南京市区九年级上期中考试数学试卷含答案解析

2022-2023江苏省南京市区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）A．ax2+bx+c=0B．x2﹣2x﹣1 C．x2+ =0 2．用配方法解方程x2﹣6x+7=0时，原方程应变形为（ ）A．（x﹣6）2=2 B．（x﹣6）2=16 C．（x﹣3）2=2 D．（x﹣3）2=163．关于x的方程x2+kx+k2=0（k≠0）的根的情况描述正确的是（ ）A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的数根三种4．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知底该市汽车拥有量为10万辆，设底至底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列方程得（ ）A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.95．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C（ ）A．点P B．点Q C．点R D．点M如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的长线于点D，则的度数是（ ）A．60°B．50°C．40°D．25°二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）方程x2+x=0的根是 ．一元二次方程x2+3x+1=0的两个根的和为 ，两个根的积为 ．1/20已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于 ．如图，已知BD是⊙O直径，点AC在上是 ．

，∠AOB=56°，则∠BDC的度数如图，若AB是⊙O的直径是的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为 ．如图经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD=150°，∠A=65°，∠D=60°，则 的数为 °．已知正六边形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为 ．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连DP，BP，则∠BPD可能为 度（写出一个即可）．如图，在平面直角坐标系中与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是 ．2/20如图，将绕点C旋转得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过图形（阴影部分）的面积为 ．（结果保留π）三、解答题（共10小题，满分88分）17．（15分）解方程：（1）x2+4x+4=0（2）（x﹣1）2=9x2（3）x（x+1）=3（x+1）18．（6分）一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积为24cm2，求两条直角边的长．19．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．对于任意的实数1，求出m的值及方程的另一个根．20．（7分）和CD上的两条弦，圆心O到它们的距离分别是OM和ON，如AB=CD，求证：OM=ON．21．（8分）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，∠A=105°，BD=CD．求∠DBC的度数；若的半径为3，求 的长．22．（8分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，BC经过圆心，∠B=25°，∠C=40°．相切；BC=a，AC=b的半径（用含ab的代数式表示）．3/2023．（8分）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？24．（10分）用一条长40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的矩形？能围成一个面积为101cm2的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．25．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点E，且l∥BC．平分∠BAC；作∠ABC的平分线BFAEBE=EF．26．（9分）在一次数学兴趣小组活动中，小明利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题，下面请你和小明一起进入探索之旅．问题情境：如图1，在△ABC中，∠A=30°，BC=2，则△ABC的外接圆的半径为 操作实践：如图2，在矩形ABCD中，请利用以上操作所获得的经验，在矩形ABCD作出一点P．点P满足：∠BPC=∠BEC，且PB=PC．（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹．）迁移应用：3，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B，坐标为过点B作AB⊥y轴，BC⊥x轴，垂足分别为A、C，若点P在线段AB上滑动（点P可以与点AB重合），发现使得∠OPC=45°的位置有两个，则m的取值范围为 ．4/202022-2023江苏省南京市区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）A．ax2+bx+c=0B．x2﹣2x﹣1 C．x2+ =0 D．（x﹣1）（x+2）=1【考点】一元二次方程的定义．未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）选项进行验证．