2023届高考数学试题一轮总复习考点探究与题型突破第28讲　正弦定理和余弦定理 精品讲义 （Word解析版）

第Page\*MergeFormat25页共NUMPAGES\*MergeFormat25页第28讲正弦定理和余弦定理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__Ceq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R常见变形cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数一解两解一解一解无解3.三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R).(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).2.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.考点1利用正、余弦定理解三角形[名师点睛](1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.[典例]1.(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC.(1)证明：BD＝b.(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.2．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．[举一反三]1．（2022·上海·模拟预测）如图，在中，已知，D是边上的一点，，则的长为（

）A． B． C． D．2．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，若，则的取值范围是__________．3．（2022·山东日照·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且成等比数列，则________．4．（2022·江苏江苏·一模）在中，角的对边分别为.若，则的最小值是___________.5．（2022·全国·高考真题（理））记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．考点2判断三角形的形状[名师点睛]1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.[典例]1．（2022·浙江·高三专题练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，则的形状一定是（

）A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形2．（2022·全国·高三专题练习）在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．不确定[举一反三]1．（2022·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，，，则（

）A．能制作一个锐角三角形 B．能制作一个直角三角形C．能制作一个钝角三角形 D．不能制作这样的三角形2．（2022·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别是，且，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形3．（2022·浙江·高三专题练习）若满足，且，则的形状为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形或直角三角形4．（2022·浙江·高三专题练习）已知内角，，所对的边分别为，，，面积为.若，，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．正三角形 D．等腰直角三角形5．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知.(1)求内角B的大小；(2)已知的面积为，，请判定的形状，并说明理由.考点3和三角形面积有关的问题[名师点睛]与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.[典例]1．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．2．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角A；(2)若M为的中点，，求面积的最大值．[举一反三]1．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）在中，，为的中点，，则面积的最大值为______.2．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．3．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在中，M为BC上一点，，且．(1)若，求的值；(2)若AM为的平分线，且，求的面积．4．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）在△中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．(1)求角C；(2)若△的面积，且，求△的周长．5．（2022·江苏南通·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，．(1)求cosB；(2)若b＝3，a＞c，△ABC的面积为，求a第28讲正弦定理和余弦定理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__Ceq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R常见变形cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数一解两解一解一解无解3.三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R).(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).2.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.考点1利用正、余弦定理解三角形[名师点睛](1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.[典例]1.(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC.(1)证明：BD＝b.(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.(1)证明因为BDsin∠ABC＝asinC，所以由正弦定理得，BD·b＝ac，又b2＝ac，所以BD·b＝b2，又b>0，所以BD＝b.(2)解法一如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E，因为AD＝2DC，所以eq\f(AE,EB)＝eq\f(AD,DC)＝2，eq\f(DE,BC)＝eq\f(2,3)，所以BE＝eq\f(c,3)，DE＝eq\f(2,3)a.在△BDE中，cos∠BED＝eq\f(BE2＋DE2－BD2,2BE·DE)＝eq\f(\f(c2,9)＋\f(4a2,9)－b2,2·\f(c,3)·\f(2a,3))＝eq\f(c2＋4a2－9b2,4ac)＝eq\f(c2＋4a2－9ac,4ac).在△ABC中，cos∠ABC＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)＝eq\f(c2＋a2－ac,2ac).因为∠BED＝π－∠ABC，所以cos∠BED＝－cos∠ABC，所以eq\f(c2＋4a2－9ac,4ac)＝－eq\f(c2＋a2－ac,2ac)，化简得3c2＋6a2－11ac＝0，方程两边同时除以a2，得3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq\s\up12(2)－11eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))＋6＝0，解得eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)或eq\f(c,a)＝3.当eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，即c＝eq\f(2,3)a时，cos∠ABC＝eq\f(c2＋a2－ac,2ac)＝eq\f(\f(4,9)a2＋a2－\f(2,3)a2,\f(4,3)a2)＝eq\f(7,12)；当eq\f(c,a)＝3，即c＝3a时，cos∠ABC＝eq\f(c2＋a2－ac,2ac)＝eq\f(9a2＋a2－3a2,6a2)＝eq\f(7,6)>1(舍).综上，cos∠ABC＝eq\f(7,12).法二因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))2＝eq\f(4,9)eq\o(BC,\s\up6(→))2＋eq\f(4,9)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,9)eq\o(BA,\s\up6(→))2.因为BD＝b，所以b2＝eq\f(4,9)a2＋eq\f(4,9)accos∠ABC＋eq\f(1,9)c2，所以9b2＝4a2＋4accos∠ABC＋c2.①又b2＝ac＝a2＋c2－2accos∠ABC，②所以①－②，得8ac＝3a2＋6accos∠ABC，所以cos∠ABC＝eq\f(8ac－3a2,6ac)＝eq\f(4,3)－eq\f(a,2c).由①②知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9＝4×\f(a,c)＋4cos∠ABC＋\f(c,a)，,1＝\f(a,c)＋\f(c,a)－2cos∠ABC，))所以11＝eq\f(6a,c)＋eq\f(3c,a)，所以6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq\s\up12(2)－11×eq\f(a,c)＋3＝0，解得eq\f(a,c)＝eq\f(3,2)或eq\f(a,c)＝eq\f(1,3).当eq\f(a,c)＝eq\f(3,2)时，cos∠ABC＝eq\f(4,3)－eq\f(3,4)＝eq\f(7,12)；当eq\f(a,c)＝eq\f(1,3)时，cos∠ABC＝eq\f(4,3)－eq\f(1,6)＝eq\f(7,6)(不合题意，舍去).所以cos∠ABC＝eq\f(7,12).2．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【解】（1）因为，即，而，所以；（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．当且仅当时取等号，所以的最小值为．[举一反三]1．（2022·上海·模拟预测）如图，在中，已知，D是边上的一点，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，由余弦定理得：，因为，所以，在中，由正弦定理得：，即，解得：故选：D2．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，若，则的取值范围是__________．【答案】【分析】因为，由正弦定理得，由余弦定理得，而,所以，因为，由正弦定理知，所以，因为在锐角中，有，，得，所以，此时，则，故答案为：3．（2022·山东日照·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且成等比数列，则________．【答案】【分析】解：由成等比数列，得，又所以，所以.故答案为：4．（2022·江苏江苏·一模）在中，角的对边分别为.若，则的最小值是___________.【答案】【分析】解：由余弦定理得，又，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，所以的最小值是，故答案为：.5．（2022·全国·高考真题（理））记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．【解】(1)证明：因为，所以，所以，即，所以；(2)解：因为，由（1）得，由余弦定理可得，则，所以，故，所以，所以的周长为.考点2判断三角形的形状[名师点睛]1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.[典例]1．（2022·浙江·高三专题练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，则的形状一定是（

