2019中考数学复习第二部分题型研究题型五几何探究题类型五类比拓展探究问题针对演练

2019-中考数学复习第二部分题型研究题型五几何研究题种类五类比拓展研究问题针对操练2019-中考数学复习第二部分题型研究题型五几何研究题种类五类比拓展研究问题针对操练7/72019-中考数学复习第二部分题型研究题型五几何研究题种类五类比拓展研究问题针对操练2019-2020年中考数学复习第二部分题型研究题型五几何研究题类型五类比拓展研究问题针对操练(2017绍兴)已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β.(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上：①假如∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝________°，β＝________°；②求α、β之间的关系式；(2)能否存在不一样样于以上②中的α、β之间的关系式？若存在，求出这个关系式一个即可)；若不存在，说明原因．

(求出第1题图(2017乐山)在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，对角线AC均分∠BAD.如图①，若∠BAD＝120°，且∠B＝90°，试一试究边AD、AB与对角线AC的数目关系并说明原因；如图②，若将(1)中的条件“∠B＝90°”去掉，(1)中的结论能否建立？请说明原因；如图③，若∠BAD＝90°，研究边AD、AB与对角线AC的数目关系并说明原因．第2题图(2017临沂)数学课上，张老师出示了问题：如图①，AC、BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°，则线段BC、CD、AC三者之间有何等量关系？经过思虑，小明展现了一种正确的思路：如图②，延长CB到E，使BE＝CD，连结AE，证得△ABE≌△ADC，进而简单证明△ACE是等边三角形，故AC＝CE，因此小亮展现了另一种正确的思路：如图③，将△ABC绕着点A逆时针旋转

AC＝BC＋CD.60°，使AB与AD重合，进而简单证明△

ACF是等边三角形，故

AC＝CF，因此

AC＝BC＋CD.第3题图在此基础上，同学们做了进一步的研究：(1)小颖提出：如图④，假如把“∠＝∠＝∠＝∠＝60°”改为“∠ACBACBACDABDADB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝45°”，其余条件不变，那么线段BC、CD、AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明；小华提出：如图⑤，假如把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改为“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝α”，其余条件不变，那么线段BC、CD、AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．第3题图4.(2017

衢州)问题背景如图①，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，依据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，进而获得四边形EFGH是正方形．类比研究如图②，在正△ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两订交于D，E，F三点(D，E，F三点不重合)．△ABD，△BCE，△CAF能否全等？假如是，请选择此中一对进行证明；△DEF能否为正三角形？请说明原因；进一步研究发现，△ABD的三边存在必定的等量关系，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请研究a，b，c知足的等量关系．第4题图(2017岳阳)问题背景：已知∠EDF的极点D在△ABC的边AB所在直线上(不与A，B重合)．DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2.初步试一试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB＝6，∠EDF＝∠A，且DE∥BC，AD2时，则S1·S2＝________；类比研究：在(1)的条件下，先将点D沿AB平移，使AD＝4，再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示地点，求S1·S2的值；(3)延长拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B＝∠A＝∠EDF＝α.(Ⅰ)如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD＝a，BD＝b，求S1·S2的表达式(结果用a，b和α的三角函数表示)；(Ⅱ)如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设

