解三角形与数列

解三角形与数列解三角形与数列解三角形与数列V:1.0精细整理，仅供参考解三角形与数列日期：20xx年X月解三角形及其数列专练1．(2016·吉林)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝(cosA，eq\r(3)sinA)，n＝(2cosA，－2cosA)，m·n＝－1.(1)若a＝2eq\r(3)，c＝2，求△ABC的面积；(2)求eq\f(b－2c,acos（\f(π,3)＋C）)的值．解析(1)因为m·n＝2cos2A－eq\r(3)sin2A＝cos2A－eq\r(3)sin2A＋1＝2cos(2A＋eq\f(π,3))＋1＝－1，所以cos(2A＋eq\f(π,3))＝－1.又eq\f(π,3)<2A＋eq\f(π,3)<2π＋eq\f(π,3)，所以2A＋eq\f(π,3)＝π，A＝eq\f(π,3).由12＝4＋b2－2×2×b×coseq\f(π,3)，得b＝4(舍负值)．所以△ABC的面积为eq\f(1,2)×2×4×sineq\f(π,3)＝2eq\r(3).(2)eq\f(b－2c,acos（\f(π,3)＋C）)＝eq\f(sinB－2sinC,sinAcos（\f(π,3)＋C）)＝eq\f(sin（A＋C）－2sinC,\f(\r(3),2)cos（\f(π,3)＋C）)＝eq\f(\f(\r(3),2)cosC－\f(3,2)sinC,\f(\r(3),2)cos（\f(π,3)＋C）)＝eq\f(\r(3)cos（\f(π,3)＋C）,\f(\r(3),2)cos（\f(π,3)＋C）)＝2.2．(2016·福建)在△ABC中，B＝eq\f(π,3)，点D在边AB上，BD＝1，且DA＝DC.(1)若△BCD的面积为eq\r(3)，求CD；(2)若AC＝eq\r(3)，求∠DCA.解析(1)因为S△BCD＝eq\r(3)，即eq\f(1,2)BC·BD·sinB＝eq\r(3)，又B＝eq\f(π,3)，BD＝1，所以BC＝4.在△BDC中，由余弦定理得，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB，即CD2＝16＋1－2×4×1×eq\f(1,2)＝13，解得CD＝eq\r(13).(2)在△ACD中，DA＝DC，可设∠A＝∠DCA＝θ，则∠ADC＝π－2θ，又AC＝eq\r(3)，由正弦定理，有eq\f(AC,sin2θ)＝eq\f(CD,sinθ)，所以CD＝eq\f(\r(3),2cosθ).在△BDC中，∠BDC＝2θ，∠BCD＝eq\f(2π,3)－2θ，由正弦定理得，eq\f(CD,sinB)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，即eq\f(\f(\r(3),2cosθ),sin\f(π,3))＝eq\f(1,sin（\f(2π,3)－2θ）)，化简得cosθ＝sin(eq\f(2π,3)－2θ)，于是sin(eq\f(π,2)－θ)＝sin(eq\f(2π,3)－2θ)．因为0<θ<eq\f(π,2)，所以0<eq\f(π,2)－θ<eq\f(π,2)，－eq\f(π,3)<eq\f(2π,3)－2θ<eq\f(2π,3)，所以eq\f(π,2)－θ＝eq\f(2π,3)－2θ或eq\f(π,2)－θ＋eq\f(2π,3)－2θ＝π，解得θ＝eq\f(π,6)或θ＝eq\f(π,18)，故∠DCA＝eq\f(π,6)或∠DCA＝eq\f(π,18).3．(2017·河北)设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2＋b2－c2)sinA＝ab(sinC＋2sinB)，a＝1.(1)求角A的大小；(2)求△ABC的周长的取值范围．解析(1)由(a2＋b2－c2)sinA＝ab(sinC＋2sinB)，结合余弦定理可得2abcosCsinA＝ab(sinC＋2sinB)，即2cosCsinA＝sinC＋2sin(A＋C)，化简得sinC(1＋2cosA)＝0.因为sinC≠0，所以cosA＝－eq\f(1,2)，又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(2π,3).(2)因为A＝eq\f(2π,3)，a＝1，由正弦定理可得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(2\r(3),3)sinB，c＝eq\f(2\r(3),3)sinC，所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝1＋eq\f(2\r(3),3)sinB＋eq\f(2\r(3),3)sinC＝1＋eq\f(2\r(3),3)[sinB＋sin(eq\f(π,3)－B)]＝1＋eq\f(2\r(3),3)(eq\f(1,2)sinB＋eq\f(\r(3),2)cosB)＝1＋eq\f(2\r(3),3)sin(B＋eq\f(π,3))．因为B∈(0，eq\f(π,3))，所以(B＋eq\f(π,3))∈(eq\f(π,3)，eq\f(2π,3))，则sin(B＋eq\f(π,3))∈(eq\f(\r(3),2)，1]，则l＝a＋b＋c＝1＋eq\f(2\r(3),3)sin(B＋eq\f(π,3))∈(2，1＋eq\f(2\r(3),3)].4．