人教版九年级数学下册解直角三角形课件

第二十八章锐角三角函数初中数学（人教版）九年级下册第二十八章锐角三角函数初中数学（人教版）1知识点一

解直角三角形1.解直角三角形的定义与边角关系知识点一

解直角三角形1.解直角三角形的定义与边角关系22.解直角三角形的类型在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.已知条件解法两直角边由tanA=

,求∠A;∠B=90°-∠A;c=

斜边、一直角边(如c,a)由sinA=

,求∠A;∠B=90°-∠A;b=

一锐角与邻边(如∠A,b)∠B=90°-∠A;a=b·tanA;c=

一锐角与对边(如∠A,a)∠B=90°-∠A;b=

;c=

斜边与一锐角(如c,∠A)∠B=90°-∠A;a=c·sinA;b=c·cosA2.解直角三角形的类型已知条件解法两直角边由tanA= ,33.解直角三角形的思路可概括为“有斜(斜边)用弦(正弦、余弦),无斜用切

(正切),宁乘勿除,取原避中”.其意指:在已知或求解中,有斜边时,可用正弦

或余弦,无斜边时,就用正切,既可用乘法又可用除法时,用乘法不用除法,既

可用原始数据又可用中间数据时,用原始数据,忌用中间数据.3.解直角三角形的思路可概括为“有斜(斜边)用弦(正弦、余弦4例1

(2016内蒙古包头中考)如图28-2-1-1,已知四边形ABCD中,∠ABC=90

°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A=60°,求BC的长;(2)若sinA=

,求AD的长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)

图28-2-1-1例1

(2016内蒙古包头中考)如图28-2-1-1,5解析(1)∵∠A=60°,∠ABE=90°,AB=6,tanA=

,∴∠E=30°,BE=tan60°·6=6

,又∵∠CDE=90°,CD=4,sinE=

,∴CE=

=8,∴BC=BE-CE=6

-8.(2)∵∠ABE=90°,∴sinA=

=

,∴可设BE=4x(x>0),则AE=5x,∴AB=3x,∴3x=6,得x=2,∴BE=8,AE=10,∴tanE=

=

=

=

,∴DE=

,∴AD=AE-DE=10-

=

,即AD的长是

.解析(1)∵∠A=60°,∠ABE=90°,AB=6,ta6知识点二

解直角三角形在几何图形中的应用

一般三角形问题通过作高把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形求解平行四边形与梯形问题通过作高把平行四边形或梯形转化为含有直角三角形的图形求解矩形、菱形与正方形问题通过连接对角线把矩形、菱形或正方形转化为含有直角三角形的图形求解知识点二

解直角三角形在几何图形中的应用 一般三角通过7例2

(2019安徽合肥包河期末)如图28-2-1-2,在四边形ABCD中,∠ADC=90

°,∠A=45°,AB=

,BD=3.(1)求sin∠ADB的值;(2)若DC=3,求BC的长.

图28-2-1-2例2

(2019安徽合肥包河期末)如图28-2-1-28解析(1)如图28-2-1-3,过点B作BE⊥AD于点E,在Rt△ABE中,∵∠A=45°,AB=

,∴AE=BE=1.在Rt△BDE中,sin∠ADB=

=

.(2)如图28-2-1-3,过点B作BF⊥DC于点F,则∠BFD=∠BED=∠ADC=90°,∴四边形BEDF是矩形,∴DF=BE=1,BF=DE=

=

=2

,∵DC=3,∴FC=2,则BC=

=

=2

.

图28-2-1-3解析(1)如图28-2-1-3,过点B作BE⊥AD于点E,9例1

(2018四川自贡中考)如图28-2-1-4,在△ABC中,BC=12,tanA=

,∠B=30°.求AC和AB的长.

图28-2-1-4题型一

解一般三角形例1

(2018四川自贡中考)如图28-2-1-4,在10解析如图28-2-1-5所示,过点C作CD⊥AB,交AB于点D,

图28-2-1-5在Rt△BCD中,∵∠B=30°,BC=12,∴sinB=

=

=sin30°=

,cosB=

=

=cos30°=

,∴CD=6,BD=6

.在Rt△ACD中,∵tanA=

,CD=6,∴tanA=

=

=

,∴AD=8,∴AC=

=

=10,解析如图28-2-1-5所示,过点C作CD⊥AB,交AB于11AB=AD+BD=8+6

.综上所述,AC的长为10,AB的长为8+6

.方法归纳对于非直角三角形的问题,通常通过构造直角三角形来解决,但

在作高时,通常要把题目中已知的特殊角(30°角,45°角或60°角)放在直角三

角形中,利用特殊角的三角函数值求解.AB=AD+BD=8+6 .方法归纳对于非直角三角形的问题12例2如图28-2-1-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在边BC上,AD=BD=5,sin∠

ADC=

.(1)求AB的长;(2)求cos∠BAD的值.

图28-2-1-6题型二

解“双直角三角形”例2如图28-2-1-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,13解析

(1)在Rt△ADC中,∵∠C=90°,sin∠ADC=

=

,AD=5,∴AC=4.由勾股定理得CD=

=3,∴BC=CD+DB=3+5=8,在Rt△ABC中,∠C=90°,由勾股定理得AB=

=

=4

.(2)∵AD=BD,∴∠BAD=∠ABD.∴cos∠BAD=cos∠ABD=

=

=

.解析

(1)在Rt△ADC中,∵∠C=90°,sin∠14知识点一

解直角三角形1.(2019江苏淮安模拟)在△ABC中,∠C=90°,BC=4,sinA=

,则边AC的长是

()A.2

B.6

C.

