广东高考数学(理)一轮题库88立体几何中的向量方法(二)

匠心文档，专属精选。第8讲立体几何中的向量方法（二）一、选择题1．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是()32A.2B.2C.3D．32分析两平面的一个单位法向量n0＝22，故两平面间的距离d－2，0，2→2＝|OA·n0＝2.|答案B2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉1＝－2，则l与α所成的角为()．A．30°B．60°C．120°D．150°1分析设l与α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝2，∴θ＝30°.答案A3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()．1030215310A.10B.10C.10D.10分析成立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,2)．→→BC1＝(－1,0,2)，AE＝(－1,2,1)，→→→→BC1·AE30cos〈BC1，AE〉＝→→＝10.|BC1||AE|30因此异面直线BC1与AE所成角的余弦值为10.答案B匠心教育文档系列1匠心文档，专属精选。4．已知直二面角αl-β，点AαACl，C为垂足，点BβBDl，D-∈，⊥∈，⊥为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝()．A．2B.3C.2D．1分析如图，成立直角坐标系Dxyz，由已-知条件B，A，t,0)(t＞0)，(0,0,1)(1由AB＝2解得t＝2.答案C5．如图，在四周体ABCD中，AB＝1，AD＝23，BC＝3，πCD＝2.∠ABC＝∠DCB＝2，则二面角A－BC－D的大小为()．ππ5π5πA.6B.3C.3D.6→→→分析二面角A－BC－D的大小等于AB与CD所成角的大小.AD＝AB＋BC＋→→→→→→→→→CD.而AD2＝AB2＋CD2＋BC2－2|AB··〈AB，CD〉，即12＝1＋4＋9－||CD|cos→→→→π，CD〉，∴cos〈AB，CD〉＝1，∴AB与CD所成角为，即二面2×2cos〈AB23π角A－BC－D的大小为3.应选B.答案B6．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1－DC－C1的大小为°，则AD的长为()60A.2B.3C．2D.22匠心教育文档系列2匠心文档，专属精选。分析如图，以C为坐标原点，CACBCC所在的直线分别为x轴，y轴，1z轴成立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)，CD＝(1,0，a)，CB1＝(0,2,2)，设平面B1CD的一个法向量为m＝(x，y，z)．则m·CB1＝02y＋2z＝0?1m·CD＝0x＋az＝0得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)，m·n112，则由cos60°＝mn，得2＝，即a＝||||a＋22故AD＝2.答案A二、填空题7．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为________．分析cos〈n，a〉＝n·a＝－8411＝－|n||a|32×2233.411又l与α所成角记为θ，即sinθ＝|cos〈n，a〉|＝33.11答案33.88．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为9，则λ________.8a·b－λ＋4分析＝2由已知得＝|a||b|，95＋λ2·985＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝2.552答案－2或559．已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，匠心教育文档系列3匠心文档，专属精选。CF＝2FC，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________．1分析如图，成立直角坐标系D－xyz，设DA＝1由已12知条件A(1,0,0)，E1，1，3，F0，1，3，→→12AE＝0，1，3，AF＝－1，1，3，设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，面AEF与面ABC所成的二面角为θ，→1＝0，y＋3z＝0，得由→－x＋y＋2＝0.n·AF＝03z令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3)平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1)311，tanθ＝2cosθ＝cos〈n，m〉＝113.2答案310．在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是________．分析如下图成立空间直角坐标系，设OA＝OB＝OC＝1，则A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,1)，1→→→1M2，2，0，故AB＝(－1,1,0)，AC＝(－1,0,1)，OM11＝2，2，0.设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，→，－x＋y＝0，则由n⊥AB得－x＋z＝0，→，n⊥AC匠心教育文档系列4匠心文档，专属精选。→16，令x＝1，得n＝(1,1,1)．故cos〈n，OM〉＝＝233×26因此OM与平面ABC所成角的正弦值为3，其正切值为2.答案2三、解答题11．如图，四周体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，AB＝BC＝BD＝4，E、F分别为棱BC、AD的中点．(1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值；(2)求E到平面ACD的距离；(3)求EF与平面ACD所成角的正弦值．解如图，分别以直线BC、BD、BA为x、y、z轴成立空间直角坐标系，则各有关点的坐标为A(0,0,4)、C(4,0，0)、D(0,4，0)，E(2,0,0)、F(0，2,2)．→→(1)∵AB＝(0,0，－4)，EF＝(－2,2,2)，→→－83∴|cos〈AB，EF〉|＝4×23＝3，∴异面直线AB与EF所成角的余弦值为33.