已知函数f(x)＝(eq\r(3)sinωx－cosωx)·cosωx＋eq\f(1,2)(其中ω>0)，若f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为eq\f(π,4).(1)求y＝f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足(2b－a)cosC＝c·cosA，且f(B)恰是f(x)的最大值，试判断△ABC的形状．解析(1)f(x)＝eq\r(3)sinωx·cosωx－cos2ωx＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2ωx－eq\f(1,2)(2cos2ωx－1)＝eq\f(\r(3),2)sin2ωx－eq\f(1,2)cos2ωx＝sin(2ωx－eq\f(π,6))．因为函数f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为eq\f(π,4)，所以T＝π，所以eq\f(2π,2ω)＝π，所以ω＝1.所以f(x)＝sin(2x－eq\f(π,6))．由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，得－eq\f(π,6)＋kπ≤x≤eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)．所以函数f(x)的单调递增区间为[－eq\f(π,6)＋kπ，eq\f(π,3)＋kπ](k∈Z)．(2)因为(2b－a)cosC＝c·cosA，由正弦定理，得(2sinB－sinA)cosC＝sinC·cosA，即2sinBcosC＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB，因为sinB≠0，所以cosC＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(π,3).所以0<B<eq\f(2π,3)，0<2B<eq\f(4π,3)，－eq\f(π,6)<2B－eq\f(π,6)<eq\f(7π,6).根据正弦函数的图像，可以看出f(x)的最大值为f(B)＝1，此时2B－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即B＝eq\f(π,3)，所以A＝eq\f(π,3)，所以△ABC为等边三角形．5．(2017·山西)已知f(x)＝cosx(λsinx－cosx)＋cos2(eq\f(π,2)－x)＋1(λ>0)的最大值为3.(1)求函数f(x)的对称轴；(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(a,2c－b)，若不等式f(B)<m恒成立，求实数m的取值范围．解析(1)f(x)＝cosx(λsinx－cosx)＋cos2(eq\f(π,2)－x)＋1＝λsinxcosx－cos2x＋sin2x＋1＝eq\f(1,2)λsin2x－cos2x＋1.≤eq\r(\f(λ2,4)＋1)＋1，由题意知：eq\r(\f(λ2,4)＋1)＋1＝3，λ2＝12，∵λ>0，∴λ＝2eq\r(3).∴f(x)＝eq\r(3)sin2x－cos2x＋1＝2sin(2x－eq\f(π,6))＋1.令2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ，解得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3)，(k∈Z)．∴函数f(x)的对称轴为x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3)(k∈Z)．(2)∵eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(a,2c－b)，由正弦定理，eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(sinA,2sinC－sinB)可变形得，sin(A＋B)＝2cosAsinC，即sinC＝2cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA＝eq\f(1,2)，又0<A<π，所以A＝eq\f(π,3).∴f(B)＝2sin(2B－eq\f(π,6))＋1，只需f(B)max<m，∵0<B<eq\f(2π,3)，∴－eq\f(π,6)<2B－eq\f(π,6)<eq\f(7π,6)，∴－eq\f(1,2)<sin(2B－eq\f(π,6))≤1，即0<f(B)≤3.∴m>3.数列小题专练一、选择题1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8＝()A．18B．12C．9D．6答案D解析由题意得S11＝eq\f(11（a1＋a11）,2)＝eq\f(11（2a1＋10d）,2)＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D.2古代数学着作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为()A．7B．8C．9D．10答案B解析设该女子第一天织布x尺，则eq\f(x（1－25）,1－2)＝5，得x＝eq\f(5,31)，∴前n天所织布的尺数为eq\f(5,31)(2n－1)．