2023学年度教案-基本不等式4

基本不等式:QUOTE≤QUOTE【选题明细表】知识点、方法题号对基本不等式的理解1、2、6、8、13利用基本不等式求最值3、4、5、9、10利用基本不等式证明不等式11、12基础达标1.(2022新泰一中高二期中)下列各式中,对任何实数x都成立的一个式子是(C)(A)lg(x2+1)≥lg(2x) (B)x2+1>2x(C)QUOTE≤1 (D)x+QUOTE≥2解析:对于A,当x≤0时,无意义,故A不恒成立;对于B,当x=1时,x2+1=2x,故B不成立;对于D,当x<0时,不成立.对于C,x2+1≥1,∴QUOTE≤1.成立.故选C.2.四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列,则(A)(A)QUOTE>QUOTE (B)QUOTE<QUOTE(C)QUOTE=QUOTE (D)QUOTE≤QUOTE解析:∵a+d=b+c,a,b,c,d均是正数且互不相等,∴QUOTE=QUOTE>QUOTE.故选A.3.(2022新余高二期末)已知a+2b=2(a,b>0),则ab的最大值为(A)(A)QUOTE (B)2 (C)3 (D)QUOTE解析:∵a>0,b>0,∴a+2b≥2QUOTE,∴2QUOTE≤2,∴ab≤QUOTE.故选A.4.(2022兖州市高二期中)设a>0,b>0,若QUOTE是3a与3b的等比中项,则QUOTE+QUOTE的最小值为(B)(A)8 (B)4 (C)1 (D)QUOTE解析:由条件可知3a·3b=(QUOTE)2,即3a+b=3,∴a+b=1,∴QUOTE+QUOTE=（QUOTE+QUOTE）·(a+b)=2+QUOTE+QUOTE≥2+2QUOTE=4,当且仅当a=b时等号成立,故QUOTE+QUOTE的最小值为4.故选B.5.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为(B)(A)16 (B)25 (C)9 (D)36解析:(1+x)(1+y)≤[QUOTE]2=[QUOTE]2=(QUOTE)2=25,因此当且仅当1+x=1+y即x=y=4时,(1+x)(1+y)取最大值25,故选B.6.若a>1,b>1,则logab+logba≥.

解析:∵a>1,b>1,∴logab>0,logba>0,于是logab+logba≥2QUOTE=2,当且仅当logab=logba,即a=b>1时等号成立.答案:27.已知x、y都是正数,(1)如果xy=15,则x+y的最小值是;

(2)如果x+y=15,则xy的最大值是.

解析:(1)x+y≥2QUOTE=2QUOTE,即x+y的最小值是2QUOTE;当且仅当x=y=QUOTE时取最小值.(2)xy≤(QUOTE)2=(QUOTE)2=QUOTE,即xy的最大值是QUOTE.当且仅当x=y=QUOTE时xy取最大值.答案:(1)2QUOTE(2)QUOTE能力提升8.(2022年高考陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则(A)(A)a<v<QUOTE (B)v=QUOTE(C)QUOTE<v<QUOTE (D)v=QUOTE解析:设甲、乙两地相距s,则小王用时为QUOTE+QUOTE,∵a<b,∴v=QUOTE=QUOTE<QUOTE=QUOTE.又v-a=QUOTE-a=QUOTE>QUOTE=0,∴v>a.故选A.9.(2022清远市高二期末)若a>0,b>0,ac=1,则QUOTE+QUOTE的最小值为.

解析:QUOTE+QUOTE=QUOTE=2c+a≥2QUOTE=2QUOTE,当且仅当a=2c=QUOTE时,等号成立.∴QUOTE+QUOTE的最小值为2QUOTE.答案:2QUOTE10.(2022雅安高二期末)设x,y,z为正实数,满足x-2y+3z=0,则QUOTE的最小值是.

解析:2y=x+3z≥2QUOTE,∴y≥QUOTE,y2≥3xz,当且仅当x=y=3z时取等号.∴QUOTE≥3.答案:311.已知a,b,c为不全相等的三个正数,求证:QUOTE+QUOTE+QUOTE>3.证明:QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE-3=(QUOTE+QUOTE)+(QUOTE+QUOTE)+(QUOTE+QUOTE)-3,∵a,b,c都是正数,∴QUOTE+QUOTE≥2QUOTE,即QUOTE+QUOTE≥2,①同理可证:QUOTE+QUOTE≥2,②QUOTE+QUOTE≥2.③①②③式两边分别相加得:(QUOTE+QUOTE)+(QUOTE+QUOTE)+(QUOTE+QUOTE)≥6.④∵a,b,c不全相等,∴①②③不能同时取到等号,∴④取不到等号,∴(QUOTE+QUOTE)+(QUOTE+QUOTE)+(QUOTE+QUOTE)>6.即QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE>6,∴QUOTE+QUOTE+QUOTE>3.12.已知a>0,b>0,a+b=1,求证(1+QUOTE)(1+QUOTE)≥9.证明:法一因为a>0,b>0,a+b=1,所以1+QUOTE=1+QUOTE=2+QUOTE,同理1+QUOTE=2+QUOTE,故(1+QUOTE)(1+QUOTE)=(2+QUOTE)(2+QUOTE)=5+2(QUOTE+QUOTE)≥5+4=9.所以(1+QUOTE)(1+QUOTE)≥9(当且仅当a=b=QUOTE时取等号).法二因为a,b为正数,a+b=1.所以(1+QUOTE)(1+QUOTE)=1+QUOTE+QUOTE+QUOTE=1+QUOTE+QUOTE=1+QUOTE,ab≤(QUOTE)2=QUOTE,于是QUOTE≥4,QUOTE≥8,因此(1+QUOTE)(1+QUOTE)≥1+8=9(当且仅当a=b=QUOTE时等号成立).探究创新13.(2022濮阳高二期末)已知不等式(x+y)(QUOTE+QUOTE)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正