高中竞赛重要不等式

高中比赛之重要不等式1．柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方）定理1对随意实数组ai,bi(i1,2,L,n)恒有不等式“积和方不大于方和积”，即等式当且仅当时建立。本不等式称为柯西不等式。证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。证明1nai2bi2左=2aibiajbj∴右-左=i1ij当且仅当时，等式建立。柯西不等式的两个推论：ⅰ．设同号（），则当且仅当时取等号。ⅱ．若，且，则（分母作和）由柯西不等式能够证下边的不等式。3次能够推行为4、5等n次。证明:对(a13+a23+a33)(b13+b23+b33)和(c13+c23+c33)(a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3)3分别用柯西不等式,可获得两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式.柯西不等式的推行：闵可夫斯基不等式设，，，；，，，是两组正数，k0且k1，则（）（）当且仅当a1a2Lan时等号建立。b1b2bn闵可夫斯基不等式是用某种长度胸怀下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解。若记，，则上式为(a1a2Lam)2(b1b2Lbm)2特例：a12b12a22b22Lam2bm2多个根式可转变为一个根式。赫尔德不等式已知（）是个正实数，，则上式中若令1，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式。22〔排序不等式，排序原理〕（给的是两列数且为对称的）设a1a2an，b1b2bn，则有nnnaibn1iaibtiaibi．i1i1i1即“反序和”“乱序和”“同序和”．此中t1,t2,,tn1,2,,n．当且仅当a1a2an或b1b2bn时等号建立．〔切比雪夫不等式〕实数ai，bi知足a1a2an，b1b2bn（i1，2，，n）．则1n1nai1n1naibini1biaibn1i．ni1ni1ni1当且仅当a1a2an或b1b2bn时等号建立．下边给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解。如图，矩形OPAQ中，部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，折比较即知）。于是有

，，明显暗影（这可沿图中线段MN向上翻，也即琴生不等式〔凸函数定义〕1．设fx是定义在闭区间a,b上的函数，若对随意x，ya,b和随意0,1，有fx1yfx1fy建立，则称fx是a,b上的凸函数（也称下凸函数或凹函数）．2．设fx是定义在a,b上的函数，若对随意x，ya,b且xy和随意0,1，有fx1yfx1fy建立，则称fx是a,b上的严格凸函数．3．设fx是定义在a,b上的函数，若对随意x，ya,b和随意0,1，有fx1yfx1fy建立，则称fx是a,b上的上凸函数．凸函数的定义表示了，上(下)凸函数的两个自变量的算术均匀值处的函数值不小(大)于其函数值的算术均匀值．从图象上看，表示联络上(下)凸函数图形上任何两点的弦的中点恒位于图形的对应点之下(上)．见图1．图1注意到在定义中，凸函数的条件是对区间内的随意两点x1和x2都建立，不难看出，这实质上就保证了函数在整个区间的凸性．即上凸函数图象上的任一段弧都在所对应的弦的上方；下凸函数图象上的任一段弧都在所对应的弦的下方．而且由此形成的弓形是凸的地区．正因为这类函数的图象拥有这类特色，所以我们才把它形象地名之曰：凸函数．在初等数学里，对于函数的凸性，可依据图象来判断．比如，读者不难依据图象能够得出：幂函数y=xa．当a＞1或a＜0时，是(0，∞)上的下凸函数；当0＜a＜1时，是(0，∞)上的上凸函数．指数函数y=ax(a＞0，a≠1)．是(-∞，∞)上的下凸函数．对数函数y=logcx(a≠1)．当a＞1时，是(0，∞)上的上凸函数；当0＜a＜1时，是(0，∞)上的下凸函数．三角函数y=sinx是[0，π]上的上凸函数，是[π，2π]上的下凸函上述函数的凸性；也能够依据定义用初等方法来证明．学过微分学的读者还能够根据函数的二阶导数的符号来判断函数的凸性．即，若函数f(x)对在定义域(a，b)内的所有x恒有f''(x)＜0，则f(x)是(a，b)上的上凸函数；假如恒有f''(x)＞0，则f(x)是(a，b)上的下凸函数．〔琴生〔Jensen）不等式〕（变量做和）若fx是区间a,b上的凸函数，则对随意x1，x2，，xna,b有f1nxi1nfxi．ni1ni1当且仅当x1x2xn时等号建立．当fx为上凸函数时，不等式反向．〔琴生〔Jensen）不等式推论，即加权琴生不等式〕若fx是区间a,b上的凸函数，则对随意x1，x2，，xna,b和对随意知足npi1的正数p1，p2，，pn，有i1nnfpixipifxi．当且仅当x1x2xn时等号建立．i1i1若令qi=pi／(p1＋＋pn)，此中p1，，pn是随意正数．则琴生不等式(2)变为：在(2)或(3)式中，f(x)取不一样的凸函数，便得不一样的不等式．例1令f(x)=xk，x≥0，k＞1，则f(x)是R+上的凸函数，所以有例2令f(x)=lgx，x＞0，则f(x)是R+上的凹函数，故有取反对数，得此即加权均匀不等式．1．设ai1nai（i1，2，，n），且nm，n2．求全部是正数，且saimi1证：（1）nsainnm；i1aimnainm．（2）i1sainm证明：不如设a1a2an0，于是sansan1sa1，111．由切比雪夫不等式得anan1a11nsai1ni1ain

