将军饮马问题升级课件

为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了……禁止践踏两点之间，线段最短第1页/共23页为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了…1将军饮马问题：两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。第2页/共23页将军饮马问题：两线段之和最短这个问题早在古罗马时代2P两点之间线段最短.根据：BA(一)两点在一条直线两侧例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？

最短路线：A---P---B.第3页/共23页P两点之间线段最短.根据：BA(一)两点在一条直线两侧例13例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？

AB第4页/共23页例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到河边饮水4BAB’C作法：（1）作点B关于直线MN

的对称点B’（2）连结B’A，交MN于点C；

所以点C就是所求的点．MN第5页/共23页BAB’C作法：（1）作点B关于直线MN的对称点B’（5∴BC+AC

<BC`+AC`

，即AC+BC最小．NABCB'C'∵直线MN是点B、B’的对称轴，

点C、C’在对称轴上，∴BC=B’C，BC’=B’C’．在MN上任取另一点C`，连结BC、BC`、AC`

、B`C`

．例2证明：在△AB`C`中，AB`<AC`+B`C`，

∴BC+AC=B`C+AC

=B`A．M∴BC`+AC`=B`C`+AC`第6页/共23页∴BC+AC<BC`+AC`，即AC+BC最小．NA6例2变式1：已知：P、Q是△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，

使△PQR的周长最短吗？第7页/共23页例2变式1：第7页/共23页7草地河边.驻地A例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地OM吃草，再牵马去河边ON喝水，最后回到驻地A问：这位将军怎样走路程最短？OMN第8页/共23页草地河边.驻地A例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马8.....例3已知如图和内一点A求作:OM上一点B,ON上一点C,使AB+BC+AC最小作法:（1）作点A关于OM、ON的对称点A’、A”(2）连结A’和A”，交OM于B,交ON于C,则点B、C为所求。第9页/共23页.....例3已知如图和内一点A9例3变式1：已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？第10页/共23页例3变式1：第10页/共23页10例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。两点在两相交直线内部第11页/共23页例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先11答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.ABA′B′CD第12页/共23页答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,12......例4变式1：已知：MON内两点A、B.求作：点C和点D,使得点C在OM上，点D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。第13页/共23页......例4变式1：第13页/共23页13例4变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？第14页/共23页例4变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别14......AA'BB'CDMON例4变式2：第15页/共23页......AA'BB'CDMON例4变式2：第15页/共215在直线L上求作点M，使AM-BM的绝对值最小第16页/共23页在直线L上求作点M，使AM-BM的绝对值最小第16页/共2316在直线L上求作点M，使AM-BM的绝对值最大第17页/共23页在直线L上求作点M，使AM-BM的绝对值最大第17页/共2317在直线L上求作点M，使M到A、B两点之间的距离之差最大第18页/共23页在直线L上求作点M，使M到A、B两点之间的距离之差最大第1818在锐角AOB中有一点p,若从p点出发到达AO上任意一点后再到达BO上任意一点,然后返回P点,使总路程最短？第19页/共23页在锐角AOB中有一点p,若从p点出发到达AO上任意一点后再到19探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小第20页/共23页探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定20年轻的将军又遇到了新的问题：从将军府去军营的路上除了饮马外，还要牵马在河岸散步200米，这个时候如何行走的路线最短呢？

第21页/共23页年轻的将军又遇到了新的问题：从将军府去军营的路上除了饮马外，21将军府和军营分别在河的两侧，已知河流的宽度为30米，在何地修桥使得将军每天的行程最短呢？第22页/共23页将军府和军营分别在河的两侧，已知河流的宽度为30米，在何地修22感谢您的欣赏第23页/共23页感谢您的欣赏第23页/共23页23为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了……禁止践踏两点之间，线段最短第1页/共23页为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了…24将军饮马问题：两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。第2页/共23页将军饮马问题：两线段之和最短这个问题早在古罗马时代25P两点之间线段最短.根据：BA(一)两点在一条直线两侧例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？

最短路线：A---P---B.第3页/共23页P两点之间线段最短.根据：BA(一)两点在一条直线两侧例126例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？

AB第4页/共23页例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到河边饮水27BAB’C作法：（1）作点B关于直线MN

的对称点B’（2）连结B’A，交MN于点C；

所以点C就是所求的点．MN第5页/共23页BAB’C作法：（1）作点B关于直线MN的对称点B’（28∴BC+AC

<BC`+AC`

，即AC+BC最小．NABCB'C'∵直线MN是点B、B’的对称轴，

点C、C’在对称轴上，∴BC=B’C，BC’=B’C’．在MN上任取另一点C`，连结BC、BC`、AC`

、B`C`

．例2证明：在△AB`C`中，AB`<AC`+B`C`，

∴BC+AC=B`C+AC

=B`A．M∴BC`+AC`=B`C`+AC`第6页/共23页∴BC+AC<BC`+AC`，即AC+BC最小．NA29例2变式1：已知：P、Q是△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，

使△PQR的周长最短吗？第7页/共23页例2变式1：第7页/共23页30草地河边.驻地A例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地OM吃草，再牵马去河边ON喝水，最后回到驻地A问：这位将军怎样走路程最短？OMN第8页/共23页草地河边.驻地A例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马31.....例3已知如图和内一点A求作:OM上一点B,ON上一点C,使AB+BC+AC最小作法:（1）作点A关于OM、ON的对称点A’、A”(2）连结A’和A”，交OM于B,交ON于C,则点B、C为所求。第9页/共23页.....例3已知如图和内一点A32例3变式1：已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？第10页/共23页例3变式1：第10页/共23页33例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。两点在两相交直线内部第11页/共23页例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先34答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.ABA′B′CD第12页/共23页答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,35......例4变式1：已知：MON内两点A、B.求作：点C和点D,使得点C在OM上，点D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。第13页/共23页......例4变式1：第13页/共23页36例4变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？第14页/共23页例4变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别37......AA'BB'CDMON例4变式2：第15页/共23页......AA'BB'CDMON例4变式2：第15页/共238在直线L上求作点M，使AM-BM的绝对值最小第16页/共23页在直线L上求作点M，使AM-BM的绝对值最小第16页/共2339在直线L上求作点M，使AM-BM的绝对值最大第17页/共23页在直线L上求作点M，使AM-BM的绝对值最大第17页/共2340在直线L上求作点M，使M到A、B两点之间的距离之差最大第18页/共23页在直线L上求作点M，使M到A、B两点之间的距离之差最大第1841在锐角AOB中有一点p,若从p点出发到达AO上任意一点后再到达BO上任意一点,然后返回P点,使总路程最短？第19页/共23页在锐角AOB中有一点p,若从p点出发到达AO上任意一点后再到42探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，