纳出数列的递推关系后再计算.【题目详解】以及数列的应用根据题设条件,设数字,,,,,,,构成一个数列,可得数列满足,则,,.故选:B.【答案点睛】本题主要考查归纳推理,解题关键是通过数列的项归纳出递推关系,从而可确定数列的一些项.9.D【答案解析】
可过点S作SF∥OE,交AB于点F,并连接CF,从而可得出∠CSF(或补角)为异面直线SC与OE所成的角,根据条件即可求出,这样即可得出tan∠CSF的值.【题目详解】如图,过点S作SF∥OE,交AB于点F,连接CF,则∠CSF(或补角)即为异面直线SC与OE所成的角,∵,∴,又OB=3,∴,SO⊥OC,SO=OC=3,∴;SO⊥OF,SO=3,OF=1,∴;OC⊥OF,OC=3,OF=1,∴,∴等腰△SCF中,.故选:D.【答案点睛】本题考查了异面直线所成角的定义及求法,直角三角形的边角的关系,平行线分线段成比例的定理,考查了计算能力,属于基础题.10.A【答案解析】
利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果.【题目详解】,.故选:A.【答案点睛】本题考查三角求值,涉及两角和与差的余弦公式的应用,考查计算能力,属于基础题.11.C【答案解析】
①与点距离为的点形成以为圆心,半径为的圆弧,利用弧长公式,可得结论;②当在(或时,与面所成角(或的正切值为最小,当在时,与面所成角的正切值为最大,可得正切值取值范围是;③设,,,则,即,可得在前后、左右、上下面上的正投影长,即可求出六个面上的正投影长度之和.【题目详解】如图:①错误,因为,与点距离为的点形成以为圆心,半径为的圆弧,长度为;②正确,因为面面,所以点必须在面对角线上运动,当在(或)时,与面所成角(或)的正切值为最小(为下底面面对角线的交点),当在时,与面所成角的正切值为最大,所以正切值取值范围是;③正确,设,则,即,在前后、左右、上下面上的正投影长分别为,,,所以六个面上的正投影长度之,当且仅当在时取等号.故选:.【答案点睛】本题以命题的真假判断为载体,考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点,综合性强,属于难题.12.B【答案解析】
根据二项式展开式的通项公式,结合乘法分配律,求得的系数.【题目详解】的展开式的通项公式为.则①出,则出,该项为:;②出,则出,该项为:;③出,则出,该项为:;综上所述:合并后的项的系数为17.故选:B【答案点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识,考查理解能力,计算能力,分类讨论和应用意识.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【答案解析】
作出约束条件所表示的可行域,利用直线截距的几何意义,即可得答案.【题目详解】画出可行域易知在点处取最小值为.故答案为:【答案点睛】本题考查简单线性规划的最值,考查数形结合思想,考查运算求解能力,属于基础题.14.【答案解析】在圆上其他位置任取一点B,设圆半径为R,其中满足条件AB弦长介于与之间的弧长为•2πR,则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P==;故答案为:.15.2【答案解析】
根据是等腰直角三角形,且为中点可得,再由双曲线的性质可得,解出即得.【题目详解】由题,设点,由,解得,即线段,为直角三角形,,且,又为双曲线右焦点,过点,且轴,,可得,,整理得:,即,又,.故答案为:【答案点睛】本题考查双曲线的简单性质,是常考题型.16.【答案解析】
根据题意画出图形,设,利用三角形相似求得的值,代入三角形的面积公式,即可求解.【题目详解】如图所示,设,由与相似,可得,解得,再由与相似,可得,解得,由三角形的面积公式,可得的面积为.故答案为:.【答案点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,以及三角形相似的应用,着重考查了数形结合思想,以及推理与运算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2).【答案解析】
(1)设出的坐标,代入,结合在抛物线上,求得两点的横坐标,进而求得点的坐标.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,写出韦达定理,结合,求得的表达式,结合二次函数的性质求得的取值范围.【题目详解】(1)可知,设则,又,所以解得所以.(2)据题意,直线的斜率必不为所以设将直线方程代入椭圆的方程中,整理得,设则①②因为所以且将①式平方除以②式得所以又解得又,所以令,则所以【答案点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查直线和椭圆的位置关系,考查向量数量积的坐标运算,考查向量模的坐标运算,考查化归与转化的数学思想方法,考查运算求解能力,属于难题.18.(1)证明见解析;(2)当时,AC与平面PCD所成的角为.【答案解析】
(1)连接交于,由相似三角形可得,结合得出,故而平面;(2)过作,可证平面,根据计算,得出的大小,再计算的长.【题目详解】(1)证明:连接BD交AC于点O,连接OE,,,又平面ACE,平面ACE,平面ACE.(2),,平面PAD作,F为垂足,连接CF平面PAD,平面PAD.,有,,平面就是AC与平面PCD所成的角,,,,,,时,AC与平面PCD所成的角为.【答案点睛】本题考查了线面平行的判定,线面垂直的判定与线面角的计算,属于中档题.19.(2)(x﹣2)2+y2=2.(2)().(3)存在,【答案解析】
(2)设圆心为M(m,0),根据相切得到,计算得到答案.(2)把直线ax﹣y+5=0,代入圆的方程,计算△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0得到答案.(3)l的方程为,即x+ay+2﹣4a=0,过点M(2,0),计算得到答案.【题目详解】(2)设圆心为M(m,0)(m∈Z).由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切,且半径为5,所以,即|4m﹣29|=2.因为m为整数,故m=2.故所求圆的方程为(x﹣2)2+y2=2.(2)把直线ax﹣y+5=0,即y=ax+5,代入圆的方程,消去y,整理得(a2+2)x2+2(5a﹣2)x+2=0,由于直线ax﹣y+5=0交圆于A,B两点,故△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0,即22a2﹣5a>0,由于a>0,解得a,所以实数a的取值范围是().(3)设符合条件的实数a存在,则直线l的斜率为,l的方程为,即x+ay+2﹣4a=0,由于l垂直平分弦AB,故圆心M(2,0)必在l上,所以2+0+2﹣4a=0,解得.由于,故存在实数使得过点P(﹣2,4)的直线l垂直平分弦AB.【答案点睛】本题考查了直线和圆的位置关系,意在考查学生的计算能力和转化能力.20.(Ⅰ)(Ⅱ)【答案解析】
(1)由抛物线的性质,当轴时,最小;(2)设点,,分别代入抛物线方程和得到三个方程,消去,得到关于的一元二次方程,利用判别式即可求出的范围.【题目详解】解:(1)由抛物线的标准方程,,根据抛物线的性质,当轴时,最小,最小值为
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