由eq\f(5,31)(2n－1)≥30，得2n≥187，则n的最小值为8.3各项均为正数的等差数列{an}中，a4a9＝36，则前12项和S12A．78B．48C．60D．72答案D解析S12＝6(a1＋a12)＝6(a4＋a9)≥6×2eq\r(a4a9)＝72，当且仅当a4＝a9＝6时等号成立．5已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，观察下列算式：a1·a2＝log23·log34＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg4,lg3)＝2；a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg4,lg3)·…·eq\f(lg8,lg7)＝3，…；若a1·a2·a3·…·am＝2016(m∈N*)．则m的值为()A．22016＋2B．22016C．22016－2D．22016－4答案C解析由于a1·a2·a3·…·am＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg4,lg3)·eq\f(lg5,lg4)·…·eq\f(lg（m＋2）,lg（m＋1）)＝eq\f(lg（m＋2）,lg2)＝2016，可得lg(m＋2)＝2016lg2＝lg22016，可得m＋2＝22016，解得m＝22016－2.7．(2016·福建质检)已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4＝a3，则使得Tn>1A．4B．5C．6D．7答案C解析通解：设等比数列{an}的公比为q(q>1)，因为a2a4＝a3，所以a32＝a3，又an>0，所以a3＝1，所以等比数列{an}的前n项积Tn＝a1·a2·a3·a4·…·an＝eq\f(a3,q2)·eq\f(a3,q)·a3·a3q·…·a3qn－3＝qeq\s\up10(\f(n（－2＋n－3）,2))＝qeq\s\up10(\f(n（n－5）,2))，则使得Tn>1的n的最小值为6，故选C.优解：设等比数列{an}的公比为q(q>1)，因为a2a4＝a3，所以a32＝a3，又an>0，所以a3＝1，所以T4＝a1·a2·a3·a4＝eq\f(a3,q2)·eq\f(a3,q)·a3·a3q＝eq\f(1,q2)<1，排除A；T5＝eq\f(1,q2)·a3q2＝1，排除B；T6＝T5·a3q3＝q3>1，故选C.8．(2016·长沙调研)已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，a1＝eq\f(1,2)，且对任意正整数n，都有an＋1＋SnSn＋1＝0，则a1＋a20＝()\f(209,420)\f(19,21)\f(23,42)\f(13,42)答案A解析由条件可得an＋1＝－SnSn＋1，即Sn＋1－Sn＝－SnSn＋1，所以eq\f(1,Sn＋1)－eq\f(1,Sn)＝1，则数列{eq\f(1,Sn)}是公差为1的等差数列，故eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,S1)＋(n－1)×1＝2＋n－1＝n＋1，故Sn＝eq\f(1,n＋1)，则a20＝S20－S19＝eq\f(1,21)－eq\f(1,20)＝－eq\f(1,420)，故a1＋a20＝eq\f(1,2)－eq\f(1,420)＝eq\f(209,420).9．(2016·郑州预测)正项等比数列{an}中的a1、a4031是函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x2＋6x－3的极值点，则logeq\r(6)a2016＝()A．1B．2\r(2)D．－1答案A解析因为f′(x)＝x2－8x＋6，且a1、a4031是方程x2－8x＋6＝0的两根，所以a1·a4031＝a20162＝6，即a2016＝eq\r(6)，所以logeq\r(6)a2016＝1，故选A.10．(2015·洛阳调研)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝eq\f(25,2)，则数列{eq\f(an,2n)}的前n项和为()A．1－eq\f(n＋2,2n＋1)B．2－eq\f(n＋4,2n＋1)C．2－eq\f(n＋4,2n)D．2－eq\f(n＋2,2n＋1)答案B解析设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d，因为S3＝6，S5＝eq\f(25,2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝6，,5a1＋10d＝\f(25,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(3,2)，,d＝\f(1,2)，))所以an＝eq\f(1,2)n＋1，eq\f(an,2n)＝eq\f(n＋2,2n＋1)，设数列{eq\f(an,2n)}的前n项和为Tn，则Tn＝eq\f(3,22)＋eq\f(4,23)＋eq\f(5,24)＋…＋eq\f(n＋1,2n)＋eq\f(n＋2,2n＋1)，eq\f(1,2)Tn＝eq\f(3,23)＋eq\f(4,24)＋eq\f(5,25)＋…＋eq\f(n＋1,2n＋1)＋eq\f(n＋2,2n＋2)，两式相减得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(3,4)＋(eq\f(1,23)＋eq\f(1,24)＋…＋eq\f(1,2n＋1))－eq\f(n＋2,2n＋2)＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)(1－eq\f(1,2n－1))－eq\f(n＋2,2n＋2)，所以Tn＝2－eq\f(n＋4,2n＋1).11．