D.2

答案

A在△ABC中,∵∠C=90°,BC=4,sinA=

,∴AB=

=6,根据勾股定理,得AC=

=

=2

.故选A.知识点一

解直角三角形1.(2019江苏淮安模拟)在△152.(2019四川自贡模拟)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=10,sinA=

,则斜边上的高等于

()A.5

B.4.8

C.4.6

D.4答案

B如图所示,作CD⊥AB,交AB于点D,CD即为斜边上的高,在Rt△

ABC中,∵∠ACB=90°,AB=10,sinA=

,∴sinA=

=

=

,∴BC=6,根据勾股定理得AC=

=8,∵S△ABC=

AC·BC=

CD·AB,∴CD=

=

=4.8.故选B.

2.(2019四川自贡模拟)在Rt△ABC中,∠C=90°,163.(2017山东济南天桥一模)如图28-2-1-1,△ABC中,∠ACB=90°,若CD⊥AB

于D,且BD=4,AD=9,则tanA=

.

图28-2-1-1答案

3.(2017山东济南天桥一模)如图28-2-1-1,△AB17解析∵∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠A=90°,∴∠BCD=∠A,又∵∠BDC=∠CDA=90°,∴△BDC∽△CDA,∴

=

,∴CD2=BD·AD,∴CD=6,∴tanA=

=

=

.解析∵∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠A=90°,184.(2019陕西榆林期末)如图28-2-1-2,在△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的中

线,且AC=4,AD=4

.求∠ADB的度数.

图28-2-1-24.(2019陕西榆林期末)如图28-2-1-2,在△ABC19解析在Rt△ACD中,∵∠C=90°,AC=4,AD=4

,∴sin∠ADC=

=

=

,又易知∠ADC为锐角,∴∠ADC=45°,∴∠ADB=180°-45°=135°.解析在Rt△ACD中,∵∠C=90°,AC=4,AD=4 205.(2018黑龙江大庆龙凤月考)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边

分别为a,b,c.根据下列条件解直角三角形.(1)已知a=5,∠B=60°;(2)已知a=5

,b=5

.解析(1)∵∠C=90°,∠B=60°,∴∠A=30°,∵cosB=cos60°=

=

,a=5,∴c=10,∴b=

=

=5

.(2)由∠C=90°,a=5

,b=5

,可得c=

=10

,∵tanA=

=

=

,∠A为锐角,∴∠A=30°,∴∠B=60°.5.(2018黑龙江大庆龙凤月考)在Rt△ABC中,∠C=9216.(2019山东临沂沂南一模)如图28-2-1-3,▱ABCD的对角线AC与BD相交于

点O,AB⊥AC.若AB=8,tan∠ACB=

,则BD的长是

.

图28-2-1-3知识点二

解直角三角形在几何图形中的应用答案20解析∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∴BO=DO,AO=CO,∵AB

⊥AC,AB=8,tan∠ACB=

=

,∴AC=

AB=12,∴OA=6,∴BO=

=10,∴BD=2BO=20.6.(2019山东临沂沂南一模)如图28-2-1-3,▱AB227.(2017江苏扬州江都一模)如图28-2-1-4,在正方形ABCD中,点E为AD的中

点,连接EC,过点E作EF⊥EC,交AB于点F,则tan∠ECF=

.

图28-2-1-4答案

7.(2017江苏扬州江都一模)如图28-2-1-4,在正方23解析∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠A=∠D=90°,∵AE=ED,∴CD=AD=2AE,∵∠FEC=90°,∴∠AEF+∠DEC=90°,∵∠DEC+∠DCE=90°,∴∠AEF=∠DCE,∵∠A=∠D,∴△AEF∽△DCE,∴

=

=

,∴tan∠ECF=

=

.解析∵四边形ABCD是正方形,248.(2017北京昌平二模)如图28-2-1-5,在平行四边形ABCD中,点E为BC的中

点,AE与对角线BD交于点F.(1)求证:DF=2BF;(2)当∠AFB=90°且tan∠ABD=

时,若CD=

,求AD的长.

图28-2-1-58.(2017北京昌平二模)如图28-2-1-5,在平行四边25解析(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,AB=CD,∵点E为BC的中点,∴BE=

BC=

AD.∵AD∥BC,∴△BEF∽△DAF,∴

=

=

,∴DF=2BF.(2)∵CD=

,∴AB=CD=

.∵在Rt△ABF中,∠AFB=90°,∴tan∠ABD=

=

,∴设AF=x(x>0),则BF=2x,∴AB=

=

x=

,解析(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,26∴x=1,∴AF=1,BF=2.∵DF=2BF,∴DF=4,∴AD=

=

.∴x=1,∴AF=1,BF=2.279.(2018北京东城期末)如图28-2-1-6,在△ABC中,∠B=135°,AB=2

,BC=1.(1)求△ABC的面积;(2)求AC的长.

图28-2-1-69.(2018北京东城期末)如图28-2-1-6,在△ABC28解析(1)过点A作AD⊥BC,交CB的延长线于点D,∵∠ABC=135°,∴∠ABD=45°.在Rt△ABD中,∵AB=2

,∠ABD=45°,∴AD=AB·sin45°=2,∴△ABC的面积=

BC·AD=1.(2)∵∠ABD=45°,∠D=90°,∴△ABD是等腰直角三角形.∵AD=2,∴DB=2,∴DC=DB+BC=2+1=3.在Rt△ACD中,AC=

=

.解析(1)过点A作AD⊥BC,交CB的延长线于点D,291.(2018山东潍坊安丘模拟)如图,在平面直角坐标系中,AB垂直于y轴,垂足

为A,CD垂直于y轴,垂足为D,且点D的坐标为(0,-1),sinB=

,则点C的坐标为

()

A.(-1,-3)

B.(-3,-1)C.(-2

,-1)

