新人教版数学八年级上册第十二章全部课件

人教版数学八年级上册第十二章全部课件人教版数学八年级上册112.1全等三角形人教版数学八年级上册12.1全等三角形人教版数学八年级上册2

观察这些图片，你能找出形状、大小完全一样的几何图形吗？导入新知观察这些图片，你能找出形状、大小完全一样的几何图形吗？3

你能再举出生活中的一些类似例子吗？导入新知你能再举出生活中的一些类似例子吗？导入新知42.熟练掌握全等三角形的性质，并能灵活运用全等三角形的性质解决相应的几何问题.1.熟记全等形及全等三角形的概念;能够正确找出全等三角形的对应边、对应角.

素养目标3.初步帮助学生建立平移、翻折、旋转三种图形变化与全等形的关系.2.熟练掌握全等三角形的性质，并能灵活运用全等三角形的性质5下列各组图形的形状与大小有什么特点？（1）（2）（3）（4）（5）探究新知知识点1全等图形的定义及性质下列各组图形的形状与大小有什么特点？（1）（2）（3）（4）6观察思考：每组中的两个图形有什么特点？①②③

④⑤

探究新知观察思考：每组中的两个图形有什么特点？①7全等图形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形.全等形性质：如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等.探究新知归纳总结全等图形定义：全等形性质：探究新知归纳总结8下面哪些图形是全等图形？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（9）（12）（10）（8）大小、形状完全相同（11）找一找探究新知下面哪些图形是全等图形？（1）（2）（3）（4）（5）（6）9EDF全等三角形的定义及性质ABC

像上图一样，把△ABC叠到△DEF上，能够完全重合的两个三角形，叫作全等三角形.把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角.你能指出上面两个全等三角形的对应顶点、对应边、对应角吗？知识点2探究新知EDF全等三角形的定义及性质ABC像上图一样10AACBDEABDCABCDBCNMFE思考：把一个三角形平移、旋转、翻折，变换前后的两个三角形全等吗？探究新知AACBDEABDCABCDBCNMFE思考：把一个三角形平11一个图形经过平移、翻折、旋转后，

变化了，但＿＿＿和＿＿＿都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的两个图形＿＿.形状大小全等位置

全等变化探究新知归纳总结一个图形经过平移、翻折、旋转后，变化了12

请你利用自制的一对全等三角形拼出有公共顶点或公共边或公共角的图形.试用全等符号表示它们，分析每个图形，找准对应边、对应角.ABCDABCDABCD有公共边探究新知寻找对应边、对应角有什么规律?请你利用自制的一对全等三角形拼出有公共顶点或公共边131.有公共边，则公共边为对应边；2.有公共角（对顶角），则公共角（对顶角）为对应角；3.最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角；4.对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角.ABCDOABCDOABCDEABDCE有公共点探究新知1.有公共边，则公共边为对应边；2.有公共角（对顶角），14ADFCEB12ABDC1423EABCF1234找一找下列全等图形的对应元素？ABCDF探究新知ADFCEB12ABDC1423EABCF1234找一找下列15△ABC≌△FDEA

BCEDF记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等的表示方法“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.探究新知△ABC≌△FDEABCEDF记两个16A

BCEDF∵△ABC≌△DEF(已知），∴AB=DE，

AC=DF，BC=EF(全等三角形对应边相等），∠A=∠D，

∠B=∠E，

∠C=∠F(全等三角形对应角相等）.

