数学研讨专题平面向量向量的应用答案

专题平面向量向量的应用答案部分uuuruuuruuuruuur1.解析设AOAD(ABAC)，uuuruuuruuuruuur2uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur1AOAEEOAEECAE(ACAE)(1)AEACABAC3，11因此23，解得2，124uuur1uuur1uuuruuuruuuruuuruuur1uuuruuur因此AOAD4(ABAC)，ECACAEABAC，21uuur32uuuruuuruuur61uuuruuur(uuur31uuur2uuuruuur26AOEC(ABAC)ABAC)(ABABACAC)1uuur243uuur23233uuuruuurABABACAC，223uuur21uuur23uuur2uuuruuur1uuur2uuuruuur由于ABACABABACAC，因此2ABAC，uuur2222ABAB33.因此uuur2，因此ACAC2.解析：正方形ABCD的边长为1，uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur0，可得ABADAC，BDADAB，ABADuuuruuuruuuruuuruuuruuur|1AB2BC3CD4DA5AC6BD|uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur|1AB2AD3AB4AD5AB5AD6AD6AB|uuuruuur|(1356)AB(2456)AD|(1356)2(2456)2,由于i(i1,2,3,4,5,6)2，3，4，5，取遍1，可得13560，24560，可取561,131,21,41，可得所求最小值为0；由13564，24564，可取21,41,561,11,31,可得所求最大值为25．解析由于ABBE，AD//BC，A30o，因此在等腰三角形ABE中，BEA120o，3.又AB23，因此AEuuur2uuur2，因此BEAD.5uuuruuuruuuruuuruuur2uuur由于AEABBE，因此AEABAD.uuuruuuruuuruuuruuur5又BDBAADABAD，uuuruuuruuuruuuruuur2uuuruuur27uuuruuur2uuur2因此BDAEABADAB5ADAB5ABADAD5uuur27uuuruuur2uuur2127332251.AB5ABADcosAAD5225552010-2018年1．A【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系，yCEDAxB由于在平面四边形ABCD中，ABAD1，BAD120，因此A(0,0)，B(1,0)，D(1,3)，设C(1,m),E(x,y)，22uuuruuur(1,3)，因此DC(3,m3)，AD2222由于ADCD，因此(3,m3)(1,3)0，2222即3(1)3(m3)0，解得m3，即C(1,3)，2222由于E在CD上，因此3≤y≤3，由kCEkCD，23y33得2，即x3y2，x1112uuuruuur(x1,y)，由于AE(x,y)，BEuuuruuurxy2(3x2)23y2y2因此AEBE(x,y)(x1,y)x24y253y6，令f(y)4y253y6，y[3,3]．2由于函数f(y)4y253y6在[3,53]上单调递减，在[53,3]上单调递288增，因此f(y)min4(53)25353621．8816uuuruur21，应选A．因此AEBE的最小值为16uuuruuur．【解析】解法一设为坐标原点，，b，OaOAOB(x,y)，e=(1,0)2A由b24eb30得x2y24x30，即(x2)2y21，因此点B的轨迹是以C(2,0)为圆心，l为半径的圆．由于a与e的夹角为，因此不如令点A在射线3y3x(x0)上，如图，yy=3xABOCxuuuruuur数形结合可知|ab|min|CA||CB|31．应选A．解法二由b24eb30得b24eb3e2(be)(b3e)0．设buuuruuuruuureuuuruuurOB，eOE，3eOF，因此bEB，b3e=FB，uuuruuur0，取EF的中点为C．则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图．因此EBFBABOECF设auuurAOE，因此|ab||(a2e)(2eb)|≥OA，作射线OA，使得uuuruuur3aeeb．应选A．|(2)||(2)||CA|≥31|BC|3．A【解析】如图建立直角坐标系，yADPBCx则A(0,1)，B(0,0)，D(2,1)，P(x,y)，由等面积法可得圆的半径为2，5因此圆的方程为(x2)2y24，uuuruuur5uuur(x,y1)(0,(2,0)因此AP，AB1)，AD，uuuruuuruuurx2=xy1，由APABAD，得y1，因此2xy1，即x1z0，设zy22x点P(x,y)在圆上，因此圆心到直线1z0的距离小于半径，y2因此|2z|≤2，解得1≤z≤3，因此z的最大值为3，1541即的最大值为3，选A．4．