D.(-1,-2

)1.(2018山东潍坊安丘模拟)如图,在平面直角坐标系中,A30答案

C∵AB⊥y轴,CD⊥y轴,∴AB∥CD,∴∠B=∠C.∵点D的坐标为(0,

-1),∴OD=1.∵sinB=

,∴sinC=

=

,∴OC=3,∴CD=

=2

,∴点C的坐标为(-2

,-1).故选C.答案

C∵AB⊥y轴,CD⊥y轴,∴AB∥CD,∴∠312.(2018重庆渝中月考)如图,已知D是AB上一点,CD⊥AC于C,AD∶DB=2∶

3,sin∠DCB=

,AC=10,则BC的长为

()

A.15

B.20

C.5

D.252.(2018重庆渝中月考)如图,已知D是AB上一点,CD⊥32答案

D如图,作DE∥AC交BC于E.∵DE∥AC,∴△BED∽△BCA,∠

CDE=∠ACD=90°,∴

=

=

=

,∵AC=10,∴DE=6,∵sin∠DCB=

=

,∴EC=10.∵

=

,∴BE=15,∴BC=EC+BE=10+15=25.故选D.

答案

D如图,作DE∥AC交BC于E.∵DE∥AC,333.(2019浙江杭州拱墅模拟)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=6,

D是BC上一点,若tan∠DAB=

,则AD的长为

()

A.2

B.

C.2

D.83.(2019浙江杭州拱墅模拟)如图,在等腰直角三角形ABC34答案

C如图,过点D作DE⊥AB于点E,∵等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=6,∴BC=6,∠B=45°,∴AB=6

,∵DE⊥AB,∴∠EDB=∠B=45°,∴DE=BE.∵tan∠DAB=

=

,∴AE=5DE.∴AB=AE+BE=5DE+DE=6DE=6

,∴DE=

,∴AE=5

,∴AD=

=2

.故选C.

答案

C如图,过点D作DE⊥AB于点E,∵等腰直角三354.(2019四川成都金牛模拟)如图,矩形ABCD中,AB=5,BC=7,点E是对角线

AC上的动点,EH⊥AD,垂足为H,以EH为边作正方形EFGH,连接AF,则∠

AFE的正弦值为

.

答案

4.(2019四川成都金牛模拟)如图,矩形ABCD中,AB=36解析易知EH∥CD,∴△AEH∽△ACD.∴

=

=

.设EH=5x(x>0),则AH=7x,∴HG=GF=5x,∴AG=AH+HG=12x,∴AF=

=13x,∵EF∥HG,∴∠AFE=∠DAF.∴sin∠AFE=sin∠DAF=

=

.解析易知EH∥CD,∴△AEH∽△ACD.∴ = = .设375.(2018河南驻马店确山一模)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=3,

BC=2,tanA=

,则CD=

.

答案

5.(2018河南驻马店确山一模)如图,在四边形ABCD中,38解析如图,延长AD,与BC的延长线交于点E.∵在直角△ABE中,tanA=

=

,AB=3,∴BE=4,∴EC=BE-BC=4-2=2,∵在△ABE和△CDE中,∠B=∠EDC=90°,∠E=∠E,∴∠DCE=∠A,∴在直角△CDE中,tan∠DCE=tanA=

=

,∴设DE=4x,DC=3x(x>0),在直角△CDE中,EC2=DE2+DC2,∴4=16x2+9x2,解得x=

(舍负),则CD=

.

解析如图,延长AD,与BC的延长线交于点E.∵在直角△AB391.(独家原创试题)如图28-2-1-7,在菱形ABCD中,AB=5,tanB=

,过点A作AE⊥BC于点E,现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置,AF与CD交于点G,

则△CFG的面积为

()

图28-2-1-7A.

B.

C.

D.

人教版九年级数学下册解直角三角形课件40答案

B∵四边形ABCD为菱形,∴BC=AB=5.在Rt△ABE中,∵tanB=

,∴

=

.设AE=3x(x>0),则BE=4x,∵AB2=AE2+BE2,即52=(3x)2+(4x)2,解得x=1(舍负),∴BE=4,AE=3.由折叠的性质可知BF=2BE=8,∴CF=BF-BC=8-5=3.

∵CD∥AB,∴△CFG∽△BFA,∴

=

=

,∵S△BFA=

BF·AE=

×8×3=12,∴

=

,∴S△CFG=

.故选B.答案

B∵四边形ABCD为菱形,∴BC=AB=5.在412.(2018陕西中考)如图28-2-1-8,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD

⊥BC,垂足为D,∠ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为

()

图28-2-1-8A.

B.2

C.

D.3

2.(2018陕西中考)如图28-2-1-8,在△ABC中,42答案

C在Rt△ADC中,因为∠C=45°,AC=8,所以AD=AC·sin45°=4

,在Rt△ABD中,因为∠ABD=60°,所以BD=

=

=

,由BE平分∠ABC可得∠DBE=30°,则DE=BD·tan30°=

×

=

,所以AE=AD-ED=4

-

=

.故选C.答案

C在Rt△ADC中,因为∠C=45°,AC=8433.如图28-2-1-9,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点,DE⊥AB于

点E,则tan∠BDE的值等于

()

图28-2-1-9A.

B.

C.

D.

3.如图28-2-1-9,在△ABC中,AB=AC=13,B44答案

C如图,连接AD,∵在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,D为BC的中点,

∴AD⊥BC,BD=

BC=5,∴AD=

=12,∴tan∠BAD=

=

.∵AD⊥BC,DE⊥AB,∴∠BDE+∠ADE=90°,∠BAD+∠ADE=90°,∴∠BDE=∠

BAD,∴tan∠BDE=tan∠BAD=

.故选C.答案

C如图,连接AD,∵在△ABC中,AB=AC=454.(2019广东深圳龙岗二模)如图28-2-1-10,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC

=5,将△ABC折叠,使点B落在AC边上的点D处,EF为折痕,若BE=3,则sin∠

CFD的值为

.