全等三角形的对应边相等，对应角相等.探究新知全等的性质ABCEDF∵△ABC≌△DEF(已知），∴AB=DE，17∵△ABC≌△FDE∴AB=FD，AC=FE，BC=DE（全等三角形对应边相等）∠A=∠F，∠B=∠D，∠C=∠E（全等三角形对应角相等）A

BCEDF全等三角形的性质的几何语言探究新知∵△ABC≌△FDE∴AB=FD，AC=FE，BC18例1

如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角.解：△BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与CE；△ADO与△AEO的对应角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.识别全等三角形的对应元素探究新知素养考点1例1如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等191.如图，△ABC与△ADC全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角.解：△ABC≌△ADC;相等的边为：AB=AD，AC=AC，BC=DC；相等的角为：∠BAC=∠DAC，∠B=∠D，∠ACB=∠ACD.巩固练习1.如图，△ABC与△ADC全等，请用数学符号表示出这两个三20例2

如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，∴CF＝BC–BF＝7–4＝3.利用全等三角形的性质求角或线段的值探究新知素养考点2例2如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°212.如右图，已知△ABD≌△ACE，∠C=45°，

AC=8，AE=5，则∠B=

，

DC=

.AEBCD85545°3巩固练习2.如右图，已知△ABD≌△ACE，∠C=45°，AEBC22例3

如图，△EFG≌△NMH，EF=2.1cm，EH=1.1cm，NH=3.3cm.（1）试写出两三角形的对应边、对应角；解：（1）对应边有EF和NM，FG和MH，EG和NH；对应角有∠E和∠N，

∠F和∠M，

∠EGF和∠NHM.探究新知例3如图，△EFG≌△NMH，EF=2.1cm，EH=123（2）求线段NM及HG的长度；

（3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正确的结论并证明.解：∵△EFG≌△NMH，

∴NM=EF=2.1cm，

EG=NH=3.3cm.

∴HG=EG–EH=3.3

–1.1=2.2（cm）.解：结论：EF∥NM证明：

∵△EFG≌△NMH，∴∠E=∠N.∴EF∥NM.想一想：你还能得出其他结论吗？探究新知（2）求线段NM及HG的长度；解：∵△EFG≌△NMH，24

3.如图，△ABC≌△CDA，AB与CD，BC与DA是对应边，则下列结论错误的是（

）．

A.∠

BAC

=∠

DCA

；

B.AB∥DC；

C.∠BCA=∠DCA；

D.BC∥DA

．CABCD巩固练习3.如图，△ABC≌△CDA，AB与CD，BC与D25连接中考巩固练习解析：∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点.

∴∠DCE=∠B.1.如图所示，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=()A.∠BB.∠AC.∠EMFD.∠AFBA连接中考巩固练习解析：∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，26连接中考巩固练习解析：先根据三角形外角的性质求出

∠

ACA'=∠A+∠B=27°+40°=67°.再由△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A'B'C，得到

△ABC≌△A'B'C，∴∠ACB=∠A'CB'，

∴∠ACB–∠B'CA=∠A'CB'–∠B'CA，

即∠BCB'=∠ACA'.

∴∠BCB'=67°.

∴∠ACB'=180°–∠ACA'–∠BCB'=180°–67°–67°=46°.2.如图所示，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A'B'C，使点A'落在BC的延长线上.已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB'为_______度.

46连接中考巩固练习解析：先根据三角形外角的性质求出2.271.能够

的两个图形叫做全等形.两个三角形重合时，互相

的顶点叫做对应顶点.记两个全等三角形时，通常把表示

顶点的字母写在

的位置上.重合重合相对应2.如图，△ABC≌

△ADE，若∠D=∠B，∠C=∠AED，则∠DAE=

；∠DAB=

.∠BAC∠EACABCDE课堂检测基础巩固题对应顶点1.能够的两个图形叫做全等形.两283.如图，△ABC≌△BAD，如果AB=5cm，BD=4cm，AD=6cm，那么BC的长是(

)A.6cmB.5cm

C.4cmD.无法确定4.在上题中，∠CAB的对应角是(

)A.∠DAB

B.∠DBA

C.∠DBC

D.∠CADAOCDBAB课堂检测基础巩固题3.如图，△ABC≌△BAD，如果AB=5cm，BD=4c29如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是()A.△ABD和△CDB的面积相等B.△ABD和△CDB的周长相等C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD.AD∥BC，且AD=BCC能力提升题课堂检测如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是(30如图，△ABC≌△AED，AB是△ABC的最大边，AE是△AED的最大边，

