数学分析课程习题解答

习题 重积分的性质与计证明重积分的性质8不妨设g(x)0，M、m分别是fx在区域上的上确界、下确界由mg(x)f(x)g(x)Mg(x、性质1和性质3，可m

f

Mg(x)dV当

0，积分中值定理显然成立。当f(x)g(x)dVm M，g(x)dV

0，所以存在[mM]，使f(x)g(x)dV ，g(x)dV即f

g(x)dVf在有界闭区域上连续，由介值定理，存在，使得f()，所f(x)g(x)dV

f()g(x)dV根据二重积分的性质，比较下列积分的大小(xy)2dxdy(xy)3dxdy，其Dxy轴与直线 xy1所围的区域 解（1）因为在D上成

0xy1，所

(xy)2(xy)3，于(xy)2dxdy(xy)3dxdy （2）因为在D上成立xy3，所以lnxylnxy)]2，于D

D用重积分的性质估计下列重积分的值xy(xy)dxdy，其中D为闭矩形[0,10,1D

100100cosxcosD

，其中D为区域xy)||x||y|1011x2y2

，其中Ω为单位球{(xyz)|x2y2z21解（1）因为在D上成立0xy(xy)2，所0xy(xy)dxdy2D因为在D ，所100 2。 D100cosxcos因为在Ω上成

1 1x2y2z

1，所2 4。 1x2y2z 计算下列重积分(x33x2yy3dxdy，其中D为闭矩形[0,10,1Dxyex2y2dxdy，其中D为闭矩形[a,bcd]；D(xy3，其中Ω为长方体[1,2[1,2[1,2解（1）(x33x2yy3dxdy1dy1(x33x2yy3 D11yy3dy104xyex2y2dxdybxex2dxdyey2dy1eb2ea2ed2ec24 D((xy

1 2 1dx1

y

1dx1

y

y1)2(212121dx1ln1282 21x x x 在下列积分中改变累次积分的次序

dxf(x,

(ab)a 2ax sin

f(x,

(a0)dxf(x,y)dy 2

f(x,y)dx

f(x,y)dx 1xxdx fxyz)dz（改成先y方向x方向和z方向的 序积分 2

f(xyz)dz（xyz2 1 x2向的次序积分 解（1）adxaf(xy)dyadyyf(xy)dx0 f(x,a2a2

a2a2

f(x,y)dx0dy

f(x,y)dx

f(x,y)dx sin

arcsin

2arcsindxf(x,y)dy0dyarcsin

f(x,y)dx1dyarcsin

f(xy)dx 1dy2yf(xy)dx3dy3yf(xy)dx2dx3xf(x,y)dy 1xx

12dx f(x,y, 1dz1dx1xf(x,yz)dy1dzzdxzxf(x,yz)dy

注：也可写成0dzz

f(xyz)dy0dz0dxzxf(xyz)dyz2z2z2z2 dy 2f(x,y,z)dz0dzz f(x,y, x计算下列重积分2xy2dxdy，其中D为抛物y22px和直xpp0)所2D的区域2a2aD

(a0)D为圆心在(aa半径为a并且和标轴相切的圆周上较短的一段弧和坐标轴所围的区域exydxdy，其中D为区域{(xy)||x||y|1D(x2y2D

Dyx,yxa,yay3a(a0所围的区域 ，其 为摆线的一Dxa(tsint),ya(1cost)(0t2与x轴所围的区域 1(x2y2)y1xe dxdyD为直线yx,y1和x1所围 区域x2ydxdy，其D

D{(x,y)|x2y22x,1x2,0yxy2z3dxdydz，其中Ω为曲面zxy，平面yx,x1和z所围的区域(1xyz3Ω为平面x0,y0,z0和xyz所围成的四面体

，其中 为抛物面zx2y2与平zh(h0所围的区域x2y2z2

，其中 为球

x2y2z2R2(R0的公共部分（12）x2dxdydz，其中Ω为椭球体x2y2z

1p解（1）xy2dxdyp

py2dy2xdx

a c1p

1p5 2

8 2a2adxdy2a2a0D2 2

)a23exydxdy0exdx1xeydy1exdx

e1 De(x2y2)dxdy3adye

(x2y2 D3a(2ay2a2y1a3dy14a4aD

2a

y(dx

ydy 23 3

5a32 1(x2y2)

