高考总动员206届数学人教文大一轮复习课件教师讲学案课时提升练第二章函数、导数及其应用-第2章

第三节 函数的奇偶性与周期性考纲用函数的图象理解和研究函数性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周[基础

体验]考查角度[函数的奇偶性]1．(2014·重庆高考)下列函数为偶函数的是()A．f(x)＝x－1C．f(x)＝2x－2－xB．f(x)＝x2＋xD．f(x)＝2x＋2－x对于该函数为非奇非对于选项

B，f(－x)－f(x)，故该函数为非奇非偶函对于选项

C，f(－x)＝2－x－2x＝－函数为奇函数；对于选项

D，因为

f(－x)＝2－x＋2x＝2x＋2－x＝f(函数为偶函数，故选

D.【答案】

D21f(x)＝x2＋x，则A．－2C．1【解析】f(－1)＝B．0D．21当x＞0

时，f(x)＝x2＋x，∴1f(1)＝12＋1＝2.∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.【答案】

A考3．(2012·浙江高考)设的偶函数，当

x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则

f2＝

【解析】

当

x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝－x＋1.

3

3

1

13∴f2＝f2－2＝f－2＝－－2＋1＝2.【答案】32[命题规律

]命题规律从近几年高考题看，本节内容主要考查函数的奇偶性的判定、利用奇偶性和周期性求函数值、与单调汇求解简单的方程与不等式，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中低档．考向2016

年高考仍然侧重以下三点：简单函数奇偶性的判断．根据奇偶性、周期性求函数值或求参数的取值．

(3)综合利用奇偶性与单调性求解参数的取值或解不等式.考向一

函数奇偶性的判断[典例剖析]【例1】(1)(2014·高考)下列函数为奇函数的是(

)A．2x－

12xB．x3sin

xC．2cos

x＋1D．x2＋2x(2)(2014·课标且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(，)A．f(x)g(x)是偶函数C．f(x)|g(x)|是奇函数B．|f(x)|g(x)是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数【思路点拨】

紧扣函数奇偶性的定义判断．(2)A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A

错．B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B

错．C：令h(x)＝

f(x)|g(x)|，则h(－x)＝

f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C

正确．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D

错．【答案】(1)A(2)C判断函数奇偶性的方法：(1)图象法：(2)定义法：“奇·奇”是偶，“②“偶＋偶”是偶，“偶－

“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．[对点练习](1)(2015·

模拟)函数y＝log21＋x1－x的图象(

)A．关于原点对称C．关于直线y＝x

对称B．关于y

轴对称D．关于直线y＝－x

对称(2)下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(

)【1－x为

f(－x)＝log21＋x

l＝－1奇函数，其图象关于原点对称．(2)观察图象知，只有选项B

的图象关于y轴函数，其他图象既不关于y

轴对称，也不关于原点对称．【答案】

(1)A

(2)B考向二

函数周期性的应用[典例剖析]【例2】(1)已知函数f(x)是定义域为R

的偶函数，且

f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[1,3]上是()A．增函数C．先增后减的函数B．减函数D．先减后增的函数(2)(2014·数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝x1－x，0≤x≤1，sin

πx，1<x≤2，则

f29

41

4

＋f

6

＝

.【解析】

(1)由

f(x)在[－1,0]上是减函数，又

f(x)是

R

上的偶函数，所以

f(x)在[0,1]上是增函数．由

f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)，故

2

是函数

f(x)的一个周期．结合以上性质，模拟画出

f(x)的部分图象，由图象可以观察出，f(x)在[1,2]上为减函数，增函数．

29

3(2)∵f(x)是以

4

为周期的奇函数，∴f

4

＝f

8－4＝

f

3

41

7

7－4，f

6

＝f8－6＝f－6.3

33

3∵当

0≤x≤1

时，f(x)＝x(1－x)，∴f4＝4×1－4＝16.∵当

1<x≤2

时，f(x)＝sin

πx，77π

1∴f6＝sin

6

＝－2.

又∵f(x)是奇函数，

3

3

7

73

1∴f－4＝－f4＝－16，f－6＝－f6＝2.29

411

3

5∴f

4

＋f

6

＝2－16＝16.【答案】

(1)D (2)

516函数周期性的重要应用利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点的个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解．求周期的常用结论若对于函数

f(x)的定义域内任一个自变量的值

x

都有

f(x＋a)＝－f(x)或

f(x＋a)＝

1

或

f(x＋a)＝－

1

(a

是常数且fx

fxa≠0)，则

f(x)是一个周期为

2a

的周期函数．[对点练习](2014·数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x＜0，x，0≤x＜1，

3则f2＝

.【解析】

1

12根据题意f－2＝－4×－2

＋2＝1.【答案】

1考向三

函数性质的应用【命题视角】

函数的单调性、奇偶性是函数的最重要的性质，也是高考

题热点，常以选择题、填空题的形式出现，难度中高档．命题角度常见以下三种．角度一：求函数值【例

3－1】

(2014·课标关于直线

x＝2

对称，f(3)＝3，则

f(－1)＝

.【思路点拨】

根据对称性与奇偶性求函数值．【解析】

∵f(x)的图象关于直线

x＝2

对称，∴f(4－x)＝f(x)，∴f(4－1)＝f(1)＝f(3)＝3，即

f(1)＝3.∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(－1)＝f(1)＝3.【答案】

3求解此类问题的关键是将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．【例3－2满足f(x)＋g(x)＝ex，则gA．ex－e－x1B.2(ex＋e1－x

xC.2(e

－e

)【思路点拨】1x

－xD.2(e

－e

)结合奇偶性与已知关系式列出方程组求解．【解析】

由题意

f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，又∵f(x)＋g(x)＝ex，

①∴f(－x)＋g(－x)＝e－x

即

f(x)－g(x)＝e－x，

②由①②得，g(x)＝1

－e－

)．2(ex

x【答案】

D求解此类问题的关键是将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．角度【例

3－3】

已知定义在2x(x≥0)，若f(3－a2)＞f(2a)，则实数a

的取值范围是

【思路点拨】

先确定函数的单调性，再解不等式．【解析】

当

x≥0

时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∴函数

f(x)在[0，＋∞)上为增函数．又函数

f(x)是定义在

R上的奇函数，∴函数

f(x)在R

上是增函数．由f(3－a2)＞f(2a)得3－a2＞2a.解得－3＜a＜1.【答案】

(－3,1)求解此类问题的关键是(1)利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(2)由奇偶性与单调性解不等式得参数范围．思想方法3利用奇偶性求值——“方程思想”闪光芒方程思想就是通过分析问题中的各个量及其关系，列出方程(组)、或者构造方程(组)，通过求方程(组)、或方程(组)的解的情况，使问题得以解决．[典例剖析]【典例】(2014·湖南高考)已知f(x)，g(x)分别是定义在

R

上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3

B．－1

C．1

D．3【解析】

∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.【答案】

C[对点练习](2013·重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)(log210))＝5，则A．－5C．3(lg

2))＝(

)B．－1D．4所以lg(log21＝x，则lg(lg

2)＝－x，而f(x)＋fx)3＋bsin(－x)＋4]＝8，故f(－x)＝8－f(x)＝C.【答案】

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