∠BAC与∠

EAD是对应角，且∠BAC=25°，∠B=35°，AB=3cm，BC=1cm，求出∠E，

∠

ADE的度数和线段DE，AE的长度.BCEDA解:∵△ABC≌△AED，(已知)∴∠E=∠B=35°，(全等三角形对应角相等)∠ADE=∠ACB=180°–25°–35°=120°，

(全等三角形对应角相等)DE=BC=1cm，

AE=AB=3cm.(全等三角形对应边相等)拓广探索题课堂检测如图，△ABC≌△AED，AB是△ABC31摆一摆：利用平移，翻折，旋转等变换所得到的三角形与原三角形组成各种各样新的图形，你还能拼出什么不同的造型吗？比一比看谁更有创意！课堂检测摆一摆：利用平移，翻折，旋转等变换所得到的三角形与原三角形组32拼接的图形展示课堂检测拼接的图形展示课堂检测33全等三角形定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形基本性质对应边相等对应角相等对应元素确定方法对应边对应角长对长，短对短，中对中公共边一定是对应边大角对大角，小角对小角公共角一定是对应角对顶角一定是对应角课堂小结全等定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形基本性质对应边34课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业作业教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习3512.2三角形全等的判定第一课时第二课时人教版数学八年级上册第三课时第四课时12.2三角形全等的判定第一课时第二课时人教版数学八36第一课时“边边边”定理第一课时“边边边”定理37

为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗（如图），那么，老师应提供多少个数据，能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有的边长和所有的角度吗？导入新知为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗（如383.掌握用尺规作一个角等于已知角的作图法．1.探索三角形全等条件，明确探索方向和过程.2.掌握“边边边”判定方法和应用.素养目标3.掌握用尺规作一个角等于已知角的作图法．1.探索三角形391.什么叫全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.2.全等三角形有什么性质？全等三角形的对应边相等，对应角相等.探究新知知识点1三角形全等的判定——“边边边”定理温故知新1.什么叫全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫全等三角形40ABCDEF3.已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角.①AB=DE③CA=FD②BC=EF④∠A=∠D⑤

∠B=∠E⑥∠C=∠F探究新知温故知新即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等．ABCDEF3.已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与41

【思考】如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC≌△DEF吗?探究新知只给一个条件①只给一条边时；②只给一个角时；3cm3cm45◦45◦结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.【思考】如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC≌42①两边；③两角.②一边一角；如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？探究新知①两边；③两角.②一边一角；如果满足两个条件，你能说出有哪几43①如果三角形的两边分别为3cm，4cm时4cm4cm3cm3cm结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.探究新知①如果三角形的两边分别为3cm，4cm时4cm4cm3cm44②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:4cm4cm30◦30◦结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.探究新知②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:4cm4cm34545◦30◦45◦30◦③如果三角形的两个内角分别是30°，45°时结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.探究新知根据三角形的内角和为180°，则第三角一定确定，所以当三个内角对应相等时，两个三角形不一定全等.45◦30◦45◦30◦③如果三角形的两个内角分别是30°，46两个条件①两角；②两边；③一边一角.结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等.一个条件①一角；②一边；探究新知归纳总结两个条件结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形47①三角；②三边；③两边一角；④两角一边.

如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？探究新知①三角；②三边；③两边一角；④两角一边.如果满足三个48已知两个三角形的三个内角分别为30°，60°，90°它们一定全等吗？这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等.①三个角探究新知已知两个三角形的三个内角分别为30°，60°49已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm.它们一定全等吗？3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm②三条边探究新知已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm50

先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′,使A′B′=AB,B′C′=BC,A′C′=AC.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ABCA′B′C′作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？作法：（1）画B′C′=BC；（2）分别以B',C'为圆心，线段AB,AC长为半径画圆，两弧相交于点A'；（3）连接线段A'B',A'C'.探究新知做一做想一想先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B51文字语言：三边对应相等的两个三角形全等.