nsai1n1nms1n1．（*）i1ni1ainni1ai又由均值不等式知n1nnn1ni1ai．又aims，所以i1i1ai1n1nnn，而nm，代入（*）后整理可得（1）建立．ni1aimsaii1另一方面11sa1sa21nai1ni1sain

1a2an．由切比雪夫不等式得s，a1ann11n．（**）i1saiaini1由均值不等式：1n1n1sai

nnsms，故1n1nsainni1sai．i1nmsn又aims，代入（**）整理后可得（2）建立．i12．有十人各拿一只水桶去取水，假如水龙头灌满第i个人的水桶需要ti分钟，且这些ti（i1，2，，10）各不相等，试问：（1）只有一只水龙头供水时，应怎样安排这十个人取水的序次，使他们花销的总时间最少？这个最少的总时间是多少？（2）如有两个同样的水龙头供水时，应怎样安排这十个人的序次，使他们花销的总时间最少？这个最少的总时间是多少？解：（1）设安某序次取水时水龙头灌满第i个人的水桶需要si分钟，则第一人花销的时间为分钟，第二人花销的时间为s1s2分钟，，第十人花销的时间为s1s2s10分钟．总的花销时间为s1s1s2s1s2s1010s19s22s9s10．此中，序列s1，s2，，s10是t1，t2，，t10的一个摆列．由题设各ti各不同样，不如设t1t2t10，则由排序原理知10s19s22s9s1010t19t22t9t10．即安随意一个序次取水花销的总时间不小于安若下次序取水的时间：先安取水所需时间从小到大挨次排队，而后逐一取水．即此时花销时间最省，总花销的时间为（10t19t22t9t10）分钟．（2）假如有两个水龙头，设总时间最少时有m个人在第一个水龙头取水，设挨次所需时间为p1，p2，，pm；有10m个人在第二个水龙头取水，挨次所需时间设为q1，q2，，q10m．明显必有一个水龙头的取水人数许多于5人，不如设为第一个水龙头，也不行能有一个水龙头没人去取水，则5m10．由（1）知：p1p2pm，q1q2q10m．总花销的时间为：Tmp1m1p2pm10mq19mq2q10m．此中p1,p2,,pm,q1,q2,,q10mt1,t2,,t10，t1t2t10．第一我们来证明m5．若不然，我们让在第一个水龙头取水的第一人到第二个水龙头的第一位去，则总花销的时间变为：Tm1p2pm11mp110mq1q10m．TT2m11p10．即当m5时，我们让第一水龙头的第一人到第二水龙头去后，总时间减少．故在5时，总时间可能获得最小值．因为m5，故两个水龙头人同样多．总用时为：T5p1