图28-2-1-10答案

4.(2019广东深圳龙岗二模)如图28-2-1-10,在△46解析∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=5,∴∠B=∠C,∵BE=3,AB=5,∴AE=2.∵将△ABC折叠,使点B落在AC边上的

点D处,∴△BEF≌△DEF,∴BE=DE=3,∠B=∠EDF=∠C.∵∠ADE+∠EDF=∠C+∠DFC,∴∠ADE=∠DFC,∴sin∠CFD=sin∠ADE=

=

.解析∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=5,475.(2018黑龙江哈尔滨松北期末)如图28-2-1-11,在△ABC中,AB=AC,BD⊥

AC于D,BE平分∠ABD交AC于E,sinA=

,BC=2

,则AE=

.

图28-2-1-11答案55.(2018黑龙江哈尔滨松北期末)如图28-2-1-11,48解析∵BD⊥AC于D,∴∠ADB=∠CDB=90°.∵sinA=

=

,∴设BD=3x(x>0),AB=5x,∴AD=

=4x.∵AB=AC,∴AC=5x,∴CD=x.∵BD2+CD2=BC2,∴(3x)2+x2=(2

)2,∴x=2(负值舍去),∴AD=8.如图,过E作EF⊥AB于F,则∠AFE=90°,设AE=m,则DE=8-m,∵BE平分∠ABD,∴EF=DE=8-m,∵

sinA=

=

,∴

=

,解得m=5(经检验,符合题意),∴AE=5.

解析∵BD⊥AC于D,∴∠ADB=∠CDB=90°.∵si491.一副三角板按图(1)所示的位置摆放.将△DEF绕点A(F)逆时针旋转60°后

(示意图如图(2)),测得CG=10cm,则两个三角形重叠(阴影)部分的面积为

()

A.75cm2

B.(25+25

)cm2C.

cm2

D.

cm2

A.75cm2

B.(25+25 )cm250答案

C如图,过G点作GH⊥AC于H,由题意得,∠GAC=60°,∠GCA=45°,

∵GC=10cm,∴在Rt△GCH中,GH=CH=

GC=5

cm,在Rt△AGH中,AH=

=

cm,∴AC=CH+AH=

cm,∴两个三角形重叠(阴影)部分的面积为

·GH·AC=

×5

×

=

cm2.故选C.

答案

C如图,过G点作GH⊥AC于H,由题意得,∠G512.(2019江苏无锡锡山模拟)在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,0),点B是y

轴正半轴上的一点,点C是第一象限内一点,且AC=2,设tan∠BOC=m,则m的

最小值是

()A.1

B.

C.

D.

2.(2019江苏无锡锡山模拟)在平面直角坐标系中,点A的坐52答案

B易知点C在以点A为圆心,以2为半径的圆上,只有当OC与圆A相

切时,∠BOC最小,即tan∠BOC最小,如图,∵AC=2,OA=3,∴由勾股定理得

OC=

.∵∠BOA=∠ACO=90°,∴∠BOC+∠AOC=90°,∠CAO+∠AOC=90°,∴∠BOC=∠OAC,∴tan∠BOC=tan∠OAC=

=

,∴m的最小值是

.故选B.

答案

B易知点C在以点A为圆心,以2为半径的圆上,只533.(2018安徽合肥蜀山期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,D为AB上一

点,且AD∶DB=1∶3,DE⊥AC于点E,连接BE,则tan∠CBE的值等于

()

A.

B.

C.

D.

3.(2018安徽合肥蜀山期末)如图,在△ABC中,∠C=954答案

C设AB=4a(a>0),∵在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴BC=2a,AC=2

a,∵D为AB上一点,且AD∶DB=1∶3,∴AD∶AB=1∶4.∵DE⊥AC,∴∠AED=90°,∴∠AED=∠C,又∠A=∠A,∴△AED∽△ACB,∴

=

,∴

=

,∴AE=

×2

a=

a,∴EC=AC-AE=2

a-

=

,∴tan∠CBE=

=

=

.故选C.答案

C设AB=4a(a>0),∵在△ABC中,∠C554.在正方形ABCD中,N是DC的中点,M是AD上异于D的点,且∠NMB=∠

MBC,则tan∠ABM=

.

答案

4.在正方形ABCD中,N是DC的中点,M是AD上异于D的点56解析如图,延长MN交BC的延长线于T,设MB的中点为O,连接TO,则OT⊥

BM,∵∠ABM+∠MBT=90°,∠OTB+∠MBT=90°,∴∠ABM=∠OTB,又∠A=

∠BOT=90°,∴△BAM∽△TOB,∴

=

,即

=

,即MB2=2AM·BT

①.∵AD∥BC,N为DC的中点,∴MD=CT.令DN=1,CT=MD=k,则AM=2-k,BM

=

,BT=2+k,代入①中,得4+(2-k)2=2(2-k)(2+k),解方程,得k1=0(舍去),k2=

.∴AM=2-

=

.∴tan∠ABM=

=

=

.

解析如图,延长MN交BC的延长线于T,设MB的中点为O,连575.(2019浙江台州天台期末)如图,△ABC中,AB=AC=2

,tanB=3,点D为边AB上一动点,在直线DC上方作∠EDC=∠ECD=∠B,得到△EDC,则CE的最

小值为

.

答案65.(2019浙江台州天台期末)如图,△ABC中,AB=AC58解析如图,作AM⊥BC于M,CN⊥AB于N.∵AB=AC,AM⊥BC,∴BM=MC,∠

B=∠ACB,∴tanB=

=3,设AM=3k,BM=k(k>0).在Rt△ABM中,40=9k2+k2,∴k2=4,∵k>0,∴k=2,∴BM=CM=2,∴BC=4,∵CN⊥AB,∴∠CNB=90°,∴tan

B=

=3.设BN=m,CN=3m(m>0),则有10m2=16,∵m>0,∴m=

,∴CN=

,∵∠EDC=∠ECD=∠B=∠ACB,∴△EDC∽△ABC,∴

=

,∴

=

=

,∴DC=

EC,∴DC最小时,EC最小,∵当CD与CN重合时,CD最小,此时CD=CN=

,∴EC的最小值=

÷

=6.