B【解析】如图，以BC为x轴，BC的垂直均分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，yABPCxD则A(0,3)，B(1,0)，C(1,0)，设P(x,y)，uuur(x,3uuur(1x,uuur(1x,y)，因此PAy)，PBy)，PCuuuruuur(2x,2y)，因此PBPCuuuruuuruuur2y(3y)2x22(y3)23≥3，PA(PBPC)2x2222当P(0,3)时，所求的最小值为3，应选B．225．C【解析】以下列图，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AOAF，而AFB90o，∴AOB与COD为钝角，AOD与BOC为锐uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur角．依照题意I1I2OAOBOBOCOB(OAOC)OBCAuuuruuur|OB||CA|cosAOB0，∴I1I2，同理I2I3．做AGBD于G，又ABAD．∴OBBGGDOD，而OAAFFCOC，uuuruuuruuuruuur0∴|OA||OB||OC||OD|，而cosAOBcosCOD，uuuruuuruuuruuur∴OAOBOCOD，即I1I3，∴I3I1I2，选C．DAEGOFBCuuuruuuruuur2知,D为uuuruuuruuuruuur6．B【解析】由DADBDCABC的外心．由DADB=DBDCuuuruuurABC的内心，因此ABC为正三角形，易知其边长为23，=DCDA知D为取AC的中点E，由于M是PC的中点，因此EM1AP1，uuuur17uuuur24922．应选B．因此|BM|max|BE|22，则|BM|max47．D【解析】由菱形ABCD的边长为a，ABC60o可知BAD180o60o120o，uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur2o232BDCD(ADAB)(AB)ABADABaacos120aa．1uuuruuur1uuur2uuuruuuruuuruuur1uuur8．A【解析】由题意得ADACCDAC3BCACAC3AB1uuur4uuur3ABAC．33AABAC9A【解析】以题意，以点为坐标原点，以所在的直线为x轴，所在的直线为．轴建立以下列图的平面直角坐标系，因此点P(1,4)，B(1,0)，C(0,t)，uuuruuur1t11,4)(1,t4)(1)4(t4)因此PBPC((1)tt=1714t≤17214t13（当且仅当14t，即t=1时取等号），ttt2uuuruuur因此PBPC的最大值为13．应选A．uuuuruuur3uuuruuuuruuuuruuur1uuur1uuur10．C【解析】AMABAD,NMCMCN4ADAB，因此43uuuuruuuur1uuuruuuruuuruuurAMNM(4AB3AD)1(4AB3AD)4121uuur2uuur21(1636916)9，选C．(16AB9AD)484811．B【解析】由题意得，AC为圆的直径，故可设A(m,n)，C(m,n)，B(x,y)，uuuruuuruuur6,y)，而(x6)2y23712x49，∴PAPBPC(xuuuruuuruuur7，应选B．∴PAPBPC的最大值为r(1,0),ruuur(cos,sinuuur(2,2)，12．A【解析】设ab(0,1)，则OP)，OQ因此曲线C是单位元，地域为圆环（如图）uuur∵|OQ|2，∴1rR3．13．C【解析】由于?BADuuuruuuruuuruuurcos120o=-2.120o，因此AB?ADAB鬃ADuuuruuuruuuruuuruuuruuur由于BE=lBC，因此AE=AB+lAD，AF=mAB+AD.uuuruuuruuuruuuruuuruuur由于AE?AF1，因此AB+lAD?mABAD=1，即2l+2m-lm=3①2同理可得lm-l-m=-2②，①+②得l+m=5.uuur3uuurrrr6rrr0，14．B【解析】如图，设ABb,ACc，则b1,c2,b?cAPQBCuuuruuuruuurr(1r又BQBAAQb)c，uuuruuuruuurrr2得CPCAAPcb，由BQ?CPr(1rrr(r2r24(1)2，[b)c]?(cb)1)cb即32,2，选B.3uuur(10cos,10sin)cos3,sin415．A【解析】【方法一】设OPuuur3355(10cos(),10sin())(72,2)．则OQ44uuur(6,8)3后，可知Q点落在第三象限，则可排【方法二】将向量OP按逆时针旋转2除B、D，代入A，由向量的夹角公式可得cosQOP2QOP3，∴．2416．C【解析】第一观察会集{n|nZ},1,1,0,1,1,3,2,，从而解析aob2222和boa的范围以下：由于(0,)，∴2cos1，24而boaba|b|cos，且|a||b|0，可得0|b|cos1，aa|a||a|又∵boa{n|nZ}中，∴|b|cos12|a|2，从而|b|1，∴aobab|a|cos2cos2，|a|2cosbb|b|因此1aob2．且aob也在会集{n|nZ}中，故有aob3．2217．