）A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】A【分析】由正弦定理，得，又在中，，所以，所以，即，故的形状一定是等腰三角形，故选：A．2．（2022·全国·高三专题练习）在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．不确定【答案】C【分析】在中，原等式化为：，由正弦定理得，，即，由余弦定理得：，整理得，则有，于是有或，是等腰三角形或直角三角形，所以的形状是等腰三角形或直角三角形.故选：C[举一反三]1．（2022·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，，，则（

）A．能制作一个锐角三角形 B．能制作一个直角三角形C．能制作一个钝角三角形 D．不能制作这样的三角形【答案】C【分析】由向量关系与余弦定理列方程求解三条边长后判断【详解】设三角形的三条边为a，b，c，设中点为D，，则，∴同理，∴，∴，，∴可以构成三角形，∴，∴为钝角三角形，故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别是，且，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】A【分析】首先利用正弦定理边化角公式得到，即可得到答案.【详解】因为，所以，即，整理得到，因为，，所以，即，，为等腰三角形.故选：A3．（2022·浙江·高三专题练习）若满足，且，则的形状为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形或直角三角形【答案】B【分析】由正弦定理可得，结合，可得，即，分析即得解【详解】由正弦定理，以及，可得代入，可得故故为直角三角形故选：B4．（2022·浙江·高三专题练习）已知内角，，所对的边分别为，，，面积为.若，，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．正三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】由三角形的内角和定理、诱导公式、正弦定理以及二倍角的正弦公式化简已知条件，可求角，由三角形的面积公式和平面向量数量积的定义可求角，再由三角形的内角和求角，即可判断的形状，进而可得正确选项.【详解】因为，所以，即，由正弦定理可得：，因为，所以，因为，所以，所以，可得，所以，解得，因为，所以，即，所以，可得，所以，所以的形状是正三角形，故选：C.5．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知.(1)求内角B的大小；(2)已知的面积为，，请判定的形状，并说明理由.解：（1）因为，由正弦定理可得，又由，可得，因为，可得，所以，即，又因为，可得.（2）因为的面积为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，故为直角三角形.考点3和三角形面积有关的问题[名师点睛]与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.[典例]1．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．解：（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；（2）由正弦定理得：，则，则，.2．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角A；(2)若M为的中点，，求面积的最大值．解：(1)解法一：因为，由正弦定理得：，所以，因为，所以，为，所以．解法二：因