解析如图,作AM⊥BC于M,CN⊥AB于N.∵AB=AC,596.(2019黑龙江哈尔滨南岗月考)如图,在△ABC中,AB=2

,BC=3,tan∠ABC=2,在以AC为腰的等腰△ADC中,AC=AD,且tan∠ADC=

,连接BD,则BD的长为

.

答案

6.(2019黑龙江哈尔滨南岗月考)如图,在△ABC中,AB60解析如图,作AE⊥BC于E,AH⊥CD于H,∵AB=2

,tan∠ABC=2,∴tan∠ABC=

=2,∴AE=2BE,∵AB2=AE2+BE2,即(2

)2=5BE2,∴BE=2,∴AE=4,EC=BC-BE=3-2=1,∴AC=

=

,∵AC=AD,∴AD=

,易知DH=HC=

DC,∵tan∠ADC=

,∴tan∠ADC=

=

,∴DH=2AH,∵AD2=AH2+DH2,即17=5AH2,∴AH=

,∴DC=4AH=

.作∠PAB=∠DCB,∠PBA=∠DBC,作PG⊥BD,交BD于点G,∴△PAB∽△DCB,∴

=

=

,∴

=

,∴PA=

,∵tan∠ABC=2,tan∠ADC=

,∴利用科学计算器计算可得∠ABC+∠ADC=90°,∴∠BCD+∠BAD=270°,∴∠PAB+∠BAD=270

°,∴∠PAD=360°-270°=90°,∴PD=

=

,∵∠PBA=∠解析如图,作AE⊥BC于E,AH⊥CD于H,∵AB=2 ,61DBC,∴∠PBD=∠ABC,又

=

,∴△PBD∽△ABC,∴

=

,∴

=

,∴BD=

.

DBC,∴∠PBD=∠ABC,又 = ,∴△PBD∽△ABC62一、选择题1.(2019辽宁沈阳苏家屯一模,6,★☆☆)在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=8,sin

A=

,点D是AB中点,则CD的长为

()A.4

B.5

C.6

D.7人教版九年级数学下册解直角三角形课件63答案

B依照题意,画出图形,如图所示.∵sinA=

=

,∴可设BC=3x(x>0),则AB=5x,∴AC=

=4x,∴4x=8,∴x=2,∴AB=5x=10.∵在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AB=10,点D是AB中点,∴CD=

AB=5.故选B.

答案

B依照题意,画出图形,如图所示.∵sinA=642.(2018浙江温州乐清期中,6,★☆☆)图28-2-1-12是教学所用的直角三角

板,边AC=30cm,∠C=90°,tan∠BAC=

,则边BC的长为

()

图28-2-1-12A.30

cmB.20

cmC.10

cmD.5

cm答案

C∵直角△ABC中,∠C=90°,∴tan∠BAC=

,又∵AC=30cm,tan∠BAC=

,∴BC=AC·tan∠BAC=30×

=10

cm.故选C.2.(2018浙江温州乐清期中,6,★☆☆)图28-2-1-653.(2019北京西城期末,5,★☆☆)如图28-2-1-13,在△ABC中,AB=AC,AD⊥

BC于点D.若BC=24,cosB=

,则AD的长为

()

图28-2-1-13A.12

B.10

C.6

D.5答案

D∵在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,∴BD=

BC=12.在直角△ABD中,∵cosB=

=

,∴AB=13,∴AD=

=

=5.故选D.3.(2019北京西城期末,5,★☆☆)如图28-2-1-166二、填空题4.(2019浙江台州模拟,14,★☆☆)在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且sinA=

,tanB=

,AB=10,则△ABC的面积为

.答案

解析设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.∵在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,

sinA=

,tanB=

,∴∠A=30°,∠B=60°,∴∠C=90°,∵sinA=

=

,tanB=

=

,AB=c=10,∴a=

c=5,∴b=

a=5

,∴S△ABC=

ab=

×5×5

=

.二、填空题答案

  解析设∠A,∠B,∠C的对边67三、解答题5.(2018甘肃定西一模,22,★★☆)在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解

直角三角形.(1)a=8

,b=8

;(2)∠B=45°,c=14.三、解答题68解析(1)∵a=8

,b=8

,∠C=90°,∴c=

=

=16

,∵tanA=

=

=

,∠A为锐角,∴∠A=30°,∴∠B=60°.(2)∵∠B=45°,c=14,∠C=90°,∴∠A=45°,∴a=b,∵sinB=

,∴b=csinB=14×

=7

,∴a=b=7

.解析(1)∵a=8 ,b=8 ,∠C=90°,691.(2019湖北武汉武昌模拟,10,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,

AC=8,点D为边BC的中点,点M为边AB上的动点,点N为边AC上的动点,且∠

MDN=90°,则sin∠DMN为

()

A.

B.

C.

D.

人教版九年级数学下册解直角三角形课件70答案

A如图,连接AD,∵∠BAC=90°,AB=6,AC=8,∴BC=10.∵点D为边

BC的中点,∴DA=DC=5,∴∠1=∠C.∵∠MDN=90°,∠BAC=90°,∴点A、D

在以MN为直径的圆上,∴∠1=∠DMN,∴∠C=∠DMN.在Rt△ABC中,sinC

=

=

=

,∴sin∠DMN=

.故选A.

答案

A如图,连接AD,∵∠BAC=90°,AB=6712.(2017山东枣庄薛城期中,9,★★☆)如图,半径为3的☉A经过原点O和点C

(0,2),B是y轴左侧☉A优弧上的一点,则cos∠OBC=

()

A.

B.2

C.