（简写为“边边边”或“SSS”）ABCDEF在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）.

AB=DE，

BC=EF，CA=FD，几何语言：探究新知“边边边”判定方法文字语言：三边对应相等的两个三角形全等.ABCDEF在△AB52例1

如图，有一个三角形钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证：（1）△ABD≌△ACD．CBDA解题思路：先找隐含条件公共边AD再找现有条件AB=AC最后找准备条件BD=CDD是BC的中点利用“边边边”定理判定三角形全等探究新知素养考点1例1如图，有一个三角形钢架，AB=AC，AD是连接53证明：∵D是BC中点，∴BD=DC．

在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）．CBDAAB=AC(已知）BD=CD

（已证）AD=AD

（公共边）准备条件指明范围摆齐根据写出结论(2)∠BAD=∠CAD.由（1）得△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD.

（全等三角形对应角相等）探究新知证明：∵D是BC中点，∴△ABD≌△ACD（S54①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论.证明的书写步骤：探究新知归纳总结①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪551.如图,C是BF的中点，AB=DC,AC=DF.求证:△ABC≌△DCF.在△ABC

和△DCF中，AB=DC，∴△ABC≌△DCF(已知)(已证)AC=DF，BC=CF，证明：∵C是BF中点，∴BC=CF.(已知)(SSS).巩固练习1.如图,C是BF的中点，AB=DC,AC=DF.在△56例2已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.

求证：∠BAC＝∠DAE.

利用三角形全等证明线段或角相等探究新知分析：要证∠BAC＝∠DAE，而这两个角所在三角形显然不全等，我们可以利用等式的性质将它转化为证∠BAD＝∠CAE；由已知的三组相等线段可证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质可得∠BAD＝∠CAE.素养考点2例2已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.利用57证明：在△ABD和△ACE中，

AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，

∴△ABD≌△ACE(SSS)，

∴∠BAD＝∠CAE.∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，

即∠BAC＝∠DAE.探究新知证明：在△ABD和△ACE中，探究新知582.已知：如图，AB=AD，BC=DC，

求证：△ABC≌△ADC，ABCD

AC=AC(

公共边)≌AB=AD

()BC=DC

()∴

△ABC△ADC（SSS）证明：在△ABC和△ADC中已知已知∴∠BAC=∠DAC∴AC是∠BAD的角平分线.AC是∠BAD的角平分线巩固练习2.已知：如图，AB=AD，BC=DC，ABCD59

已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．例3

用尺规作一个角等于已知角．ODBCAO′C′A′B′D′用尺规作一个角等于已知角知识点2探究新知已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．例360作法：

（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，

OB于点C、D；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．用尺规作一个角等于已知角依据是什么？探究新知作法：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．用61连接中考巩固练习1.如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证∠F=∠C．证明：∵DA=BE，∴DE=AB，在△ABC和△DEF中，

AC=DF

BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠C=∠F．AB=DE连接中考巩固练习1.如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB62连接中考巩固练习2.已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．证明：∵AD=BC，∴AC=BD，

在△ACE和△BDF中，

，

∴△ACE≌△BDF（SSS）

∴∠A=∠B，∴AE∥BF.

连接中考巩固练习2.已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线631.如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，

要使△ABF≌△ECD，还需要条件

___

(填一个条件即可）.

BF=CDAEBDFC课堂检测基础巩固题1.如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE642.如图，AB＝CD，AD＝BC,

则下列结论：①△ABC≌△CDB；

②△ABC≌△CDA；③△ABD≌△CDB；

④BA∥DC.正确的个数是()

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个OABCDC课堂检测基础巩固题2.如图，AB＝CD，AD＝BC,则下列结论：OABCD651.已知：如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌△AED.证明：∵BD=CE,

∴BD－CD=CE－CD.