AD＝a，BD＝b，直接写出

S1·S2的表达式，不用写出解答过程．第5题图答案1.解：(1)①20，10；②设∠ABC＝x，∠ADE＝y，则∠ACB＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β＋x，在△ABD中，α＋x＝y＋β，∴α＝2β；如解图，点E在CA延长线上，点D在线段BC上，设∠ABC＝x，∠ADE＝y，则∠ACB＝x，∠AED＝y，在△ABD中，x＋α＝β－y，在△DEC中，x＋y＋β＝180°，∴α＝2β－180°.(注：求其余关系式，相应给分，如点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，可得α＝180°－2β.)第1题解图解：(1)AC＝AD＋AB.原因以下：由题意知∠B＝90°，∴∠D＝90°，∵∠DAB＝120°，AC均分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∴∠ACB＝∠ACD＝30°，AB＝1AC，AD＝1AC，22AC＝AD＋AB；(2)(1)中的结论建立，原因以下：如解图①，以C为极点，AC为一边作∠ACE＝60°，∠ACE的另一边交AB的延长线于点E，11∵∠BAC＝2∠BAD＝2×120°＝60°，∴△AEC为等边三角形，AC＝AE＝CE，∵∠D＋∠B＝180°，∠DAB＝120°，∴∠DCB＝60°，∴∠DCA＋∠ACB＝60°，又∵∠BCE＋∠ACB＝60°，∴∠DCA＝∠BCE，∴△DAC≌△BEC(ASA)，AD＝BE，AE＝AB＋BE＝AB＋AD，AC＝AD＋AB；图①图②第2题解图AD＋AB＝2AC.原因以下：如解图②，过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D＋∠ABC＝180°，DAB＝90°，∴∠BCD＝90°，∵∠ACE＝90°，∴∠DCA＝∠BCE.又∵AC均分∠DAB，∴∠CAB＝45°，∠E＝45°，AC＝CE.又∵∠D＋∠B＝180°，∠D＝∠CBE，∴△CDA≌△CBE(AAS)．AD＝BE，AD＋AB＝AE.在Rt△ACE中，∠CAB＝45°，∴AE＝cos45AC°＝2AC，AD＋AB＝2AC.解：(1)BC、CD、AC三者之间的关系为：BC＋CD＝2AC.证明：如解图①，延长CB至点E，使BE＝DC，连结AE.第3题解图①∵∠ABD＝∠ACD＝45°，∴∠1＝∠2，∵∠ABE＝∠1＋∠ACB，∠ADC＝∠ADB＋∠2，又∵∠ACB＝∠ADB＝45°，∴∠ABE＝∠ADC，∵∠ABD＝∠ADB＝45°，AD＝AB，∠BAD＝90°∴△ADC≌△ABE(SAS)，∴∠BAE＝∠DAC，AE＝AC，∴∠EAC＝90°，EC＝2AC，BC＋CD＝2AC；BC＋CD＝2cosα·AC.【解法提示】如解图②，延长CB至点E，使BE＝DC，连结AE，过点A作AF⊥CE，垂足为点F.第3题解图②则可得BC＋CD＝2CF，在Rt△ACF中，CF由cosα＝得，CF＝AC·cosα，AC1即2(BC＋CD)＝cosα·AC，BC＋CD＝2cosα·AC.解：(1)△ABD≌△BCE≌△CAF.证明：如解图①，第4题解图①∵△ABC为正三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC.∵∠ABD＝∠ABC－∠2，∠BCE＝∠ACB－∠3，而∠2＝∠3，∴∠ABD＝∠BCE.又∵∠1＝∠2，∴△ABD≌△BCE(ASA)；△DEF是正三角形．原因以下：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，∴△DEF是正三角形；如解图②，作AG⊥BD，交BD延长线于点G，第4题解图②由△DEF是正三角形获得∠ADG＝60°，(或许∠ADG＝∠1＋∠ABD＝∠2＋∠ABD＝60°.)∴在Rt△中，＝1，＝3.ADGDG2bAG2b21232∴在Rt△ABG中，c＝(a＋2b)＋(2b)，222∴c＝a＋ab＋b.5.解：(1)12；【解法提示】如解图①，过点D分别作DG⊥AC于点G，作DH⊥BC于点H.∵△ABC为等边三角形，∴∠＝∠＝60°，∵＝6，＝2，∴＝4，ABABADBD33∴在Rt△ADG和Rt△BDH中，DG＝AD·sin60°＝2×2＝3，DH＝BD·sin60°＝4×223，∵DE∥BC，∠EDF＝∠A＝60°，∴∠AMD＝∠EDF＝∠DNB＝60°，∴△ADM和△BDN均为等边三角形．∴S1·S2＝1×2×3×1×4×23＝12.22第5题解图①如解图②，过点D分别作DG⊥AC于点G，作DH⊥BC于点H.第5题解图②∵∠A＝∠EDF＝60°，∴∠1＋∠2＝∠1＋∠BDF＝120°，∴∠2＝∠BDF，又∵∠A＝∠B，∴△ADM∽△BND，ADAM4AM∴＝，即＝，BNBDBN2AM·BN＝8，∵在Rt△ADG和Rt△BDH中，3DG＝AD·sin60°＝4×2＝23，3D