D.

2.(2017山东枣庄薛城期中,9,★★☆)如图,半径为3的72答案

D设圆与x轴的另一个交点为D,连接CD,易知D,A,C三点在同一条

直线上,在Rt△OCD中,CD=6,OC=2,则OD=

=4

,则cos∠CDO=

=

=

,由圆周角定理得∠OBC=∠CDO,则cos∠OBC=

.故选D.答案

D设圆与x轴的另一个交点为D,连接CD,易知D733.(2018广东广州越秀模拟,13,★★☆)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,AB

的垂直平分线MN交AC于D,连接BD,若cos∠BDC=

,则BC的长为

.

3.(2018广东广州越秀模拟,13,★★☆)如图,△ABC74解析∵cos∠BDC=

=

,∴设DC=3xcm,BD=5xcm.∵MN是线段AB的垂直平分线,∴AD=DB=5xcm.∵AC=8cm,∴3x+5x=8,解得x=1.在Rt△BDC

中,∵CD=3cm,DB=5cm,∴BC=

=4cm.答案4cm解析∵cos∠BDC= = ,∴设DC=3xcm,BD=754.(2019四川内江模拟,24,★★☆)如图,△ABC中,AB=AC=4,∠C=72°,D是

AB的中点,点E在AC上,DE⊥AB,则cosA=

.

答案

4.(2019四川内江模拟,24,★★☆)如图,△ABC中,76解析∵在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,∴∠ABC=∠C=72°,∴∠A=180°-∠

C-∠ABC=36°.∵D是AB的中点,DE⊥AB,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=36°,∴

∠BEC=∠A+∠ABE=72°=∠C,∴BE=BC=AE.设BC=x(x>0),则CE=AC-AE=4

-x.∵∠ABC=∠BEC,∠C=∠C,∴△ABC∽△BEC,∴

=

,即

=

,解得x1=2

-2,x2=-2

-2(舍去),经检验,x=2

-2是原方程的解,且符合题意,∴cosA=

=

=

.解析∵在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,∴∠ABC=775.(2018广东佛山顺德期末,16,★★☆)如图,在Rt△ABD中,AB=6,tan∠ADB

=

,点C为斜边BD的中点,P为AD上任意一点,过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,则PE+PF=

.

答案

5.(2018广东佛山顺德期末,16,★★☆)如图,在Rt△78解析在Rt△ABD中,∵tan∠ADB=

=

,AB=6,∴AD=

×6=8,∴BD=

=10,∴sinD=

=

.∵点C为斜边BD的中点,∴AC=BC=CD,∴∠CAD=∠D.∵在Rt△APE中,sin∠EAP=

=

,∴PE=

AP.∵在Rt△DPF中,sinD=

=

,∴PF=

PD,∴PE+PF=

(AP+PD)=

AD=

×8=

.解析在Rt△ABD中,∵tan∠ADB= = ,AB=6,796.(2018吉林省实验中学一模,14,★★☆)已知在△ABC中,BC=6,AC=6

,∠A=30°,则AB的长是

.答案12或66.(2018吉林省实验中学一模,14,★★☆)已知在△AB80解析如图1,过点C作CD⊥AB于点D,∵∠A=30°,AC=6

,∴CD=

AC=3

,AD=AC·cos30°=6

×

=9,在Rt△CDB中,∵BC=6,CD=3

,∴BD=

=

=3,∴AB=AD+BD=9+3=12;如图2,同理可得,CD=

AC=3

,AD=AC·cos30°=6

×

=9,BD=3,∴AB=AD-BD=9-3=6.综上所述,AB的长为12或6.

解析如图1,过点C作CD⊥AB于点D,∵∠A=30°,AC81一、选择题1.(2019湖南湘西中考,18,★★☆)如图28-2-1-14,在△ABC中,∠C=90°,AC=

12,AB的垂直平分线EF交AC于点D,连接BD,若cos∠BDC=

,则BC的长是

()

图28-2-1-14A.10

B.8

C.4

D.2

人教版九年级数学下册解直角三角形课件82答案

D∵∠C=90°,cos∠BDC=

=

,∴设CD=5x,BD=7x(x>0),∴BC=2

x.∵AB的垂直平分线EF交AC于点D,∴AD=BD=7x,∴AC=12x.∵AC=12,∴x=1,∴BC=2

.故选D.答案

D∵∠C=90°,cos∠BDC= = ,∴设832.(2017贵州安顺中考,9,★★☆)如图28-2-1-15,☉O的直径AB=4,BC切☉O

于点B,OC平行于弦AD,OC=5,则AD的长为

()

图28-2-1-15A.

B.

C.

D.

2.(2017贵州安顺中考,9,★★☆)如图28-2-1-184答案

B连接BD.∵AB是直径,AB=4,∴∠ADB=90°,OB=2.∵OC∥AD,∴∠A=∠BOC,∴cosA=cos∠BOC.∵BC切☉O于点B,∴OB⊥BC,∴cos∠BOC=

=

,∴cosA=

,又∵cosA=

,AB=4,∴AD=

.故选B.

答案

B连接BD.∵AB是直径,AB=4,85二、填空题3.(2017广东广州中考,14,★☆☆)如图28-2-1-16,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1

5,tanA=

,则AB=

.

图28-2-1-16答案17解析在Rt△ABC中,∵tanA=

=

,BC=15,∴AC=8,∴AB=

=

=17.二、填空题答案17解析在Rt△ABC中,∵tanA= 864.(2019四川乐山中考,14,★★☆)如图28-2-1-17,在△ABC中,∠B=30°,AC=

2,cosC=

,则AB边的长为

.

图28-2-1-17答案

4.(2019四川乐山中考,14,★★☆)如图28-2-1-87解析如图,作AH⊥BC于H.在Rt△ACH中,∵∠AHC=90°,cosC=

,∴

=

,∵AC=2,∴CH=

,∴AH=

=

=

,在Rt△ABH中,∵∠AHB=90°,∠B=30°,∴AB=2AH=

.

