数学课件班206高考与高校自主招生讲义

2016高考与高校自主招生数学讲义2016年1月大学附属中学

尹述喜集合是现代数学的基石，是组合数学的基础。以集合为载体可以承载丰富的知识、方法和数学思想，可以有效的考查数学阅读能力、即时学习能力、创新意识等素质能力。逻辑作为一门研究思维的科学，与学习生活有着情丝万缕的联系，在科学中尤其是数学中运用非常广泛，因此集合与逻辑是自主招生，保送生考试，高考以及竞赛命题中的重要素材。集合与命题在自主招生考试中一般是以小题形式出现，但偶尔也会综合其他知识点出现在大题中。第一讲集合与命题解析：集合x

2

x

U

是函数

y

1的值域，所以U

1,

2；A集合

是不等式1x

1

2x

1x

1

x

1

1

的解集，即为不等式组的解集，U2

所以A

1,2；所以ð

A

1

,1

2,

.故选C.1.

已知U

{y

|

y

2x

,x

1}，A

{x

|1

1}x

1U则C A

（A.

[1/

2,

2]

B.[2,)

C.[1/

2,1]

(2,

)

D.

[1/

2,1)

(2,

)典型例题当x

2,

3

时，2

x2

2,7

A,满足要求；当

x

0,

1时，

2

x2

2,1

A,

不满足要求。从而B

2,3，其元素的和为5例:(2013

年

高中竞赛

1)

设集合

A

{2,

0,1,3}，集合B

{x

x

A,

2

x2

A}.则集合B

中所有元素的和为

.解：由x

A

知B

2,0,1,3，例:设A

B

C

1,2,3,

4,5且A

B

1,3，则符合此条件的A,B,C共有多少组（注：A，B，C顺序不同为不同组）A

500

组

B

75

组 C

972

组

D

125

组解题分析：首先要弄清A，B，C顺序不同为不同组的理解：即

A

1，2，3,B

1,3,4,C

3,5

与A

1,3,4,B

1，2，3,C

3,5

为不同的组；其次再考虑用分类

的方法求解，实际操作发现分类种类太繁琐，由此可知，这并不是命题人题意图，所以另辟蹊径，考虑数形结合的方法，因为这是解决集合问题的通性通法。（2013

年福建数学（理）第

10

题 设

S,T,是

R

的两个非空子集,如果存在一个从S

到T

的函数y

f

(x)

满足:(i)T

{

f

(x)

|

x

S};(ii)

对任意x1,x2

S,当x1

x2

时,恒有f

(x1)

f

(x2

),那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是(

)A.

A

N*,

B

NB.A

{x

|

1

x

3},B

{x

|

x

8或0

x

10}C.

A

{x

|

0

x

1},

B

RD.

A

Z,

B

Q解：对于A，由题意(i)可知，S为y

f

(x)的定义域，取f

(x)

x

1,x

N

,y

N

，满足题意；

2

对于C，取f

(x)

tan

x

1

，满足题意；排除D。8,

x

1,对于B，取f

(x)

5

(x

1),

1

x

3,2满足题意对于D，假设存在f

x

满足要求，且y1

f

(x1

),y2

f

(x2

)因为x1

x2

，有f

(x1

)

f

(x2

)，即

y1

y2x1,x2

包含于Z，

y1,y2

包含于Q，不妨取x1

1,x2

2

，1,2只有两个元素，而y1,y2

中有无限多个有理数，说明存在y1,y2

中的数，没有原象，与双射例:对于集合1,2,...,n和它的每一个非空子集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序，然后从最大的数开始交替地加减各数（例如1,2,4,6,9的交替和是9-6+4-2+1=6，而5的交替和就是5）。对于n

7

，求所有这些交替和的总和。C06

C1

C2

C3

C4

C5

C6

26

646

6

6

6

6

6由于1，2，…,6在交替和中有32次系数为负，32次系数为正，例2：（2010等五校联考）已知f

x是定义在R

上的奇函数，且当x

0

时，f

x单调递增，f

1

0

，设

x

sin2

x

m

cos

x

2m,，集合：M

m

x

0,

,

x

0

N

m

x

0,

,

f

x

0,

2

2

求M

N解：根据题意可知：当x

0

时，f

x

也是单调递增函数，且f

1

0

，f

x

0

x

1或0

x

1

则

N

mx

0,

2

,

x

1或0<

x

1,所以：M

N

m

x

0,

,

x

1

2

方法1：方法2

判别式法：2

t令y

2

t

2(0

t

1)