在等差数列{an}中，a1＝－2017，其前n项和为Sn，若eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，则S2017的值等于()A．－2016B．－2017C．－2015D．－2018答案B解析∵eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，∴eq\f(\f(12（a1＋a12）,2),12)－eq\f(\f(10（a1＋a10）,2),10)＝2，故a12－a10＝4.∴2d＝4，d＝2，∴S2017＝2017a1＋eq\f(2017×2016,2)×d＝2017×(－2017)＋2017×2016＝－2017.12．(2016·长沙四校)已知函数f(x＋eq\f(1,2))为奇函数，g(x)＝f(x)＋1，即an＝g(eq\f(n,2014))，则数列{an}的前2013项和为()A．2014B．2013C．2012D．2011答案B解析因为f(x＋eq\f(1,2))为奇函数，所以函数y＝f(x)的图像关于点(eq\f(1,2)，0)对称，则函数y＝g(x)的图像关于点(eq\f(1,2)，1)对称，故函数g(x)满足g(x)＋g(1－x)＝2.设S＝g(eq\f(1,2014))＋g(eq\f(2,2014))＋…＋g(eq\f(2013,2014))，倒序后得S＝g(eq\f(2013,2014))＋g(eq\f(2012,2014))＋…＋g(eq\f(1,2014))，两式相加后得2S＝[g(eq\f(1,2014))＋g(eq\f(2013,2014))]＋[g(eq\f(2,2014))＋g(eq\f(2012,2014))]＋…＋[g(eq\f(2013,2014))＋g(eq\f(1,2014))]＝2013×2，所以S＝2013.二、填空题15．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝2Sn＋3，则S4＝________．答案66解析依题an＝2Sn－1＋3(n≥2)，与原式作差得，an＋1－an＝2an，n≥2，即an＋1＝3an，n≥2，可见，数列{an}从第二项起是公比为3的等比数列，a2＝5，所以S4＝1＋eq\f(5×（1－33）,1－3)＝66.16．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________．答案22n＋1－2解析由等比数列的性质，得a3＋a5＝(a2＋a4)q，解得q＝eq\f(a3＋a5,a2＋a4)＝2，又∵a2＋a4＝a1(q＋q3)＝20，∴a1＝2.∴Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝2n＋1－2.17．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，eq\f(2Sn,n)＝an＋1－eq\f(1,3)n2－n－eq\f(2,3)，n∈N*.则a2＝_______，an＝________．答案4n2解析依题意，2S1＝a2－eq\f(1,3)－1－eq\f(2,3)，又S1＝a1＝1，所以a2＝4.当n≥2时，2Sn＝nan＋1－eq\f(1,3)n3－n2－eq\f(2,3)n，2Sn－1＝(n－1)an－eq\f(1,3)(n－1)3－(n－1)2－eq\f(2,3)(n－1)，两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－eq\f(1,3)(3n2－3n＋1)－(2n－1)－eq\f(2,3)，整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝1.又eq\f(a2,2)－eq\f(a1,1)＝1，故数列{eq\f(an,n)}是首项为eq\f(a1,1)＝1，公差为1的等差数列．所以eq\f(an,n)＝1＋(n－1)×1＝n.所以an＝n2.18．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为_____．－49解析由Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10a1＋45d＝0，,15a1＋105d＝25，))解得a1＝－3，d＝eq\f(2,3).则Sn＝－3n＋eq\f(n（n－1）,2)·eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)(n2－10n)，所以nSn＝eq\f(1,3)(n3－10n2)．令f(x)＝eq\f(1,3)(x3－10x2)，则f′(x)＝x2－eq\f(20,3)x＝x(x－eq\f(20,3))，当x∈(1，eq\f(20,3))时，f(x)递减；当x∈(eq\f(20,3)，＋∞)时，f(x)递增，又6<eq\f(20,3)<7，f(6)＝－48，f(7)＝－49，19．