∴BC=ED.××==在△ABC和△ADE中，AC=AD（已知），AB=AE（已知），BC=ED（已证），∴△ABC≌△AED（SSS）.能力提升题课堂检测1.已知：如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，证明：662.已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径作弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB．根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．课堂检测图1图2能力提升题2.已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'67证明：由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，在△OCD和△O′C′D′中

，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠COD=∠C′O′D′，即∠A'O'B′=∠AOB．课堂检测

能力提升题证明：由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′683.如图,AD＝BC,AC＝BD.求证:∠C＝∠D.(提示:连结AB)证明：连结AB两点,∴△ABD≌△BAC(SSS)AD=BC，BD=AC，AB=BA，在△ABD和△BAC中，∴∠D=∠C.课堂检测能力提升题3.如图,AD＝BC,AC＝BD.求证:∠C＝∠D.(提69如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？HDCBA△ABD≌△ACD(SSS)AB=AC，BD=CD，AD=AD，△ABH≌△ACH(SSS)AB=AC，BH=CH，AH=AH，△BDH≌△CDH(SSS)BH=CH，BD=CD，DH=DH，拓广探索题课堂检测如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中70

边边边内容有三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS”)应用思路分析书写步骤结合图形找隐含条件和现有条件，找准备条件注意四步骤1.说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.2.结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.课堂小结边边边内容有三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS71第二课时“边角边”定理第二课时“边角边”定理72

问题:如图有一池塘。要测池塘两端A、B的距离，可无法直接到达，因此这两点的距离无法直接量出。你能想出办法来吗？AB导入新知问题:如图有一池塘。要测池塘两端A、B的距离，73ABCED在平地上取一个可直接到达A和B的点C，连接AC并延长至D使CD=CA连接BC并延长至E使CE=CB连结ED，那么量出DE的长，就是A、B的距离.为什么？导入新知ABCED在平地上取一个可直接到达A和B的点C，连接AC并延743.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件．1.探索并正确理解三角形全等的判定定理“SAS”.2.会用“SAS”判定定理证明两个三角形全等并能应用其解决实际问题．素养目标3.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件．1.探75

1.回顾三角形全等的判定方法1

三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）.在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD2.符号语言表达：ABCDEF探究新知知识点1三角形全等的判定——“边角边”定理1.回顾三角形全等的判定方法1在△ABC和△DEF中76当两个三角形满足六个条件中的3个时，有四种情况:三角×三边√两边一角？两角一边

【思考】除了SSS外,还有其他情况吗？探究新知能判定全等吗？当两个三角形满足六个条件中的3个时，有四种情况:三角×三边√77已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABCABC“两边及夹角”“两边和其中一边的对角”它们能判定两个三角形全等吗？探究新知已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个78

尺规作图画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A（即使两边和它们的夹角对应相等）.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ABC两边及其夹角能否判定两个三角形全等?探究新知做一做尺规作图画出一个△A′B′C′，使A′B79ABCA′

DEB′

C′

作法：（1）画∠DA'E=∠A；（2）在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC；（3）连接B'C'.思考

①

△A′B′C′与△ABC全等吗？如何验证？②这两个三角形全等是满足哪三个条件？探究新知ABCA′DEB′C′作法：思考②这两80在△ABC和△DEF中，∴

△ABC≌△

DEF（SAS）．

文字语言：

两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.

（简写成“边角边”或“SAS”）．

“边角边”判定方法几何语言：AB=DE，∠A=∠D，AC=AF，ABCDEF必须是两边“夹角”探究新知在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SA81例1

如果AB=CB，∠ABD=∠CBD，那么

△

ABD和△

CBD全等吗？分析:△ABD

≌△CBD.边:角:边:AB=CB(已知)，∠ABD=∠CBD(已知)，ABCD(SAS)BD=BD(公共边)，证明：在△ABD和△CBD中，AB=CB(已知)，∠ABD=∠CBD(已知)，∴

△ABD≌△CBD(SAS).BD=BD(公共边)，利用“边角边”定理证明三角形全等探究新知素养考点1例1如果AB=CB，∠ABD=∠CBD，那么821.已知:如图,AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，求证:∠A=∠D.证明:∵∠1＝∠2(已知)，

∴∠1+∠DBC＝∠2+∠DBC(等式的性质)，

即∠ABC＝∠DBE.

