江苏省南京市某高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试卷 Word版含答案

2021-2022学年第一学期第一次月考高二数学(总分160分，考试时间120分钟)

【答案】3【解析】如图：作出可行域ｙ一、填空题：共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．抛物线y24x的准线方程．Ａ【答案】x1 Ｂxp ｘ【解析】抛物线y22px(p0)的准线方程为 2x2 y2双曲线9－4＝1的渐近线方程是 ．2

目标函数：z2xy，则y2xz当目标函数的直线过点B(1,1)时，Z有最小值Zmin2xy3.【答案】

x3y0．x2 y2

7．已知p：x22x30，q：xa．若p是q的充分不必要条件，则实数a的最大值．9－4＝0得2x3y0．3．若f(x)exx，则f'(0) ．【答案】0【解析】由于f'(x)(exx)'(ex)'1ex1，所以f'(0)1-1=0．4.在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝lnx在x＝e(e为自然对数的底处的切线与直线ax－y＋3＝0垂直，则实数a的值．【答案】－e

【答案】3x22x30知3x1a3时p是qa的最大值为3．x2y218．已知椭圆25 9 上一点P到左焦点的距离为4，则点P到右准线的距离．1521 1 【解析】由题2a10，由于点P4，所以点P6．xe【解析】由于y′＝x，所以曲线y＝lnx在x＝e处的切线的斜率k＝y′＝e.又该切线与直线ax－y＋3＝xe1直，所以a·

1a＝－e.

6e4 d 15e＝－

设点P到右准线的距离为d

5，即 2．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程．【答案】(x－2)2＋(y＋3)2＝5

9M是圆(x5)2y3)29【答案】8

到直线l

3 4 20x x (2，－3)r＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝5.∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.

d 255【解析】圆心到直线距离为 5

，最大距离为dr538.

x,

x4y33x5y25x1满足 ，

z2xy

的最小值 ．

若命题“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围．【答案】(2，＋∞)【解析】“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则其否定“对任意x∈R，ax2＋4x＋a>0”为真命题，当aa>，＝0,4x>0不恒成立，故不成立；当a≠0时，Δ＝1－a2<，

解得a>2，所以实数a的取值范围是(2，＋∞)．xy20x，y满足约束条件x2y20，则x2y2的取值范围.2xy20【答案】

0,8【解析】作出可行域如图:

14 x2 y2 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为

，长轴长为4，过椭圆的左顶a2 b2 2Alx2＋y2＝a2P，Q.PQ＝λAPλ的取值范围为 ．【答案】0<λ<1【解析】解法1 λ PQ

AQ－AP AQx2y20x2y28.

＝AP＝2＋2＝，

AP ＝AP－1l：y＝k(x＋2)，由＝2

得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，即(x＋2)[2k2＋1x＋4k2－2]＝0，2－4k2

2－42

4k

2－42

4k

16＋16k2所以x

＝－2,x＝

，得P

，

＋22＋

，即AP＝，11F，11

F是椭圆的左右两个焦点，过2ABF2

F且与椭圆

A4 k2＋1

P 2k2＋1 2k2＋1 2k2＋1 2k2＋1 2k2＋1

2k2＋12长轴垂直的直线交椭圆与A，B两点．则椭圆的离心率为 ．3

2是正三角形，

.2k2＋14同理AQ＝

.所以λ AQ ＝ ＝

4k2＋1

－1＝1－2

.由于k2>0，所以0<λ<1.【答案】3

k2＋12＋＝，

4 k2＋12k2＋1

k＋1

4k 4kam3 2am

x得(k2＋1)y2－4ky＝0y

y

，由解法1知，λ＝

m

22m，2a，即 2 ，2

＝2 4k

k2＋1

P 2k2＋11AQ y1

k2＋1 13 c 3

AP－1＝

Q－1＝4k －1＝1－ .F

3m2c c

m e ，所以 a 3．

yP2k2＋1

k2＋1，即1 2，即由于k2>0，所以0<λ<1。13.CAPB＝90°，

二、解答题：本大题共6小题，共90分．把解答写在答题卡中．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．则m的最大值为 ．【答案】6

f1（本题满分14分）已知函数

x

x3x16.CP使∠APB＝90CAB32＋42－1≤m≤32＋42＋1，即4≤m≤6.

yf（1）求曲线

x在点

处的切线的方程；（2）求满足斜率为4的曲线的切线方程．（1）

fx3x21

，由于切点为

6

，所以切线的斜率

kf2

，则切线方程y613x2为 ，

13xy32

.………………6分

1（本小题满分16分）已知双曲线以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，双曲线的渐近线方程为3x4y0，且过A(5 9x,y（2）设切点坐标为0

，由已知得

fx0

4

3x214 x，即0 ，

1，

，4)。Cˊ的标准方程；y216xM的标准方程；切点为

时，切线方程为

y14

x1

，即4xy180；切点为

时，切线方程为

y184x1，即

4xy140 14分

在条件下，已知点，且CD分别为椭圆M的上顶点和右顶点，点P是线段CD上的动点，求APBP的取值范围。16.（14）C：x2＋y2－8y＋12＝0l：ax＋y＋2a＝0.(1)alC相切；(2)lC、BAB＝22l的方程．Cx2＋y2－8y＋12＝0x2＋(y－4)2＝4(0,4)，半径为2.

x2y21【解析（1）16 9 5分x2y21lC

|4＋2a| 3＝2.解得a＝－4 6分

椭圆M的标准方程：25 9 ；… 9分a2＋1CCD⊥AB，则依据题意和圆的性质，

P(x0

,y0

APBPx20

y210 ；C＝|＋2a|，

CD:3x5y150(0x5)a2＋1得CD2＋DA2＝AC2＝22，得1

d 153215325215 34DA＝2AB＝2.