4p2

3p3

2p4

p5

5q1

4q2

3q3

2q4

q5

．因为p1

p2

p5，q1

q2

q5．不如设

p1

t1．下证

q1

p2．不然我们互换用时为

q1，

p2的两人的地点后，总用时变为T5p14q13p32p4p55p24q23q32q4q5，TTq1p20．即经互换后总时间变少．故q1p2．也即q1t2．近似地我们能够证明：piqipi1（i1，2，3，4），p5q5．进而最省时的打水次序为：水龙头一：t1，t3，t5，t7，t9；水龙头二：t2，t4，t6，t8，t10．此中：t1t2t10．3．在ABC中，求证以下各不等式：（1）sinAsinBsinC33；2（2）tanAtanBtanC3tan，此中mN且m2．mmm3m证明：（1）考察正弦函数ysinx，在0,为上凸函数，故sinAsinBsinCsinABCsin33．332即sinAsinBsinC33．2（2）考察函数fxtanx，在0,上是凸函数．mylnxy．6．设x0，y0，证明：xlnxylnyx21证明：考察函数fxxlnx（x0），其二阶导数fx0，故其为凸函数．所x以fxyfxfy，22即xyxy1．ln2xlnxylny227．对正数a1，a2，，an，若k1或k0，则a1ka2kanka1a2ank；nn若0k1，则a1ka2kanka1a2kan．nn证明：考察函数fxxk（x0）．其二阶导数fxkk1xk2．当k0或k1时，fx0，故函数fxxk（x0）为凸函数；当0k1时，fx0，故函数fxxk（x0）为上凸函数．以下由琴生不等式立得．8．已知正实数ai（i1，2，，n）知足nai1．i1n11n求证：ain．aini115x22证明：考察函数fxlnx，x0,1．因fx2，故该函数为xx1x220凸函数．而0ai1（i1，2，，n），所以n1n1ain1．（nlnailni1nlnnai1）ni1ainaini1i1去掉对数符号立得．4．设x1x2xn0，实数p，q都不为零，且tpq．则（1）若p，q同号，则1n（2）若p，q异号，则1n

nt1np1xinixini11nt1np1xinixini11

nxiq；1nxiq．i1证明：当p，q同号时，二者都是正数，由不等式单一性得x1px2pxnp，x1qx2qxnq，由切比雪夫不等式得（1）建立；当p，q异号时，假定p0，q0，由不等式单一性得x1px2pxnp，x1q

x2q

xnq，由切比雪夫不等式得（

2）建立；5．设a、b、c为某一三角形三边长，求证：a2bcab2cabc2abc3abc．证明：不如设abc，易证abcabcabcabc．由排序原理得abcabbcabccabca3abc．6．设x1x2xn，y1y2yn．求证：n2n2．xiyixizii1i1此中z1，z2，，zn是y1，y2，，yn的随意一个摆列．n2n2证明：要证xiyixizi，只需证i1i1nnnnxi2yi22xiyixi2zi22xizi．只需证i1i1i1i1nnxiyixizi．i1i1由题设及排序原理上式明显建立．7．在ABC中求证：（1）1116；sinBsinCsinA222（2）cotAcotBcotC33；222证明：（1）考察函数y1，其在0,上为凸函数；sinx2（2）考察函数fxlncotx，在0,2上是凸函数．证明以下：2即证1fx1fx2fx1x2．222lncotx1x22fx12x2．证毕．48．设0xi，i1，2，，n．那么（1）1nsinxisin1nxi；ni1ni1（2）nsin1nnsinxixi．i1ni1证明：（1）考察函数fxsinx，其在0,上为凸函数．（2）考察函数fxlnsinx，其在0,上为凸函数．证明以下：令x1，x20,，则1sinx1x221cosx1x2．22将上述不等式两头取自然对数，得lnsinx1lnsinx22lnsinx1x2，2即lnsinx1lnsinx2lnsinx1x2．22故函数fxlnsinx在0,上为凸函数．由琴生不等式1nlnsinxi1nxi．nilnsin1ni1故n