在△ABC和△DBE中,

AB＝DB(已知)，

∠ABC＝∠DBE(已证)，

CB＝EB(已知)，

∴△ABC≌△DBE（SAS）.

∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).1A2CBDE巩固练习1.已知:如图,AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，求证:83例2

如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?AC·EDB证明：在△ABC和△DEC

中，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE，（全等三角形的对应边相等）.AC=DC（已知），∠ACB=∠DCE

（对顶角相等），CB=EC（已知），利用全等三角形测距离探究新知素养考点2例2如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上842.如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地.此时C，D到B的距离相等吗？为什么？提示：相等.根据边角边定理，

△BAD≌△BAC，∴BD=BC.巩固练习2.如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、85

如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？B

A

CD△ABC和△ABD满足AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等.SSA能否判定两个三角形全等？探究新知想一想如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在86

画△ABC和△ABD，使∠A=∠A=30°，AB=AB=5

cm

，BC=BD=3cm．观察所得的两个三角形是否全等？ABMCDABCABD

有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.结论探究新知画一画ABMCDABCABD有两边和其中一边的87例3下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是(

)A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.C易错点拨：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．只有两边及夹角对应相等时，才能判定三角形全等．素养考点3三角形全等条件的识别探究新知例3下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是()A883．如图，AB＝CD，AB∥CD，E，F是BD上两点且BE＝DF，则图中全等的三角形有(

)A．1对B．2对C．3对D．4对CC巩固练习3．如图，AB＝CD，AB∥CD，E，F是BD上两点且BE＝89连接中考1.如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．

求证：∠C=∠E．解：∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE–∠CAE=∠DAC–∠CAE，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∵

，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠C=∠E．巩固练习

连接中考1.如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠D90巩固练习连接中考2.如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）当AB=5时，求CD的长．

巩固练习连接中考2.如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE911.在下列图中找出全等三角形进行连线.Ⅰر30º8cm9cmⅥر30º8cm8cmⅣⅣ8cm5cmⅡ30ºر8cm5cmⅤ30º8cmر5cmⅧ8cm5cmر30º8cm9cmⅦⅢر30º8cm8cmⅢ课堂检测基础巩固题1.在下列图中找出全等三角形进行连线.Ⅰر30º8cm9922.如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是

()A.∠A＝∠D

B.∠E＝∠CC.∠A=∠C

D.∠ABD＝∠EBC

D基础巩固题课堂检测2.如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则93证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，在△ABC和△ADC中，

∴△ABC≌△ADC（SAS）．AD=AB∠BAC=∠DACAC=AC(已知），(公共边），(已证），3.如图，已知AC平分∠BAD,AB=AD．

求证：△ABC≌△ADC．

课堂检测基础巩固题证明：∵AC平分∠BAD，AD=AB∠BAC=∠DACAC=94已知：如图，AB=AC,BD=CD，E为AD上一点.求证：

BE=CE.证明：∴

∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=ACBD=CDAD=AD

(已知），(公共边），(已知），∴

BE=CE.在△ABE和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CADAE=AE

(已知），(公共边），(已证），∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴△ABE≌△ACE（SAS）.课堂检测能力提升题ABCDE已知：如图，AB=AC,BD=CD，E为AD上一点.证明：95如图，已知CA=CB,AD=BD,M，N分别是CA，CB的中点，求证：DM=DN.在△ABD与△CBD中证明:CA=CB(已知）AD=BD