已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，数列{xn}是一个公差为2的等差数列，满足f(x8)＋f(x9)＋f(x10)＋f(x11)＝0，则x2017＝________．答案4015解析因为f(x)是奇函数，在R上是增函数，且数列{xn}是递增数列，所以由f(x8)＋f(x9)＋f(x10)＋f(x11)＝0可得x8＋x11＝x9＋x10＝0.由数列{an}的公差为2，得x1＝－17，所以xn＝x1＋(n－1)d＝2n－19.所以x2017＝2×2017－19＝4015.20.已知{an}是等差数列，设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|(n∈N*)．某同学设计了一个求Tn的部分算法流程图(如图)，图中空白处理框中是用n的表达式对Tn赋值，则空白处理框中应填入：Tn＝________．答案n2－9n＋40解析由流程图可知该等差数列的通项公式是an＝2n－10或an＝－2n＋10.不妨令an＝2n－10，则当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－a1－a2－…－a5＋a6＋a7＋…＋an＝20＋eq\f(（n－5）（2＋2n－10）,2)＝n2－9n＋40.1．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．答案20解析方法一：设等差数列的公差为d，则a3＋a8＝2a1＋9d＝10，3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20.方法二：∵{an}为等差数列，∴3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a5＋a6)＝2(a3＋a8)＝20.2．已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1)，且a1＝b1，a4＝b4，a10＝b10，则a1和d的值分别为()\r(3,2)，eq\r(3,2)B．－eq\r(3,2)，eq\r(3,2)C．－eq\r(3,2)，－eq\r(3,2)\r(3,2)，－eq\r(3,2)答案D3．设数列{an}是公差不为0的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则eq\f(a4,a1)＝()A．3B．4C．6D．7答案D解析由S1，S2，S4成等比数列，得S22＝S1S4，即为(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)．又d≠0，故可化简为d＝2a1，所以eq\f(a4,a1)＝eq\f(a1＋3×2a1,a1)＝7.4．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝A．7B．5C．－5D．－7答案D解析∵{an}为等比数列，∴a5a6＝a4a联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝2，,a4a7＝－8，))可解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝－2，,a7＝4.))当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2))时，q3＝－eq\f(1,2)，故a1＋a10＝eq\f(a4,q3)＋a7q3＝－7；当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝－2，,a7＝4))时，q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7.数列大题专练1．(2016·湖北)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝2－3Sn(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，求数列{an＋bn}的前n项和Tn.解析(1)当n≥2时，由an＝2－3Sn ①，得an－1＝2－3Sn－1 ②，①－②即得4an＝an－1，而当n＝1时，a1＝2－3a1，故a1＝eq\f(1,2).因而数列{an}是首项为eq\f(1,2)，公比为eq\f(1,4)的等比数列，其通项公式为an＝eq\f(1,2)·(eq\f(1,4))n－1＝(eq\f(1,2))2n－1(n∈N*)．(2)由(1)得bn＝log2an＝1－2n(n∈N*)．数列{an＋bn}的前n项和Tn＝a1＋b1＋a2＋b2＋…＋an＋bn＝(a1＋…＋an)＋(b1＋…＋bn)＝eq\f(\f(1,2)[1－（\f(1,4)）n],1－\f(1,4))＋eq\f(（－1＋1－2n）n,2)＝eq\f(2,3)－n2－eq\f(2,3)×(eq\f(1,4))n，(n∈N*)．2．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，对任意n∈N*，都有2Sn＝(n＋1)an.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{eq\f(4,an（an＋2）)}的前n项和为Tn，求证：eq\f(1,2)≤Tn<1.