(2)设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y,1)，→→→n·AC＝0，∵AC＝(4,0，－4)，CD＝(－4,4,0)，则→n·CD＝0，4x－4＝0，∴4x＋4y＝0，x＝y＝1，∴n＝(1,1,1，)．→∵F∈平面ACD，EF＝(－2,2,2)，匠心教育文档系列5匠心文档，专属精选。→∴E到平面ACD的距离为d＝|n·EF|＝2＝23|n|33.→2＝1(3)EF与平面ACD所成角的正弦值为|cos〈n，EF〉|＝3×23312．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝23，BC＝6.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)求二面角P－BD－A的大小．(1)证明如图，成立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(23，0,0)，C(23，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，→→∴AP＝(0,0,3)，AC＝(23，6,0)，→BD＝(－23，2,0)．→→→→∴BD·AP＝0，BD·AC＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC.又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥面PAC.(2)解设平面ABD的法向量为m＝(0,0,1)，设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，→→→则n·BD＝0，n·BP＝0.∵BP＝(－23，0,3)，－23x＋2y＝0，y＝3x，∴解得23－23x＋3z＝0z＝3x.m·n令x＝3，则n＝(3，3,2)，∴cos〈m，n〉＝|m||n|1＝2.∴二面角P－BD－A的大小为60°.113．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝2AA1，匠心教育文档系列6匠心文档，专属精选。是棱AA1的中点，DC1⊥BD.(1)证明：DC1⊥BC.(2)求二面角A1－BD－C1的大小．(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形．因为D为AA1的中点，故DC＝DC1.1222又AC＝2AA1，可得DC1＋DC＝CC1，因此DC1⊥DC.而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，因此DC1⊥平面BCD.因为BC?平面BCD，因此DC1⊥BC.(2)解由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，因此CA，CB，为坐标原点，→→CC两两互相垂直．以C的方向为x轴的正方向，|CA为单1位长，成立如下图的空间直角坐标系C－xyz.由题意知A1，，(1,0,2)B(0,1,0)D(1,0,1)，C1(0,0,2)．→→→则A1D＝(0,0，－1)，BD＝(1，－1,1)，DC1＝(－1,0,1)．设n＝(x，y，z)是平面A11的法向量，则BBD→n·BD＝0，x－y＋z＝0，→即可取n＝(1,1,0)．z＝0，·A1D＝0，同理，设m＝(x，y，z)是平面C1BD的法向量，则→＝0，－＋＝，m·BD即xyz0→可取m＝(1,2,1)．－x＋z＝0，m·DC1＝0，进而cos〈n，m〉＝n·m3|n||m|·＝2.故二面角A1－BD－C1的大小为30°.14．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；匠心教育文档系列7匠心文档，专属精选。求证：平面BCE⊥平面CDE；求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．解方法一：证法一：取CE的中点G，连结FG、BG.1F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝2DE，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB∥DE，∴GF∥AB.1又AB＝2DE，∴GF＝AB.又DE＝2AB，∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴AF∥平面BCE.证法二：取DE的中点M，连结AM、FM，F为CD的中点，∴FM∥CE.AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴DE∥AB.1又AB＝DE＝ME，2∴四边形ABEM为平行四边形，则AM∥BE.FM、AM?平面BCE，CE、BE?平面BCE，∴FM∥平面BCE，AM∥平面BCE.又FM∩AM＝M，∴平面AFM∥平面BCE.AF?平面AFM，∴AF∥平面BCE.匠心教育文档系列8匠心文档，专属精选。证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD.DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，连结BH，∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE.∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角．2设AD＝DE＝2AB＝2a，则FH＝CFsin45°＝2a，222a2＝a，BF＝AB＋AF＝a＋32FH2在Rt△FHB中，sin∠FBH＝BF＝4.2∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为4.方法二：设AD＝DE＝2AB＝2a，成立如下图的坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，Ba，Da，a,，Ea，a,a．(0,0，)(30)(32)F为CD的中点，∴F3a，3a，0.22→33→a，a，a→a,，－a，(1)证明：AF＝a，a，0，BE＝，BC＝(22(3)0)2→1→→AF＝2(BE＋BC)，AF?平面BCE，∴AF∥平面BCE.→33→→(2)证明：∵AF＝2a，2a，0，CD＝(－a，3a,0)，ED＝(0,0，－2a)，匠心教育文档系列9匠