【解答】解：A、a=0时是一元一次方程，故A错误；B、是多项式，故B错误；C、是分式方程，故CD、是一元二次方程，故D式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．用配方法解方程x2﹣6x+7=0时，原方程应变形为（ ）A．（x﹣6）2=2 B．（x﹣6）2=16 C．（x﹣3）2=2 D．（x﹣3）2=16【考点】解一元二次方程-配方法．一个完全平方式，右边化为一个常数．【解答】解：x2﹣6x+7=0，x2﹣6x=﹣7，x2﹣6x+9=﹣7+9，即（x﹣3）2=2，故选：C．把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．3．（•区期中）关于x的方程x2+kx+k2=0（k≠0）的根的情况描述正确的是（ ）A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．根据k数根三种5/20【考点】根的判别式．【分析】求出△的值，再根据根的判别式的值判断即可．【解答】解：△=k2﹣4k2=﹣3k2，∵k≠0，∴△＜0，∴k为任何实数，方程都没有实数根，即只有选项A正确；选项B、C、D都错误，故选A．【点评】本题考查了根的判别式的应用，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．4．（•衡阳）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入通家庭，抽样调查显示，截止底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知底该市汽车拥有量为10万辆，设底至底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列方程得（ ）A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．出方程即可．【解答】解：设底至底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9，故选：A．化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．5．（•河北）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆圆心是（ ）A．点P B．点Q C．点R D．点M【考点】垂径定理．作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q这条圆弧所在圆的圆心为Q点．【解答】解：连结BC，AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q故选B．6/20推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆弧．6．如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的长线于点D，则的度数是（ ）A．60°B．50°C．40°D．25°【考点】切线的性质；三角形的外接圆与外心．【分析】连接OC，根据切线性质得：∠OCD=90°，利用同圆的半径相等得：∠OCA=∠A=25°，则∠DOC=50°，则直角三角形两锐角互余得出∠D的度数．【解答】解：连接OC，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵OC=OA，∠A=25°，∴∠OCA=∠A=25°，∴∠DOC=∠A+∠OCA=25°+25°=50°，∴∠D=90°﹣50°=40°，故选C．连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．7/20二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．（•西藏模拟）方程x2+x=0的根是x1=0，x2=﹣1 ．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．方程左边分解得到x（x+1）=0，原方程转化为x=0或x+1=0，然后解一次方程即可．【解答】解：∵x（x+1）=0，∴x=0x+1=0，∴x1=0，x2=﹣1．故答案为x1=0，x2=﹣1．本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程，右边化为0，再把方程左边因式分法．一元二次方程x2+3x+1=0的两个根的和为﹣3 ，两个根的积为1 ．【考点】根与系数的关系．【分析】设方程的两根为m、n，根据根与系数的关系即可得出m+n=﹣3、mn=1，此题得解．【解答】解：设方程的两根为m、n，则有：m+n=﹣3，mn=1．故答案为：﹣3；1．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和为﹣、两根之积为是解题的关键．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于24πcm2 ．【考点】圆锥的计算．【专题】计算题．圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答解：它的侧面展开图的面= •2π•4•6=24π（cm2）．故答案为24πcm2．长，扇形的半径等于圆锥的母线长．10．（•丹阳市二模）如图，已知BD是⊙O直径，点AC在⊙O上，∠BDC的度数是28° ．