解析(1)因为2Sn＝(n＋1)an，当n≥2时，2Sn－1＝nan－1，两式相减，得2an＝(n＋1)an－nan－1，即(n－1)an＝nan－1，所以当n≥2时，eq\f(an,n)＝eq\f(an－1,n－1)，所以eq\f(an,n)＝eq\f(a1,1).因为a1＝2，所以an＝2n.(2)因为an＝2n，令bn＝eq\f(4,an（an＋2）)，n∈N*，所以bn＝eq\f(4,2n（2n＋2）)＝eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋…＋(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).因为eq\f(1,n＋1)>0，所以1－eq\f(1,n＋1)<1.因为f(n)＝eq\f(1,n＋1)在n∈N*上是递减函数，所以1－eq\f(1,n＋1)在n∈N*上是递增的，所以当n＝1时，Tn取最小值eq\f(1,2).所以eq\f(1,2)≤Tn<1.3．(2016·长沙调研)已知数列{an}与{bn}满足an＋1－an＝2(bn＋1－bn)(n∈N*)．(1)若a1＝1，bn＝3n＋5，求数列{an}的通项公式；(2)若a1＝6，bn＝2n(n∈N*)，且λan>2n＋n＋2λ对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．解析(1)因为an＋1－an＝2(bn＋1－bn)，bn＝3n＋5，所以an＋1－an＝2(bn＋1－bn)＝2(3n＋8－3n－5)＝6，所以{an}是首项为a1＝1，公差为6的等差数列．所以an＝6n－5(n∈N*)．(2)因为bn＝2n，所以an＋1－an＝2(2n＋1－2n)＝2n＋1，当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n＋2n－1＋…＋22＋6＝2n＋1＋2，当n＝1时，a1＝6，符合上式，所以an＝2n＋1＋2(n∈N*)，由λan>2n＋n＋2λ得λ>eq\f(2n＋n,2n＋1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(n,2n＋1)，所以当n＝1，2时，eq\f(2n＋n,2n＋1)取最大值eq\f(3,4)，故λ的取值范围为(eq\f(3,4)，＋∞)．4．(2016·衡中一调)已知数列{an}满足an＋2＝qan(q为实数，且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列．(1)求q的值和{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(log2a2n,a2n－1)，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．解析(1)由已知，有(a3＋a4)－(a2＋a3)＝(a4＋a5)－(a3＋a4)，即a4－a2＝a5－a3，所以a2(q－1)＝a3(q－1)，又因为q≠1，所以a2＝a3.由a3＝qa1，得q＝2.当n＝2k－1(k∈N*)时，an＝a2k－1＝2k－1＝2eq\s\up10(\f(n－1,2))；当n＝2k(k∈N*)时，an＝a2k＝2k＝2eq\s\up10(\f(n,2))，所以数列{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2\s\up10(\f(n－1,2))，n为奇数，,2\s\up10(\f(n,2))，n为偶数.))(2)由(1)得bn＝eq\f(log2a2n,a2n－1)＝eq\f(n,2n－1)，n∈N*.设数列{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,21)＋3×eq\f(1,22)＋…＋(n－1)×eq\f(1,2n－2)＋n×eq\f(1,2n－1)，eq\f(1,2)Sn＝1×eq\f(1,21)＋2×eq\f(1,22)＋3×eq\f(1,23)＋…＋(n－1)×eq\f(1,2n－1)＋n×eq\f(1,2n)，上述两式相减，得eq\f(1,2)Sn＝eq\f(1,20)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(n,2n)＝eq\f(1－\f(1,2n),1－\f(1,2))－eq\f(n,2n)＝2－eq\f(2,2n)－eq\f(n,2n)，整理，得Sn＝4－eq\f(n＋2,2n－1)，n∈N*.5．已知数列{an}的前n项的和为Sn，且a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(n＋1,2n)an.(1)证明：数列{eq\f(an,n)}是等比数列；(2)求通项公式an与前n项的和Sn；(3)设bn＝n(2－Sn)，n∈N*，若集合M＝{n|bn≥λ，n∈N*}恰有4个元素，求实数λ的取值范围．解析(1)因为a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(n＋1,2n)an，当n∈N*时，eq\f(an,n)≠0.又因为eq\f(a1,1)＝eq\f(1,2)，eq\f(an＋1,n＋1)∶eq\f(an,n)＝eq\f(1,2)(n∈N*)为常数，所以{eq\f(an,n)}是以eq\f(1,2)为首项，eq\f(1,2)为公比的等比数列．