则当OPCD时，取到最小值，即： ；解得a＝－7，或a＝－1.故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0. 14分

191APBP24当P在D点时，取到最大值：OD5，∴34 。… 16分17（本题满分14分）已知a为实数，p：点M(1,1在圆(xa)2(ya)24的内部；q：xR,都有x2ax1≥0.p为真命题，求a的取值范围；p且qpq”为真命题，求a的取值范围．【解析（1）由题意得，(1a)2(1a)24，解得a1，故p为真命题时a的取值范围为(1,1)． 6

C(t,2)(tR,t0)19.(本小题满分16分)已知以点 t 为圆心的圆与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.求△AOB的面积；OMON设直线2x+y-4=0与圆C交于点N,若 ,求圆C的方程；在(2l:x+y+3=0，AlCB，CA的横坐标的取值范围．（2）pq一真一假，从而

(xt)2(y2)2t24

x22txy24y0 1a1,

【解析(1)由题设圆C的方程为 t t2

,化简得 t

,当y=0当p真q假时有a或a2, 无解；a≤1或a≥1,p q p q 2≤a≤当假真时有 解得2≤a≤1≤a≤2．

41212时,x=02tA(2t,0;当x=0,y=0t1212

4B(0, )t ,∴实数a的取值范围是14分

S AOB∴

OAOB

2t

44t………………54tOMON

y＝kx，

24x2＝ ，(2)∵

,则原点O在MN的中垂线,设MN的中点为则CH⊥MN,∴CHO三点共则直线 1

1 1＋2k2联x2 y2 解得 12 24

＝ 1.ktOC的斜率

21t2 2,∴t=2t=-2(x2)2(y1)2

(x2)2(y1)25

＋＝1，241＋k2所以x2＋y2＝ 1.11 1 1＋2k21241＋k2

24k211 1＋2k21∴圆心C(2,1)或C(-2,-1)∴圆C的方程为 或

,由于当圆方程为

同理，x2＋y2＝

2.(13分)(x2)2y1)252x+y-4=0d>rC

2 2 1＋2k2212由于kk＝－，为(x2)2(y1)25 11分

12 2所以OP2＋OQ2＝x2＋y2＋x2＋y2lCACC

1 1 2 2241＋k2 241＋k25 5 ＝1＋21＋1＋22k2 k2从而∠CAQ≥30°.CQ＝

，所以CA≤2 .设A(x0,-3－x0)，则CA2＝(x－2)2＋(-3－x－1)2≤20，解得 1 2 10 0 -2≤x0≤0. 16分

241＋－ 22241＋k2

2k＝ 11＋2k2

1 120.(

x2 y2

1R(x，y)C上

1 1＋2－2k2本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：24＋12＝ 0 0

136＋72k2的任一点，从原点O向圆R：(x－x)2＋(y－y)2＝r2作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.直线OP，OQ的斜率 ＝

1＝36.当直线OP，OQ落在坐标轴上时，明显有OP2＋OQ2＝36.0 0存在，并记为k，k。

1＋2k21综上所述，OP2＋OQ2＝36. 16分11 2RxCR；

2OP，OQP(x，y)，Q(x，y)．2y1y2

1 1 2 212 2 2kk＋1＝0

＋1＝0，即y2y2＝x2x2.

.①求证k＋1＝0；②试问OP2＋OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明 12 xx

12 41212 12理由．

由于P(x1，y1)，Q(x，y2)在椭圆C上，22 2 121＋1＝1， y2＝12－x2，所24 12

1 21即2＋

2

2＝12－

x2.x2 y224 12

12 22 1

1 1所以12－x2

12－x2

x2x2，整理得x2＋x2＝24， 21 2

412 1 2【解析】(1)由于圆R与x轴相切于椭圆C的右焦点，所以x 2 3

1 1 0=

12－x2

x2＝12，x＝23，

1 2 21

22x2 y2 0

所以OP2＋OQ2＝36.(15分)又由于点R在椭圆C上，所以0＋0＝1.联立①②，解得024 120

y＝±6.

当直线OP，OQ落在坐标轴上时，明显有OP2＋OQ2＝36.所以圆R的方程(x-23)2＋(y±6)2＝6. 4分OP：y＝k1x，OQ：y＝k2xR相切，|kx－y|

综上所述，OP2＋OQ2＝36. 16分10

0＝22(x2－8)k2－2xyk＋y2－8＝0.11＋k21

0 1 001 0同