，去分母整理得：t2

yt

2y

2

0

①，因为①有实根，所以

y2

4(2y

2)

0

y2

8y

8

0y1

4

2 2,

y2

4

2

2这时，t22

0

，

t1

t2

2

(4

2

2)t

6

4方法3

导数法：2

0,12

t

2y

(0

t

1)2

ty/

2t(2

t)

2

t2

t2

4t

2(2

t)2(2

t)2y/

0

t2

4t

2

0

t

2

2方法4

均值不等式法解（I）：集合0，1，2，3不具有性质P

．因为0

A

，而0

A

。集合1，2，3具有性质P

，其中形如(a，b)是有序数对如下：(1，3)，(3，1),2,3,3,2,

1,

2,

2,

1（-1，-1）

（2,2）

（3,3）其相应的集合S

和T

是S

(1，3)，(3，1)T

(2，1)，2，3(a1

,

a1

)(a1

,

a2

)(a1

,

a3

)(a1

,

a4

)(a1

,

ak

)(a2

,

a1

)(a2

,

a2

)(a2

,

a3

)(a2

,

a4

)(a2

,

ak

)(a3

,

a1

)(a3

,

a2

)(a3

,

a3

)(a3

,

a4

)(a3

,

ak

)(a4

,

a1

)(a4

,

a2

)(a4

,

a3

)(a4

,

a4

)(a4

,

ak

)(ai

,

ai

)(ak

,

a1

)(ak,

a2

)(ak,

a3

)(ak

,

a4

)(ak,

ak

)可见，S

中元素的个数不多于T

中元素的个数，即m

≤n

；另一方面：对于(a，b)T

，根据定义，a

A

，b

A

，且a

b

A

，从而(a

b，b)

S

．如果(a，b)与(c，d)是T

的不同元素，那么a

c

与b

d中至少有一个不成立，从而a

b

c

d

与b

d

中也不至少有一个不成立，故(a

b，b)与(c

d，d

)也是S

的不同元素．可见，T中元素的个数不多于S

中元素的个数，即n

≤m

。由（1）（2）可知，m

n

。第二讲

函数与方程x

3（2014

卓越 第

1

题）

2x2

1

0

的解集所以5

)x

(

1 5

,

1),

x

(1,12

2解：

x

3

2x2

1

0

x

3

2

x

2

1

0

(

x

1)(

x

2

x

1)

0

(

x

1)(

x

1

5

)(

x

1

5

)

02

2又

x

0

，所以1

x

1

5

，2例：（2012华约2）.求方程x

11

6

x

2

x

27

10

x

2

1实根的个数。解：

x

11

6

x

2

x

27

10

x

2

(x

11

6

x

2

x

27

10

x

2

x

2

3

x

2

5x

2

5

所以

x

2

3

x

2

3

(x

2

5)

2所以原方程没有实根。因为

a

b

a

b

a

b

x

2

3(

x

2

3)2x

2

5)2

x

2

55

，求2例：（

大学）已知x

1

1

3

x4

x2

的值xx31

1

3

x4

x2xx31

1

3

x31x22

2x2x31

3x

(x

1)

1

x

5x1x300例：（复旦大学）数x

满足x

1

1，求x300

x解：因为x

1

1，所以x2

x

1

0

，x又

3

0

，所以x

为虚数因为x3

1

x

1(x2

x

1)

0

，x3

1x3001x300

2所以

故1,

,

z3

1

的三个根是

1

3i

,

1

3i

,2

21

2

0,2

,

1设

f

n

2n

1对n

3k

k

1成立3解：f

(2)

f

(4

2

1)3

f

4

2

f

1

7

21

33

3f

(3)

f

(1

2

4

)

f

1

2

f

4

1

2

7

5.3

3f

(

a

2b)

f

a

2

f

b

,3

33

f

(a)

3

f

(

a

2b)

2

f(b)（2014

年北约第3

题）.已知函数f

x，满足f

(

a

2b)

f

a

2

f

b

,3

3A.

4027

，

B.f

1

1,

f

4

7,

则f

2014

（）4028，

C.

4029，

D

.