(2)由{eq\f(an,n)}是以eq\f(1,2)为首项，eq\f(1,2)为公比的等比数列，得eq\f(an,n)＝eq\f(1,2)×(eq\f(1,2))n－1＝(eq\f(1,2))n.所以an＝n×(eq\f(1,2))n.由错位相减法得Sn＝2－(eq\f(1,2))n－1－n(eq\f(1,2))n.(3)因为bn＝n(2－Sn)(n∈N*)，所以bn＝n(eq\f(1,2))n－1＋n2(eq\f(1,2))n.因为bn＋1－bn＝(3－n2)(eq\f(1,2))n＋1，所以b2>b1，b2>b3>b4>….因为集合M＝{n|bn≥λ，n∈N*}恰有4个元素，且b1＝b4＝eq\f(3,2)，b2＝2，b3＝eq\f(15,8)，b5＝eq\f(35,32)，所以eq\f(35,32)<λ≤eq\f(3,2).数列专练(二)·1．(2017·长沙模拟)已知数列{an}满足a1＋eq\f(a2,2)＋…＋eq\f(an,n)＝2n＋1，(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和．解析(1)当n＝1时，由题设知a1＝4；当n≥2时，由题设a1＋eq\f(a2,2)＋…＋eq\f(an,n)＝2n＋1知a1＋eq\f(a2,2)＋…＋eq\f(an－1,n－1)＝2n，两式相减得eq\f(an,n)＝2n＋1－2n，即an＝n×2n(n≥2)，故{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,n×2n（n≥2，n∈N*）.))(2)设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝1×22＋2×22＋…＋n×2n，2Sn＝1×23＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，两式相减得Sn＝n×2n＋1－(22＋23＋…＋2n)＝n×2n＋1－4×(2n－1－1)＝(n－1)×2n＋1＋4.2．(2016·四川)已知等比数列{an}的首项a1＝eq\f(1,3)，前n项和Sn满足S1，2S2，3S3成等差数列．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝2－(eq\f(1,1＋an)＋eq\f(1,1－an＋1))，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<eq\f(1,3).解析(1)因为S1，2S2，3S3成等差数列，所以4S2＝S1＋3S3，当q＝1时，不符合；当q≠1时，得4eq\f(a1（1－q2）,1－q)＝a1＋3eq\f(a1（1－q3）,1－q)，故q＝eq\f(1,3)或q＝0(舍去)．综上可知，an＝(eq\f(1,3))n.(2)由(1)知an＝(eq\f(1,3))n，所以bn＝2－[eq\f(1,1＋（\f(1,3)）n)＋eq\f(1,1－（\f(1,3)）n＋1)]＝2－eq\f(1,1＋（\f(1,3)）n)－eq\f(1,1－（\f(1,3)）n＋1)＝1－eq\f(1,1＋（\f(1,3)）n)＋1－eq\f(1,1－（\f(1,3)）n＋1)＝(1－eq\f(3n,3n＋1))＋(1－eq\f(3n＋1,3n＋1－1))＝eq\f(1,3n＋1)－eq\f(1,3n＋1－1)，由eq\f(1,3n＋1)<eq\f(1,3n)，eq\f(1,3n＋1－1)>eq\f(1,3n＋1)得eq\f(1,3n＋1)－eq\f(1,3n＋1－1)<eq\f(1,3n)－eq\f(1,3n＋1)，所以bn<eq\f(1,3n)－eq\f(1,3n＋1)，从而Tn＝b1＋b2＋…＋bn<(eq\f(1,3)－eq\f(1,32))＋(eq\f(1,32)－eq\f(1,33))＋…＋(eq\f(1,3n)－eq\f(1,3n＋1))＝eq\f(1,3)－eq\f(1,3n＋1)<eq\f(1,3)，因此Tn<eq\f(1,3).3．(2016·湖南)已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积S＝4eq\r(3)，B＝60°，且a2＋c2＝2b2；等差数列{an}中，a1＝a，公差d＝b.数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn－2bn＋3＝0，n∈N*.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)设cn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an，n为奇数，,bn，n为偶数，))求数列{cn}的前2n＋1项和P2n＋1.解析(1)∵S＝eq\f(1,2)acsinB＝4eq\r(3)，∴ac＝16，又a2＋c2＝2b2，b2＝a2＋c2－2accosB，∴b2＝ac＝16，∴b＝4，从而(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝64，a＋c＝8，∴a＝c＝4.故可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝4，))∴an＝4n.∵Tn－2bn＋3＝0，∴当n＝1时，b1＝3，当n≥2时，Tn－1－2bn－1＋3＝0，两式相减，得bn＝2bn－1(n≥2)，∴数列{bn}为等比数列，∴bn