1 1(x2y2) dxdy

ydy1xe

y2

y 1yy21y(e D

x2xx2x1

2ydy 2xy2z3dxdydz

1dxx2dyxyz3 (1(1xy

0

1 1

1x0

(1xy1 1x 120

(1x 11111xdx1ln25 201 4 zdxdydzhzdzdxdyhz2dz1h3 zRR

z2dxdydzRz2dz

0R02z0

(2Rzz

)dz

Rz2

(R

z

)dz

59R5x2dxdydzax2dx

43x(1 ) 43 a 设平面薄片所占的区域是由直线xy2yx和x轴所围成，它的面密度为(x,y)x2y2，求这个薄片的质量。解设薄片的质量为m，m(x,y)dxdy1dy2y(x2y2 D1(84y4y28y3dy40 求抛物线y22pxp2与y22qx (p,q0)所围图形的面积联立两个抛物线方程解得xqp,y2

于是两抛物线所的面积S

q) y2

y p求四张平面x0,y0,x1,y1所围成的柱体被平面z02x3yz6截的的的体积解设D0x1,0y1，利用对称性， 于V(62x3y)dxdy651dx1ydy7 求柱y2z21x0,yx,z0所围的在第一卦限的设D是所围空间区域在xy平面的投影，D{(x,y)0xy,0y1}于 3V1y2dxdy 1y2dydxy1y2dy 3 D求旋转抛物面zx2y2三个坐标平面及平面xy1所围有界区设D是所围空间区域在xy平面的投影，D{(x,y)xy1,x0,y于V(x2y2dxdy2x2dxdy21x2dx1xdy1 fx在R上连续ab为常数。证 dxf(y)dyf(y)(by)dy y(ax

(axdy fx)dx(a fx)dx（a0 证（1）交换积分次序，则得 adxafy)dyafy)dyydxafy)(by)dy（2）交换积分次序，则得ay ay

(a

f(x)dx a0a

f x

(aa0a

f(x)dxfx在[0,1上连续，证11

yeyf(x)dx1(exex2f(x)dx01证交换积分次序，则得111

yeyf(x)dx

0f

xeydy

1(exex2f(x)dx0设D0,1[0,1]，证2 2D [sin(x2)cos(y2)]dxdy1sin(x2)dx1dy1cos(y2)dy1 D1sin(x2)dx1cos(y2)dy

2)cos(x2 2sinx ) 12x[0,1时，成立12

sin(x2)42 2D2设D0,1[0,1]，利用不等式122

cost1（|t|2）证cos(xy)2dxdy1D12

另一方面，由

cos(xy)2dxdyD[1(xy)4]dxdy111x4dx1y4dy49 2 所cos(xy)2dxdyD设D是由xy平面上的分段光滑简单闭曲线所围成的区域，D在xy轴上的投影长度分别为lx和ly，(是D内任意一点。证明

(x)(y)dxdylxlymDD

(x)(yD

lxyl224l22证（1）xyD

D

x

ylxlydxdylxlymDD（2）设DDab][cd]，且balx,dcly。(x)(y)dxdy(x)(y) xydxdyx

ydy 由于[ab]，于bxdx(x)dxb(x)dx1[(a)2(b)2]， 2同理可

2dydy1l2 2所l2l4(xy)dxdyxy4Db2利用重积分的性质和计算方法证明：设fx)在[a,b]上连续，b2由

f(f(x)dx2

a)af(x)]dx

f(x)f(y)dxdy

f2(x)f2(a由对称性

2f2(x)f2(y)dxdy f2 2bf2(x)dxbdy2(ba)bf2(x)dxa所

b2 b

f

a)[f(x)]afx在[a,b上连续，证ef(x)fy)dxdyba2证明一将区间[ab]n等分,并取i[xi1xi]，f(x)f(

(ba)2

f(

f()

dxdylim

e

i

i再利用不等式：当xi0（i1,2,n）时成

)(1

1)n2(ba)2

ef(i)

ef(i

(ba)2n n所

ef(x)fy)dxdyba)2证明二设Dab][ab，由对称性，ef(x)f(y)dxdyef(y)f(x)dxdy 于ef(x)f(y)dxdy1

(ba)2 2Ωx1x2,xn|0xi1i

，计算下列n重