解析如图,作AH⊥BC于H.在Rt△ACH中,∵∠AHC=88三、解答题5.(2017江苏扬州中考,24,★★☆)如图28-2-1-18,将△ABC沿着射线BC方向

平移至△A'B'C',使点A'落在∠ACB邻补角的平分线CD上,连接AA'.(1)判断四边形ACC'A'的形状,并说明理由;(2)在△ABC中,∠B=90°,AB=24,cos∠BAC=

,求CB'的长.

图28-2-1-18三、解答题89解析(1)四边形ACC'A'是菱形.理由如下:由平移的性质得AC∥A'C',且AC=A'C',则四边形ACC'A'是平行四边形.∴∠ACC'=∠AA'C',又∵CD平分∠ACB的邻补角,即CD平分∠ACC',∴CD也平分∠AA'C',∴四边形ACC'A'是菱形.(2)∵在△ABC中,∠B=90°,AB=24,cos∠BAC=

,∴cos∠BAC=

=

,即

=

,∴AC=26.由勾股定理得BC=

=

=10.又由(1)知,四边形ACC'A'是菱形,∴AA'=AC=26.由平移的性质得AB∥A'B',AB=A'B',则四边形ABB'A'是平行四边形,∴BB'=AA'=26,∴CB'=BB'-BC=26-10=16.解析(1)四边形ACC'A'是菱形.理由如下:901.(2019四川凉山州中考,9,★★☆)如图,在△ABC中,CA=CB=4,cosC=

,则sinB的值为

()

A.

B.

C.

D.

人教版九年级数学下册解直角三角形课件91答案

D如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D.在Rt△ACD中,∵CA=4,cosC=

=

,∴CD=1,∴AD=

=

.在Rt△ABD中,∵BD=CB-CD=3,AD=

,∴AB=

=2

,∴sinB=

=

.故选D.

答案

D如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D.在Rt△922.(2016福建福州中考,9,★★☆)如图,以O为圆心,1为半径的弧交坐标轴于

A,B两点,P是

上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是

()

A.(sinα,sinα)

B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα)

D.(sinα,cosα)2.(2016福建福州中考,9,★★☆)如图,以O为圆心,193答案

C过P作PQ⊥OB,交OB于点Q,

在Rt△OPQ中,∵OP=1,∠POQ=α,∴sinα=

,cosα=

,即PQ=sinα,OQ=cosα,∴点P的坐标为(cosα,sinα).故选C.答案

C过P作PQ⊥OB,交OB于点Q,943.(2019湖南长沙中考,12,★★☆)如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥

AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD+

BD的最小值是

()

A.2

B.4

C.5

D.103.(2019湖南长沙中考,12,★★☆)如图,△ABC中,95答案

B如图,作DH⊥AB于H,CM⊥AB于M.∵BE⊥AC,∴∠AEB=90°.∵

tanA=

=2,∴设AE=a,BE=2a(a>0),则有100=a2+4a2,∴a2=20,∴a=2

或a=-2

(舍),∴BE=2a=4

,由AB=AC,BE⊥AC,CM⊥AB,易得CM=BE=4

.∵∠DBH=∠ABE,∠BHD=∠BEA,∴sin∠DBH=

=

=

,∴DH=

BD,∴CD+

BD=CD+DH,∵CD+DH≥CM,∴CD+

BD≥4

,∴CD+

BD的最小值为4

.故选B.

答案

B如图,作DH⊥AB于H,CM⊥AB于M.∵B964.(2018黑龙江齐齐哈尔中考,16,★★☆)四边形ABCD中,BD是对角线,∠

ABC=90°,tan∠ABD=

,AB=20,BC=10,AD=13,则线段CD=

.答案17解析如图,作AH⊥BD于H,CG⊥BD于G,∵tan∠ABD=

,∴

=

,设AH=3x,BH=4x(x>0),由勾股定理得(3x)2+(4x)2=202,解得x=4(舍负),则AH=12,BH=

16,在Rt△AHD中,HD=

=5,∴BD=BH+HD=21.∵∠ABD+∠CBD=90°,∠BCG+∠CBD=90°,∴∠ABD=∠BCG,∴

=

,又BC=10,∴易得BG=6,CG=8,∴DG=BD-BG=15,∴CD=

=17.

4.(2018黑龙江齐齐哈尔中考,16,★★☆)四边形ABC975.(2017山西中考,15,★★☆)一副三角板按如图所示的方式摆放,得到△

ABD和△BCD,其中∠ADB=∠BCD=90°,∠A=60°,∠CBD=45°.E为AB的中

点,过点E作EF⊥CD于点F.若AD=4cm,则EF的长为

cm.

答案(

+

)5.(2017山西中考,15,★★☆)一副三角板按如图所示的98解析如图,连接DE,过点E作EM⊥BD于点M,设EF交BD于点N,∵AD=4

cm,∠A=60°,∴AB=8cm,DB=4

cm,∵点E为AB的中点,EM⊥BD,∴DE=

AB=4cm,EM=

AD=2cm,由等腰直角三角形的性质可知∠ENM=∠FND=45°,∴在Rt△ENM中,EN=

EM=2

cm,MN=EM=2cm,∴DN=DM-MN=

DB-MN=(2

-2)cm,在Rt△DFN中,FN=

DN=(

-

)cm,∴EF=EN+FN=2

+

-

=(

+

)cm.