4030则f

3k

1

3

f

k

1

2

f

1

32(k

1)1

2

6k

1f

3k

2

3

f

k

2

2

f

2

6k

3f

3k

3

3

f

k

3

2

f

3

6k

5

f

n

2n

1

n

N

,f

2014

4027.令a

3k

1,

b

1解：由题意，x2

2ax

a

0

有实根，所以

4a2

a

0,

所以a

,01,函数

f

x

lg(x2

2ax

a)

的定义域是R

，则a

的取值范围是（

）。

4a2

a

0

0

a

1（2014

北约第4

题）.函数f

x

lg(x2

2ax

a)的值域是R

，则a

的取值范围是（

）A.

0

a

1,B

,

0

C

1,

D.

,

0

1,解：由y

x2ax2

8x

b1得：

y2

a

b

y

ab

16

0a

b

10

a

b

5(

y

a)x2

8x

y

b

0当y

a

时

64

4

y

a

y

b

0ab

16

98当y

a

时

x

a

b例：(2013

年

高中数

合竞赛一试第

5

题)

设a,

b

为实数，函数f

(x)

ax

b

满足：对任意x

[0,1]，有f

(x)

1.则ab

的最大值为

.解法1：由

f

1

a

b

f

0

bf

2

1f

2

12f

1

12141414ab

f

1

f

0

f

0

f

02当且仅当f

0

1

f

1，且f

1

1，即a

b

1

时，上式等号同时成立。2故ab

的最大值为14a

f

1

f

0

b

f

0f

1

a

b解法2：

f

0

bab

(

a

b)2

1

f

2

(1)

12

4

4当且仅当a

b

，且f

1

a

b

1时，即a

b

1

时，上式等号同时成立2故ab

的最大值为14例：（2007）解方程组xy

2x

y

1

yz

2z

3y

8xz

4z

3x

8解：xy

2x

y

1

xy

2x

y

1

xy

2x

y

2

1

x

y

2(

y

2)

1

(

y

2)

x

1

1x

1

y

2

1(1)xy

2x

y

1xz

4z

3x

8

yz

2z

3y

8

y

2z

3

2

(2)z

3x

4

4

(3)(2)(1)(3)

x

1x

4

21

2

1

21

22

x

2,

x

3;

y

3,

y

5

;

z

1,

z

1;例：（2008复旦）在复平面上，满足方程zz

z

z

3的复数Z

所对应的点构成的图形是（

）A．圆 B.两个点 C.线段 D.直线解：zz

z

z

3

z

1z

1

4

z

1z

1

z

12

4

z

(1)

2所以Z是以（-1,0）为圆心，以2为半径的圆zz

z

2

z

2

a

z

a

z,

a

R解：设x1,x2

,x3

是方程x3

px2

qx

1

0

三个实根，321

2

3

1

2

1

3

2

3

1

2

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx3

px2

qx

1

x

x

x

x

x

x

1

2

33x1x2

x3

1

x1

x2

x3

p

x1x2

x1x3

x2

x3

q因为p

0,q

0

，x1

0,x2

0,x3

0pq

x1

x2

x3

x1x2

x1x3

x2

x3

33

x1x2

x1x3

x2

x3

9x,

y,

z

R

,

3xyz

x

y

z

y

1

x2

x2

8x

15,（2013年新课标1（理））若函数f

(x)=(1

x2

)(x2

ax

b)的图像关于直线x

2对称,则

f

(x)

的最大值是

.解：因为x

1是f

(x)的零点，根据对称性可知-3，-5也是零点，从而

a

8,b

15x3x

2x2

4x

1

0故

x

2

5

时，

y

取得极大值也是最大值，最大值为

16.y/

4x3

24x2

28x

8

x1

2,

x2

2

5,

x3

2

6x2

7x

2

x3

2x2

4x2

8x

x

2

(x

2)(x2

4x

1)5解法2：因为x

1

是f

(x)的零点，根据对称性可知-3，-5也是零点，3,5

是方程x2

ax

b

0

的两个根。从而a

8,b

15(1

x2

)(x2

ax

b)

(1

x2)(x2

8x

15)

(1

x)(1

x)(x

3)(x

5)2

(x

3)(1

x)(x

5)(1

x)

(x2

4x

3)(x2

4x

5)2

x

22

1

9

x

22

2

2

x

2

1

9

x

2

2

4

16当且仅当x

22

5

x

2

5

等号成立当

x

2

5

时，

y最大值为

16.解法3：同解法2f

(x)

(1

x2

)(x2

8x

15)