D【解析】依照已知得(c,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]，即(c,0)(1,0)，从而得c；(d,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]，即(d,0)(1,0)，得d，依照112，得112．线段AB的方程是y0，x[0,1]．cd若C是线段AB的中点，则c1112，得10．2，代入dcd此等式不可以能建立，应选项A的说法不可以立；同理选项B的说法也不可以立；若C,D同时在线段AB上，则0c≤1，0d≤1，此时1≥1，1≥1，11≥2，若等号建立，则只能cd1，cdcd依照定义，C,D是两个不同样的点，故矛盾，应选项C的说法也不正确，若C,D同时在线段AB的延长线上，若c1，d1，则112，cd与112矛盾，若c0,d0，则11是负值，与112矛盾，cdcdcd若c1，d0，则11，10，此时111，与112矛盾，cdcdcd应选项D的说法是正确的．3【解析】设E(0,t)，F(0,t2)uuuruuur(1,t)(2,t2)18．，因此AEBF2t(t2)t22t2(t1)23，当tuuuruuur3．1时，AEBF获取最小值uuuruuur2xy5≤019[52,1]【解析】设P(x,y)，由PAPB≤20，得，．y2x-y+5=0BM52xA52ON如图由2xy?5≤0可知，P在MN上，2xy505)，由y2，解得M(1,7)，N(5,x250因此P点横坐标的取值范围为[52,1]．uuuruuur32cos600uuur1uuuruuur20．3【解析】ABAC3，ADAB2AC,则111uuur2uuur33uuuruuuruuuruuur3241234，ADAE(ABAC)(ACAB)39333333．1121．1【解析】由题意令e(1,0)，a(cos,sin)，b(2cos,2sin)，2则由|ae||be|,6可得|cos|2|cos|,6①，令sin2sinm②①2+②2得4[|coscos|sinsin],1m2对一的确数,恒建立，因此4[|coscos|sinsin],1．故ab2(coscossinsin)剟2[|coscos|sinsin]1．2故最大值为1．2uuuuruuuuruuur1uuur1uuur1uuuruuuruuur22．1-1126【解析】由MNMCCNACCBAC(ABAC)1uuur32321uuuruuuruuur112ABACxAByAC．因此x=，y=-．62623．29uuur1uuuruuur1uuur18【解析】由于DF9DC，DC2AB，uuuruuuruuur1uuuruuur19uuur19uuurCFDFDC9DCDC9DC18AB，uuuruuuruuuruuuruuurAEABBEABBC，uuuruuuruuuruuuruuuruuur19uuur19uuuruuurAFABBCCFABBC18AB18ABBC，uuuruuuruuuruuur19uuuruuurAEAFABBC18ABBC19uuur2uuur2119uuuruuur18ABBC18ABBC19419921cos1201818211722117299218921818当且仅当21即2时的最小值为29．92318DFCEAB24．9uuruuur(cosk,sinkcosk)(cos(k1),sin(k1)3【解析】akak166666cos(k1))cos6sin2k6coskcos(k1)33sin2k666641cos(2k1)11uuruuur33，因此akak11293．26k0425．2【解析】由于?BAD120o，菱形的边长为uuuruuur-2.2，因此AB?ADuuuruuuruuur1uuuruuur1uuuruuuruuur由于骣骣，由AE?AF1，?珑+鼢珑鼢3桫桫因此442(11)1，解得2．33uuur1，得(x3)2y226．17【解析】设D(x,y)，由|CD|1，向量uuuruuuruuur(x1,y3)uuuruuuruuur(x1)2(y3)2OAOBOD，故|OAOBOC|的最大值为圆(x3)2y21上的动点到点(1,3)距离的最大值，其最大值为圆(x3)2y21的圆心(3,0)到点(1,3)的距离加上圆的半径，即(31)2(03)2117．27．2【解析】以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(2,0)，E(2,1)，D(0,2)，C(2,2)．设F(x,2)(0≤x≤2)，uuuruuur2x1，∴F(1,2)uuuruuur2,1)2,2)=2．由ABAF，AEgBF=((128．(2sin2,1cos2)【解析】如图过P作x轴的垂线，垂足为E，过C作y轴的垂线，垂足为A，依照题意可知圆转动了2个单位的弧长，BACED∴PCD2，可知PCB2，此时点P的坐标为2xP2cos(2)2sin2,yP1sin(2)1cos2,22另解1：依照题意可知转动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为x2cos，y1sin3x2cos(32)2sin2且PCD2,2，则点P的坐标为2，32y12)1cos2sin(2即OP(2sin2,1cos2).1uuur1uuuruuuruuur2uuuruuur29．