解析如图,连接DE,过点E作EM⊥BD于点M,设EF交BD996.(2019四川绵阳中考,17,★★☆)在△ABC中,若∠B=45°,AB=10

,AC=5

,则△ABC的面积是

.答案75或25解析如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D.在Rt△ABD中,∵sinB=

,cosB=

,∠B=45°,AB=10

,∴AD=AB·sinB=10,BD=AB·cosB=10.在Rt△ACD中,∵AD=10,AC=5

,∴CD=

=5,∴BC=BD+CD=15或BC=BD-CD=5,∴S△ABC=

BC·AD=75或25.6.(2019四川绵阳中考,17,★★☆)在△ABC中,若∠1001.(独家原创试题)在三角形纸片ABC上按如图28-2-1-19所示的方式剪出一

个正方体的表面展开图(∠B=90°),直角三角形的两直角边与正方体展开图

左下角的小正方形的两邻边共线,斜边恰好经过两个正方形的顶点.已知小

正方形的边长为2cm,则纸片剩余部分的面积为

()

图28-2-1-19A.36cm2

B.40cm2C.48cm2

D.54cm2

C.48cm2

D.54cm2101答案

B如图,延长FE,交AB于D,由题意知,EG=2cm,DF=8cm,EF=4cm,

∴tan∠EFG=

=

.∴在Rt△ADF中,AD=DF·tan∠EFG=4(cm),∴AB=8(cm).∵DF∥BC,∴∠EFG=∠C,∵tan∠EFG=

,∴tanC=

=

,∵AB=8cm,∴BC=16(cm).∴剩余部分的面积为

×16×8-6×22=40(cm2).故选B.

答案

B如图,延长FE,交AB于D,由题意知,EG=1022.(独家原创试题)如图28-2-1-20,直线MN∥PQ,直线AB分别与MN,PQ相交

于点A,B.按以下步骤作图:①以点A为圆心,适当的长度为半径作弧交射线

AN于点C,交线段AB于点D;②以点C为圆心,适当的长度为半径画弧,然后

以点D为圆心,同样的长度为半径画弧,两弧在∠NAB内交于点E;③作射线

AE,交PQ于点F.若AF=4

,cos∠FAN=

,则线段BF的长为

.

图28-2-1-20答案42.(独家原创试题)如图28-2-1-20,直线MN∥PQ,103解析如图,过B作BG⊥AF于G,∵cos∠FAN=

,且易知∠FAN为锐角,∴∠FAN=30°.∵MN∥PQ,∴∠2=∠FAN=30°.由作图方法可知AF平分∠

NAB,∴∠1=∠FAN=30°,∴∠1=∠2=30°,∴AB=BF,又∵BG⊥AF,∴AG=GF

=

AF=2

,∴Rt△BFG中,BF=

=

=4.

解析如图,过B作BG⊥AF于G,∵cos∠FAN= ,且易1041.(2017贵州铜仁中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AB的中点,ED⊥

AB交AC于点E.设∠A=α,且tanα=

,则tan2α=

.

答案

答案

 105解析连接BE,∵点D是AB的中点,ED⊥AB,∠A=α,∴ED所在直线是线段AB的垂直平分线,∴EB=EA,∴∠EBA=∠A=α,

∴∠BEC=2α,设DE=a(a>0),∵tanα=

,∴AD=3a,∴AE=

a,AB=6a,∴BC=

,AC=

,解析连接BE,∵点D是AB的中点,ED⊥AB,∠A=α,106∴CE=

-

a=

,∴tan2α=

=

=

,故答案为

.∴CE= - a= ,1072.(2017浙江嘉兴中考)如图,把n个边长为1的正方形拼接成一排,求得tan∠

BA1C=1,tan∠BA2C=

,tan∠BA3C=

,计算tan∠BA4C=

,……,按此规律,写出tan∠BAnC=

(用含n的代数式表示).

答案

2.(2017浙江嘉兴中考)如图,把n个边长为1的正方形拼接108解析如图,作CH⊥BA4于H,由勾股定理得BA4=

=

,A4C=

,△BA4C的面积=

×1×1=

,∴

×

×CH=

,解得CH=

,则A4H=

=

,∴tan∠BA4C=

=

,∵1=12-1+1,3=22-2+1,7=32-3+1,∴tan∠BAnC=

.

解析如图,作CH⊥BA4于H,由勾股定理得BA4= = ,109第二十八章锐角三角函数初中数学（人教版）九年级下册第二十八章锐角三角函数初中数学（人教版）110知识点一

解直角三角形1.解直角三角形的定义与边角关系知识点一

解直角三角形1.解直角三角形的定义与边角关系1112.解直角三角形的类型在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.已知条件解法两直角边由tanA=

,求∠A;∠B=90°-∠A;c=

斜边、一直角边(如c,a)由sinA=

,求∠A;∠B=90°-∠A;b=

一锐角与邻边(如∠A,b)∠B=90°-∠A;a=b·tanA;c=

一锐角与对边(如∠A,a)∠B=90°-∠A;b=

;c=

斜边与一锐角(如c,∠A)∠B=90°-∠A;a=c·sinA;b=c·cosA2.解直角三角形的类型已知条件解法两直角边由tanA= ,1123.解直角三角形的思路可概括为“有斜(斜边)用弦(正弦、余弦),无斜用切

(正切),宁乘勿除,取原避中”.其意指:在已知或求解中,有斜边时,可用正弦

或余弦,无斜边时,就用正切,既可用乘法又可用除法时,用乘法不用除法,既

可用原始数据又可用中间数据时,用原始数据,忌用中间数据.3.解直角三角形的思路可概括为“有斜(斜边)用弦(正弦、余弦113例1

(2016内蒙古包头中考)如图28-2-1-1,已知四边形ABCD中,∠ABC=90

°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A=60°,求BC的长;(2)若sinA=

,求AD的长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)

图28-2-1-1例1

(2016内蒙古包头中考)如图28-2-1-1,114解析(1)∵∠A=60°,∠ABE=90°,AB=6,tanA=

,∴∠E=30°,BE=tan60°·6=6

,又∵∠CDE=90°,CD=4,sin