(1

x)(1

x)(x

3)(x

5)f

(x)

(x2

4x

3)(x2

4x

5)令

t

x2

4x

(x

2)2

4

4f

(t)

(t

3)(t

5)

t

12

16

16

t

12

当t

1时，f

(x)max

16例：2013

北约3．已知x2

2y

5,y2

2x

5

，求x3

2x2

y2

y3

的值.解：

x2

2

y

5

①，

y2

2x

5

②①-②得：(x

y)(x

y)

2(

y

x)x

y

2x2

y2

(2y

5)

(2x

5)

2(x

y)

10

6xy

(x

y)2

(x2

y2

)

12x3

2x2

y2

y3

x

y

x

y2

3xy

2x2

y2

x3

2x2

y2

y3

16例：已知a1、a2、a3、、a2013

R

，满足a1

a2

a3

a2013

0

，

a2

2a3

a3

2a4

a2012

2a2013

a2013

2a1

，且a1

2a2求证：a1

a2

a3

a2013

0.解：根据条件知:(a1

2a2

)

(a2

2a3

)

(a3

2a4

)

(a2013

2a1)

(a1

a2

a3

a2013

)

0(a1

2a2

)

(a2

2a3

)

(a3

2a4

)

(a2013

2a1)

k

m

(2013

k)(m)

(2k

2013)m(2k

2013)m

0而2k

2013为奇数，不可能为0，所以m

0

.于是知：a1

2a2

,

a2

2a3

,

a3

2a4

,,

a2012

2a2013,

a2013

2a1a2

a3

a2013

0命题得证.20131

11

a

(

1

)2012

2a

a

(1)

2012a2

2解题分析：a

b

0

a

b

f

a

f

b例：（2012

华约

3）．设函数

f

x

x

ln

x 1

x2

，则对于任意的实数a,b

，a

b

0

是f

a

f

b

0

的A．必要不充分，

B。充分不必要，C。充分且必要

D。既不充分也不必要。

f

a

f

b

f

a

f

b

0第三讲

函数及其性质g

x

ln(x

1

x2

)g

x

g

x

ln(x

1

x2

)

ln(x

1

x2

)

ln1

0解：设所以

f

x

x

ln

x 1

x2

在R

上是增函数，故：a

b

0

a

b

f

a

f

b

f

a

f

b

f

a

f

b

0

选Ch

x

x

1

x2

x1

x2

h

x

h

x

(x2

1

x

)

(

1

x21

221

1

x2

)212(

1

x

1

x2

)

x

)

21

x2

)(

1

x2

1

21(

1

x2

1

x2

)2

1

(x2

1x2

x2(x2

x1)

2

1

( 1

x2

1

x2

)任取，x2

x121

(x

x

)(1)

0(

1

x2

1

x2

)2

1数2012

赛6．设f

(x)是定义在R上的奇函数，且当x

0

时，f

(x)

x2

，若对任意的x

[a,

a

2]

，不等式

f

(x

a)

2

f

(x)

恒成立，则实数a

的取值范围是

.解：因为f

(x)是定义在R上的奇函数，且当x

0

时，f

(x)

x2

，故

f

(x

a)

2

f

(x)

f

(x

a)

f

(

2x)因为

f

(x)

是

R

上的增函数，所以x

a

2xa

( 2

1)x

( 2

1)

a

2

a

2当x

1

时，f(x)

ln(x

1)

ln

2,2所以f

(x)l,x2

2x

11例：(2014年卓越).设f

x

ln(x

1) (x

)2(x

1

)2

，

g(x)

x2

4x

4

，对于任意的a

R,b

使得f

(a)

g(b)

0

，求b

的取值范围。故只要g

b,1

就存在b

使得f

(a)

g(b)

0b2

4b

4

1

b

1,51

12

x解：当

x

时，

2，0，xf

(x)

(

1

1)2

11,

0又f

(a)

g(b)

0

g(b)

f

(a)（2014

北约第8

题）.已知实二次函数f

x和gx满足，f

x

gx和3f

x

g(x)0都只有一对重根，f

x

0有两个不相等的实根，证明：gx

0无实根。证明：设

f

x

ax2

bx

c,

g

x

dx2

ex

f

,由f

x

g

x

(a

d

)x2

(b

e)x

(c

f

)

0,3

f

x

g(x)