，∠AOB=56°，则【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．8/20【分析连接OC，先根据 = ，∠AOB=56°求出∠BOC的度数，再根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接OC，∵ = ，∠AOB=56°，∴∠BOC=∠AOB=56°，∴∠BDC= ∠BOC= ×56°=28°．故答案为：28°．本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．如图，若AB是⊙O的直径是的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为35° ．【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】连结AD，由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，再根据互余计算出∠A的度数，然后根据圆周角定理即可得到∠C的度数．【解答】解：连结AD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=55°，∴∠A=90°﹣55°=35°，∴∠BCD=∠A=35°．故答案为35°．9/20所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）的圆周角所对的弦是直径．如图经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD=150°，∠A=65°，∠D=60°，则 的数为40 °．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】计算题．连接OBOC于是得到 的度数为40°．【解答】解：连接OB、OC，如图，∵OA=OB，OC=OD，∴∠OBA=∠A=65°，∠OCD=∠D=60°，∴∠AOB=180°﹣2×65°=50°，∠COD=180°﹣2×60°=60°，∴∠BOC=∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD=150°﹣50°﹣60°=40°，∴的度数为40°．故答案为40．”是指同为优弧或劣弧．已知正六边形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为 ．【考点】正多边形和圆；三角形的内切圆与内心．【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB=60°，10/20∴OG=OA•sin60°=2× = ，∴半径为2的正六边形的内切圆的半径为 故答案为： ．【点评】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．14．（•吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连接OC，点P是半径OC上任一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为80 度（写出一个即可）．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB的度数，根据圆周角定理求出∠DOB的度数，得到∠DCB＜∠BPD＜∠DOB．【解答】解：连接OB、OD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，∴∠DCB=180°﹣130°=50°，由圆周角定理得，∠DOB=2∠DCB=100°，∴∠DCB＜∠BPD＜∠DOB，即50°＜∠BPD＜100°，∴∠BPD可能为80°，故答案为：80．关键．15．如图，在平面直角坐标系中与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是2 ．11/20【考点】切线的性质；两点间的距离公式．如图连接BMOM，AM，作MH⊥BC于H，先证明四边形OAMH理求出HB，在Rt△AOM中求出OM即可．解：如图连接BM、OM，AMMH⊥BC于H．∵⊙M与x轴相切于点A（8，0），∴AM⊥OA，OA=8，∴∠OAM=∠MH0=∠HOA=90°，∴四边形OAMH是矩形，∴AM=OH，∵MH⊥BC，∴HC=HB=6，∴OH=AM=10，在Rt△AOM中，OM= = =2 故答案为．添加辅助线，构造直角三角形．16．（•广东模拟）绕点C得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过图形（阴影部分）的面积为 ．（结果保留π）【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．12/20【专题】计算题．绕点C60°得到△A′B′C′，可见，阴影部分面积为扇形ACA′减扇形BCB′，分别计算两扇形面积，在计算其差即可．扇形【解答解：如图ACA′= = =6π；扇形扇形 S BCB= = = π扇形 则S阴=6π﹣ = ．解题的关键．三、解答题（共10小题，满分88分）17．（15分）解方程：（1）x2+4x+4=0（2）（x﹣1）2=9x2（3）x（x+1）=3（x+1）【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）把等号左边化为完全平方，然后开平方即可；首先两边同时开平方可得x﹣1=±3x，然后化为两个一元一次方程4x﹣1=0或﹣2x﹣1=0解即可；3（x+1）移到等号右边，然后分解因式可得【解答】解：（1）x2+4x+4=0．（x+2）2=0，解得：x1=x2=﹣2；（2）（x﹣1）2=9x2，x﹣1=±3x，4x﹣1=0或﹣2x﹣1=0，解得：x1= ，x2=﹣（3）x（x+1）=3（x+1），（x﹣3）（x+1）=0，x﹣3=0x+1=0，13/20解得：x1=3，x2=﹣1．令每个解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．18．（6分）一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积为24cm2，求两条直角边的长．【考点】一元二次方程的应用；勾股定理．【分析】设其中一条直角边长为未知数，表示出另一直角边长，根据面积为24列式求值即可．【解答】解：设其中一条直角边长为xcm，则另一直角边长为（14﹣x）cm，×x（14﹣x）=24，解得x1=6，x2=8，x1=6x2=8答：两条直角边的长分别为6，8．