（已知）CD=CD（公共边）∴△ACD≌△BCD（SSS）连接CD，如图所示；∴∠A=∠B又∵M，N分别是CA，CB的中点，∴AM=BN拓广探索题课堂检测在△AMD与△BND中AM=BN

(已证）∠A=∠B（已证）AD=BD

（已知）∴△AMD≌△BND（SAS）∴DM=DN.如图，已知CA=CB,AD=BD,M，N分别96

边角边内容有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”)应用为证明线段和角相等提供了新的证法注意1.已知两边，必须找“夹角”2.已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边

课堂小结边角边内容有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“97第三课时“角边角”“角角边”定理第三课时“角边角”“角角边”98一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复三角形的原貌吗？怎么办？可以帮帮我吗？导入新知一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制991.探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”．素养目标2.会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”证明两个三角形全等．1.探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS100三角形全等的判定（“角边角”定理）

如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？ABCABC图一图二“两角及夹边”“两角和其中一角的对边”它们能判定两个三角形全等吗？探究新知知识点1三角形全等的判定（“角边角”定理）如果已知一个三角形101

先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，

使A′B′=AB，

∠A′=∠A，

∠B′=∠B(即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ACB探究新知先任意画出一个△ABC，再画一个△A102ACBA′B′C′ED作法：（1）画A'B'=AB;（2）在A'B'的同旁画∠DA'B'=∠A，∠EB'A'=∠B，A'D，B'E相交于点C'.从中你能发现什么规律？探究新知想一想ACBA′B′C′ED作法：从中你能发现什么规律？探究新知想103

“角边角”判定方法文字语言：

有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.几何语言：∠A=∠A′（已知），AB=A′B′（已知），∠B=∠B′（已知），在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.ABCA′B′C′探究新知“角边角”判定方法文字语言：几何语言：∠A=∠A′（已知104例1已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．∠ABC＝∠DCB(已知），BC＝CB（公共边），∠ACB＝∠DBC（已知），证明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（ASA）.BCAD

判定方法：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等．利用“角边角”定理证明三角形全等探究新知素养考点1例1已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，∠A1051.如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BC＝EF.∵∠ACB＝∠F，∴△ABC≌△DEF（ASA）巩固练习1.如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE106例2

如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,∠B=∠C,求证：AD=AE.ABCDE分析：证明△ACD≌△ABE，就可以得出AD=AE.证明：在△ACD和△ABE中，∠A=∠A（公共角），AC=AB（已知），∠C=∠B（已知），∴

△ACD≌△ABE（ASA），∴AD=AE.探究新知例2如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,∠B=1072.如图，AD=AE,∠B=∠C，那么BE和CD相等么？为什么？证明:在△ABE与△ACD中

∠B=∠C

（已知）

∠A=∠A（公共角）

AE=AD

（已知）∴△ABE≌△ACD（AAS）∴BE=CD（全等三角形对应边相等）AEDCBBE=CD巩固练习2.如图，AD=AE,∠B=∠C，那么BE和CD相等么？为108若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?60°45°用“角角边”判定三角形全等知识点2探究新知若三角形的两个内角分别是60°和4510960°45°思考：

这里的条件与探究1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为探究1中的条件吗？75°探究新知60°45°思考：这里的条件与探究1中的条件110∠A=∠A′（已知），∠B=∠B′（已知），AC=A′C′（已知），在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.ABCA′B′C′探究新知归纳总结两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.∠A=∠A′（已知），在△ABC和△A′B′C′中，∴111例3

在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF．证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.∴△ABC≌△DEF（ASA）.∠B＝∠E，BC＝EF，

∠C＝∠F.∴∠C＝180°－∠A－∠B.同理

∠F＝180°－∠D－∠E.又

∠A＝∠D，∠B＝∠E,∴∠C＝∠F.在△ABC和△DEF中，利用“角角边”定理证明三角形全等探究新知素养考点2例3在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC112例4如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∠ABD＝∠CAE.在△BDA和△AEC中，∠ADB=∠CEA=90°，

∠ABD＝∠CAE,AB＝AC,∴△BDA≌△AEC(AAS).探究新知例4如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝A113例4如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.