0

(3a

d)x2

(3b

d)x

3c

f

0因为上述一元二次方程有相等实数根①3+

②

得：

3b2

e2

12ac

4

fd注意到b2

4ac

0,所以g

x

0

无实根。g

x

e2

4df

3b

4ac

02(b

e)2

4(a

d

)(c

f

),

①同理有：(3b

e)2

4(3a

d

)(3c

f

)，②例：(2014卓越理科第11题)：设函数f

x

满足f

xy

f

x

f

y,x,y

,00,

且x

1

时，f

x

01

证明f

x

是偶函数且f

x在区间0,上单调递增；2设函数g

x

f

x2

ax

a在区间0,1

内单调递增，求实数a

的取值范围。证明：（1）任给x

,00,

，有

2112f

(x

)2f

x

f

x

f x

1f

x

f

x

f

x

2

所以f

x

是偶函数。

f

1

0,

取y

1得f

x

f

x令x

y

1，则有f

1

f

1

f

1

f

1

0

，任给x

0

，有f

x

f

(1)

f

1

0

f

x

f

(1)x

x设x2

x1

0,2

121

f

x

f

(x

)

f

x

f

(

1x)(

x21x21f

( )

0x1)xx所以f

x2

f

(x1

)，故f

x在区间0,

上单调递增f

xy

f

x

f

y

f

xy

f

x

f

y

f

(

xy

)

2211f

x

f

(x

)

f

()

0xx（Ⅱ）令h(x)

x2

ax

a

，其图形的对称轴为x

a2当

a2

4a

0

时，h

x

0

有两个实根a2x1

a

4a2

2a2a

4a,

x2

（1）当4

a

0

时，

0,

所以h

x

0

，要使g

x在区间0,1

内单调递增，需满足

a

0

，即a

0

，故4

a

02（2）当a

4时，

0,要使g

x在区间0,1

内单调递增，21

2需满足0,1

(x

,a

)，或者0,1

(x

,)，a2

4a

0

，所以

a

1

（舍），或

x

0

，即

a

2

22解得a

0

，故a

4（3）当a

0

时，

0,要使g

x在区间0,1

内单调递增，21

2需满足0,1

(x

,a

)，或者0,1(x

,)，21

2所以

x

0

且

a

1

，或者x

0

（舍），综上可得，a的取值范围为,02,

第四讲

函数与导数补充知识解析：因为x

1,2,f

'x

x

f

x

0

，所以x

f

x'

0

，x

x

x

max即

2

2

x

m

0

，即m

x

1

.所以m

x

1

.因为y

x

1

在x

1,2上单调递增，所以m

5

.x

2故选D.12.已知函数f

(x)

2

ln

x

(x

m)2x，若存在x

[1,2]使得f

'(x)

x

f

(x)

0

，则实数m

的取值范围是（

）A.

(－∞,

2)B.

(2,

5)2C.

(0,

5) D.

(－∞,

5)2

2解析：考查导数及二次不等式[

2

2(x

m)]x

[2

ln

x

(x

m)2

]f

'(

x)

x

x2因此f

'(x)

x

f

(x)

2

2(x

m)

0x不等式可转化为g(x)

x2

mx

1

0,

x

[1,

2]2本题要求存在x

，即g(1)

0

或g(2)

0

m

5若要求恒成立，则根据对称轴x

m

的位置分类2当1

m

2

时g(m)

0

m

，当m

1

时g(1)

0

m

22

2

22当m

2

时g(2)

0

m例：（2009年）x

0,

y

0,

x

y

1,n

N

，求证x2n

y2n122n1解法1：为起见将x,y

分别换成a,b

，122n1求证a2n

b2n

(

a

0,

b,

a

b

1,n

N

)构造函数y

x2n

，(n

N

)先证明它是凸函数y/

2nx2n1

y//

2n(2n

1)x2n2

0因为故y

x2n

，n

N

是R

上的凸函数（下凸）a2n

b2n因此

(

)2

na

b

12

n2

(

)22所以a2n

b2n122n12

2解法2：令x

cos2

,y

sin2

x

1

cos2

,y

1cos

2x2n2n2n1

cos2

1cos

22

2

y

()