【解析】依照已知得AD(ABAC)，BE3ACAB，4uuuruuur22uuuruuur1uuuruuuruuuvuuuv11(211因此ADBE2(ABAC)（ACAB）=23ABAC)4．3330．【解析】(1)∵mn，∴mn0，故220，∴tanx=1．sinx2cosx2mn2sinx2cosx1，（2）∵m与n的夹角为，∴cosm,n21123|m||n|2故sin(x)1，又x(0,)，∴x4(,)，x46，即x=5．4224412故x的值为5．1231．【解析】（Ⅰ）已知f(x)abmsin2xncos2x，f(x)过点(,3),(2,2)，∴f()msin6ncos3123126f(2)msin4ncos423331m3n3m3∴22解得31n1222（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)3sin2xcos2x2sin(2x)6由题意知g(x)f(x)2sin(2x2)6设ygx的图象上吻合题意的最高点为(x0,2)由题意知x0211．因此x00，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入ygx得sin261，又∵0，因此6，因此gx2sin2x2cos2x2由2k2x2k,kZ，得2kxk,kz∴f(x)的单调增区间为[2k,k],kZ．1uuuruuurac32．【解析】（Ⅰ）∵cosB,b3,BABCcacosB2，33a2c2-b2c5，∵ac，∴解得a3,c2．且cosB2ac，∴ac6,a因此a3,c2．（Ⅱ）∵cosB1，∴sinB22，∵a3,b3,c2，33cosCa2b2-c27422ab，sinC，99∴cos(B-C)cosBcosCsinBsinC2323．27，故cos(B-C)2733．【解析】（1）ab＝(coscos,sinsin)，|ab|2＝(coscos)2(sinsin)2＝22(coscossinsin)2．因此，coscossinsin0，因此，ab．coscos0①，①2＋②2得：cos(1．（2）sin1②)sin2因此，＝2，＝2＋，33带入②得：sin(2＋)＋sin＝3cos＋1sin＝sin(＋)＝1，3223因此，＋＝．因此，＝5，＝．326634．【解析】由题意，抛物线E的焦点为F(0,p)，直线l1的方程为yk1xp．22由yk1xp2得x22pk1xp20．x22py设A，B两点的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1、x2是上述方程的两个实数根．从而xx22pk，y1y2k(x1x2)p2pk12p．11uuuur因此点M的坐标为(pk1,pk12p)，FM(pk1,pk12)．2同理可得点N的坐标为(pk2,pk22uuur(pk2,pk22)．p)，FNuuuuruuur2于是FMFNp2(k1k2k12k22)．由题设，有k1＋k2＝2，k1>0，k2>0，k1≠k2，因此0k1k2(k1k2)21．2uuuuruuur故FMFNp2(112)2p2．(2)【解析】由抛物线的定义得|FA|y1py2p，|FB|，22因此|AB|y1y222p，p2pk1从而圆M的半径r1pk12p．故圆M的方程为(xpk1)2(ypk12p)2(pk12p)2．2化简得x2y22pk1xp(2k121)y3p20．4同理可得圆N的方程为x2y22pk2xp(2k221)y3p20．4于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2k1)x(k22k12)y0．又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，则l的方程为x＋2y＝0.由于p>0，因此点M到直线l的距离2pk12k11|p[2(k11)27]d|2pk1p|p|2k148555故当k11时，d取最小值7p．485由题设，得7p＝75，解得p8．855故所求的抛物线E的方程为x216y．2(3sinx)2(sinx)24sin2x，35．【解析】（I）由ab2(cosx)2(sinx)21，及ab,得4sin2x1又x[0,],从而sinx1，因此x.226（II）f(x)ab3sinxcosxsin2x=311sin(2x1sin2xcos2x26).222当x[0.]sin2-）取最大值1.33262uuuruuur．【解析】（）由MA(2x,1y)，MB(2x,1y)，361uuuruuur(2x)2(2uuuuruuuruuur(x,y)(0,2)2y，MAMB2y)2，OM(OAOB)由已知得(2x)2(22y)2=2y2．化简得曲线C的方程：x24y．（2）假设存在点P(0,t)(t0)满足条件，则直线PA的方程是yt1xt，PB的方程2是y1txt．2曲线C在Q处的切线l的方程是yxxx2，它与y轴的交点为F(0,x2000)244由于2x02，因此1x01．2x0①当1t0时，1t11(2,2)，使得t12，存在x02．即l与直线PA22平行，故当1t0时不吻合题意．②t,时，t11x0,1t1x0，因此l与直线PA,PB必然订交．2222yt1xt分别联立方程组2x2，解得D,E的横坐标分别是yx0x024xDx024t