求证：(2)DE＝BD＋CE.∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.证明：∵△BDA≌△AEC,方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．探究新知例4如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝A1143.如图，已知：AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E.求证：BE＝CF.证明：∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD.∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°.在△BED与△CFD中∠BED=∠CFD∠1=∠2BD=CD∴△BED≌△CFD(AAS)．∴BE＝CF.巩固练习3.如图，已知：AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，B115连接中考解析：∵AB=AC，∠A为公共角，如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，1.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C

B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CDD巩固练习连接中考解析：∵AB=AC，∠A为公共角，1.如图，点D，E116巩固练习2.如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，

求证：CB=CD．

连接中考巩固练习2.如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，

连接中考117

1.下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙

C．甲和丙 D．只有丙B课堂检测基础巩固题1.下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个1182.在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69°，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形（）A．一定不全等B．一定全等C．不一定全等

D．以上都不对B课堂检测基础巩固题2.在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝119

3.如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.ABCD课堂检测基础巩固题3.如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判1204.如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是___________

AC=BC课堂检测基础巩固题4.如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条1211.已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,

求证：AB=AD.ACDB12证明：∵

AB⊥BC，AD⊥DC，

∴∠B=∠D=90°.

在△ABC和△ADC中，∠1=∠2（已知），∠B=∠D（已证），AC=AC（公共边），∴△ABC≌△ADC(AAS)，∴AB=AD.能力提升题课堂检测1.已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,AC1222.如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗?如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?321答：带1去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等.课堂检测能力提升题2.如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是否可以只123已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高.试说明AD＝A′D′

，并用一句话说出你的发现.ABCDA′B′C′D′拓广探索题课堂检测已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′124解：因为△ABC≌△A′B′C′，所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'.在△ABD和△A'B'D'中，∠ADB=∠A'D'B'（已证），∠ABD=∠A'B'D'（已证），AB=AB（已证），所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.ABCDA′B′C′D′全等三角形对应边上的高也相等.课堂检测拓广探索题解：因为△ABC≌△A′B′C′，所以AB=A'B'（全125

角边角角角边内容有两角及夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA”)应用为证明线段和角相等提供了新的证法注意注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别课堂小结角边角内容有两角及夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“126第四课时“斜边、直角边”定理第四课时“斜边、直角边”定理127

舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量.(1)你能帮他想个办法吗？根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角.根据ASA,AAS可测量对应一边和一锐角.导入新知舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个128

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等。于是，他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信这个结论吗？（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗?

让我们来探究一下吧！斜边和一条直角边对应相等→两个直角三角形全等.导入新知工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发1292.能运用三角形全等的判定方法判断两个直角三角形全等.1.探究直角三角形全等的判定方法.素养目标2.能运用三角形全等的判定方法判断两个直角三角形全等.130SSSSASASAAAS旧知回顾

我们学过的判定三角形全等的方法.探究新知知识点1三角形全等的判定——“HL”定理SSSSASASAAAS旧知回顾我们学过的判定三角形全等的131如图，Rt△ABC中，∠C=90°，直角边是_____、_____，斜边是______.CBAACBCAB思考前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？探究新知想一想如图，Rt△ABC中，∠C=90°，直角边是_____、_132ABCB′C′1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？探究新知问题A′ABCB′C′1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，133如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？

我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理.ABCDEF探究新知想一想如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△A134如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？ABCDEF探究新知想一想如果这两个三角形都是直ABCDEF探究新知想一想135

任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ABC探究新知任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°.再画一个R136画图思路（1）先画∠MC′

N=90°.ABCM

C′N探究新知画图思路（1）先画∠MC′N=90°.ABCMC′N探137（2）在射线C′M上截取B′C′=BC.MC′ABCNB′MC′探究新知