()2n0222n2n2n

2n2n2n2n12n2n12n

1(

)2cos

Ccos

2C

C1cos

2

Ccos

2

C222n2n2n2n2n2n2n1

C1

cos

2

C2n

1(

)22n

C0cos

2

Ccos

22n1cos

C1(

)22n2n2n2n2n2n12n0

22C

2C2

cos

2

1

2C

2cos

2

(

)2当且仅当cos2

0

时，即x

y

1

时，等号成立。所以x2n

y2n

122n1例：（2000交大联读班）函数f

x满足对于任意x,y

R

，f

x

y

f

x

f

y

xy

x

y,又f

/0

1，求函数f

x

的表达式解：令x

y

0

，得f

0

0

，视y

为常数，对f

x求导f

/

x

y

f

/

x

0

2xy

y2

,再令x

0

，f

/y

1

y2

,3所以f

x

1

x3

x

c

（C为常数）因为

f

x

0

所以c

0

，

f

x

1

x3

x3例：定义在R

上的函数f

(x)满足f

(x

y)

f

(x)

f

(y)2xy（x，yR

），f

(1)

2，则f

(x)高等数学sin

x

的泰勒展开式：sin

x

x

x3

57

x

x3!

5!

7!,

x

R例：（2010大学）求证：x3sin

x

x

62

,

x

0,

例：（2013卓越 ）设x

0（1）求证：ex

1

x

1

x2

；2（2）

ex

1

x

1

x2ey

，证明：0

y

x

。2解：（1）令f(x)

ex

(1

x

1

x2

),x

02f

/(x)

ex

1

x,

f

/

/

(x)

ex

1,

f

/

(0)

0当x

0

时，f

//(x)

0

f

/(x)单调递增，且f

/(x)

f

/(0)

021

1从而f

(x)在0,单调递增，所以f

(x)

f

(0)

0

，即ex

1

x

1

x2（2）由（1）知，1

x

x2ey

1

x

x2

ey22

1

y

0h//

(x)

2ex

2xex

2xex

x2ex

2ex

4xex

x2ex

0h/

(x)

ex

x

ex

xex

1

x2ex

ex

ex

(2x

2

1

x2)

02

2所以h(x)在0,

单调递增，故h(x)

0

，进而F(x)

0

，所以y

x证明：因为ex

1

x

1

x2ey

，所以ey2

2(e

x

1

x)x2exx2x2x2

2ex

2

2x2(ex

1

x)F

(x)

ex

ey

ex

h(x)

x2ex

2ex

2

2xh(0)

0h/

(x)

2xex

x2ex

2ex

2h/

(0)

0日中值定理模型若函数f

x满足如下条件：1f

x在闭区间a,b上连续；2f

x在开区间a,b内可导。则在a,b内至少存在一点

，使得f

b

f

a

f

/

b

a，此即为

日中值定理。f

/

(

)

f

b

f

a

,

x

a,bb

ax1

2解（2）

f

/(x)

a

1

2ax,由日中值定理得，在x

,

x

/1212内至少存在一点

，使得

f

x

f

x

f

x

x

。例：（2010

辽宁卷）已知函数f

(x)(a

1)ln

x

ax2

1（I）

函数f

(x)的单调性；（II）设a

1.如果对任意x1,x2

(0,)，f

(x1)

f

(x2

)

4

|

x1

x2

|，已知f

x1

f

x2

4

x1

x2

，即

/12

4

x1

x2f

x

x所以f

/

4

，又

0

，且a

1

，所以

f

/

a

1

2a

2

2a

a

1则必有2 2a

a

1

4

a

2

或a

1，由题设可知a

1所以a

,2（2014

卓越11

题）.已知函数f

x为R

上的可导函数，对于任意的x0

R

，有0

f

x

x

f

x

4x,/

/0

0x

0

.0

00/0（1）对于任意的x

R

，证明

fx

(x

0)

;f x

x

f

xx（2）若

f

x

1,

x

R

，证明

f

/

x

4,x

R

.0

f

/x

x

f

/x

知，f

/(x)为单调递增函数0

0证明：（1）由利用 日中值定理可知:f

x

x0

f

x0

f

/

(x

x0

)

x00

0其中

x

,

x

x所以

00//0(x

0)f x

x

f

xf

x

f

x（2）若存在f

/

4,

R

，则在,

上，f

/x

4,f

x

f

f

/

x

4

x

,

(

,

x,

x

,

取f

x

f

4x

1,但由于

f

x

1，所以

f

x

f

2

，

；同理在

f

/

4

时也可得

结论。故结论成立。另外，如果存在

使得f

/

4

，那么对于任意的x

,

都有f

/x

4

，取x

使得