【点评】考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：直角三角形的面积=两直角边积的一半．19．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．对于任意的实数1，求出m的值及方程的另一个根．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=m2+8≥8，由此即可得出结论；（2）将x=1代入原方程可求出m的值，再将m根．【解答】解：（1）∵在方程x2﹣mx﹣2=0中，△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）=m2+8≥8，∴不论m为任意实数，原方程总有两个不相等的实数根．（2）将x=1解得：m=﹣1，∴原方程为x2+x﹣2=（x﹣1）（x+2）=0，解得：x1=1，x2=﹣2．答：m的值为﹣1，方程的另一个根为﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记当△＞0时方程有两个不相等的实数根是解题的关键．20．（7分武汉校级二模）和CD上的两条弦，圆心O别是OM和ON，如果AB=CD，求证：OM=ON．【考点】垂径定理．14/20【专题】证明题．连接OAOC，根据垂径定理求出CD=2CN，AB=2AM，求出CN=AM，根据HL证Rt△ONC≌Rt△OMA，根据全等三角形的性质推出即可．【解答】证明：如图，连接OC、OA，则OC=OA，∵圆心O到它们的距离分别是OM和ON，∴∠ONC=∠OMA=90°，CD=2CN，AB=2AM，∵AB=CD，∴CN=AM，在Rt△ONC和Rt△OMA中，，∴Rt△ONC≌Rt△OMA（HL），∴OM=ON．【点评】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度不大．21．（8分）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，∠A=105°，BD=CD．求∠DBC的度数；若的半径为3，求 的长．【考点】圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；弧长的计算．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠C的度数，然后根据等边对等角可得答案；（2）首先计算出∠BDC的度数，再根据圆周角定理可得∠BOC的度数，进而可得【解答】解：（1）∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠DCB+∠BAD=180°，∵∠A=105°，∴∠C=180°﹣105°=75°，∵BD=CD，∴∠DBC=∠C=75°；（2）连接BO、CO，

的长．15/20∵∠C=∠DBC=75°，∴∠BDC=30°，∴∠BOC=60°，故 的长l= =π．补．22．（8分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，BC经过圆心，∠B=25°，∠C=40°．相切；BC=a，AC=b的半径（用含ab的代数式表示）．【考点】切线的判定．【分析】（1）直接利用已知得出∠AOC+∠C=90°，进而利用切线的判定方法得出答案；（2）直接利用勾股定理得出⊙O的半径．【解答】（1）证明：如图所示：连结AO，∵AO=BO，∠B=25°，∴∠AOC=2∠B=50°，∵∠C=40°，∴∠AOC+∠C=90°，∴∠OAC=90°，即OA⊥AC，∵OA是半径，∴AC与⊙O相切；（2）解：设半径为，则Rt△OAC中，r2+b2=（a﹣r）2，解得：r= ．16/20【点评】此题主要考查了切线的判定，正确应用勾股定理是解题关键．23．（8分）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？【考点】黄金分割．【分析】设雕像的下部高为xm，则上部长为（2﹣x）m，然后根据题意列出方程求解即可．【解答】解：设雕像的下部高为xm，则题意得：= ，整理得：x2+2x﹣4=0，解得﹣1，x2=﹣ ﹣1（舍去答：雕像的下部高为 ﹣1【点评】本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大．24．（10分）（区期中）40cm75cm2101cm2的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．【考点】一元二次方程的应用．分别根据情况设出长方形的长，利用周长40解即可．如果有解则能够围成，如果无解则不能围成．【解答】解：设围成面积为75cm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得x（40÷2﹣x）=75整理，得x2﹣20x+75=0解方程，得x1=5，x2=15∵当长＞宽∴x=15即这个长方形的长为15cm，则它的宽为5cm．同理，设围成面积为101cm2的长方形的长为ycm，依题意，得y（40÷2﹣y）=101整理，得y2﹣20y+101=0∵△=b2﹣4ac=（﹣20）2﹣4×1×101=﹣4＜0∴此方程无解，故不能围成面积为101cm2的长方形．15cm5cm75cm240cm101cm2的长方形．出方程的解后要注意代入实际问题中判断是否符合题意，进行值的取舍．17/2025．（10分区期中）是△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点E，且l∥BC．平分∠BAC；作∠ABC的平分线BFAEBE=EF．【考点】切线的性质；三角形的外接圆与外心．【分析】（1）如图，连接OE，利用垂径定理、圆周角、弧、弦的关系证得结论；（2）欲证明BE=EF，只需推知∠EBF=∠EFB即可．【解答】证明：（1）连接OE．∵直线l与⊙O相切于E，∴OE⊥l．∵l∥BC，∴OE⊥BC，∴ = ，∴∠BAE=∠CAE．∴AE平