数列经典习题含详细解析

数列经典习题含详细解析数列经典习题含详细解析数列经典习题含详细解析数列经典习题含详细解析编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:1.在数列{}中，，则﹦．解析：由得，∴{}是等差数列，∴2.各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为．解析：由题设得，即．又，所以．故．3.一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则．解析：设该数列的公差为，则依题意有，得，又，∴．从而有．4.在等差数列中，若它的前n项和有最大值，则使取得最小正数的．解析：设等差数列的公差为，则由题设，由可知，且，故，，所以n﹦19．5.在数列中，a1=1，an+1=an+c(c为常数，)，且a1，a2，a5成公比不等于1的等比数列，设bn=，则数列的前n项和Sn＝．解析：∵an+1=an+c，a1=1，c为常数，∴an=1+(n-1)c．∴a2=1+c,a5=1+4c又a1，a2，a5成等比数列，∴(1+c)2=1+4c，解得c=0或c当c=0，an+1=an不合题意，舍去．∴c=2．故an=2n-1．∴．∴Sn=b1+b2+…+bn===．6.(2012·江西文，13)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，且对任意的n∈N＋都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.[答案]11[解析]本题考查了等比数列通项公式，求和公式等，设{an}公比为q，则an＋2＋an＋1－2an＝a1qn＋1＋a1qn－2a1qn－1＝0，所以q2＋q－2＝0，即q＝－2，q∴S5＝eq\f(1－－25,1－－2)＝11.7.在等比数列{an}中，已知对任意正整数n，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，则aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)等于________．[答案]eq\f(1,3)(4n－1)[解析]由a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，∴a1＝1，a2＝2，q＝2又∵{an}是等比数列∴{aeq\o\al(2,n)}也是等比数列，首项为1，公比为4∴aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝eq\f(1－4n,1－4)＝eq\f(1,3)(4n－1)．8．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)若数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn＋eq\f(5,4)}是等比数列．[解析](1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝eq\f(5,4).所以{bn}是以eq\f(5,4)为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝eq\f(5,4)·2n－1＝5·2n－3.(2)数列{bn}的前n项和Sn＝eq\f(\f(5,4)1－2n,1－2)＝5·2n－2－eq\f(5,4)，即Sn＋eq\f(5,4)＝5·2n－2，所以S1＋eq\f(5,4)＝eq\f(5,2)，eq\f(Sn＋1＋\f(5,4),Sn＋\f(5,4))＝eq\f(5·2n－1,5·2n－2)＝2，因此{Sn＋eq\f(5,4)}是以eq\f(5,2)为首项，公比为2的等比数列8.(文)在正项等比数列{an}中，若a2·a4·a6·a8·a10＝32，则log2a7－eq\f(1,2)log2a8＝()\f(1,8) \f(1,6)\f(1,4) \f(1,2)[答案]D[解析]∵a2·a4·a6·a8·a10＝32，∴a6＝2，∴log2a7－eq\f(1,2)log2a8＝log2eq\f(a7,\r(a8))＝log2eq\f(\r(a6a8),\r(a8))＝log2eq\r(a6)＝log2eq\r(2)＝eq\f(1,2).9.(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则logeq\f(1,3)(a5＋a7＋a9)的值是()A．－5B．－eq\f(1,5)C．5\f(1,5)[答案]A[分析]根据数列满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)．由对数的运算法则，得出an＋1与an的关系，判断数列的类型，再结合a2＋a4＋a6＝9得出a5＋a7＋a9的值．[解析]由log3an