教学课件 22高中数学等差数列

2.2等差数列2.2等差数列复习回顾:1.数列定义:按照一定顺序排成的一列数,简记作:{an}2.通项公式:数列{an}中第n项an与n之间的关系式

3.数列的分类(1)按项数分：有穷数列，(2)按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，无穷数列摆动数列，常数列。4.数列的实质5.递推公式:

如果已知{an}的第1项(或前n项),且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.复习回顾:1.数列定义:按照一定顺序排成的一列数,简记作:{1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：

0，5，10，15，20，…

2.2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目.该项目共设置了7个级别.其中较轻的4个级别体重组成数列(单位：kg)：48，53，58，63.1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：

18，15.5，13，10.5，8，5.5.

3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放4.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期)。例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个数列：10072，10144，10216，10288，10360.

4.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把48,53,58,6318，15.5，13，10.5，8，5.5.10072,10144,10216,10288,10360问题1：观察一下上面的这四个数列：

①②③④这些数列有什么共同特点呢？0,5,10,15,20

以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数48,53,58,6318，15.5，13，10.5，1.等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列;

这个常数叫做等差数列的公差，

公差常用字母d表示。2.等差数列定义的符号语言：

an-an-1=d，(n≥2)，其中d为常数或（an+1-an=

d

n∈N+）等差数列的定义：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起每一项与它的前一

1、等差数列要求从第2项起，后一项与前一项作差。不能颠倒。

2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正数，也可以是０和负数。等差数列你注意到了吗？1、等差数列要求从第2项起，后一项与等差数列你注是不是不是

练习

判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d,如果不是，说明理由。（1）1，3，5，7，…（2）9，6，3，0，-3…（3）-8，-6，-4，-2，0，…（4）3，3，3，3，…（6）15，12，10，8，6，…小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：an+1-an是不是同一个常数？是是是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=0是不是不是练习判断下列各组数列中哪些是等差数列，判断题(1)数列a，2a，3a，4a，…是等差数列;(2)数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差数列;(3)若an－an+1=3(n∈N*)，则{an}是公差为3的等差数列;(4)若a2－a1=a3－a2,则数列｛an｝是等差数列。已知数列{an}是等差数列，d是公差，则：当d=0时，{an}为常数列；当d>0时，{an}为递增数列；当d<0时，{an}为递减数列；思考：等差数列的公差与该数列的类型（分类）有关系吗？判断题已知数列{an}是等差数列，d是公差，则：思考：等差数探究在如下的两个数之间插入一个什么数之后这三个数会成为一个等差数列。（1）2，___,8 （2）-6，__,0（3）a,____,b探究在如下的两个数之间插入一个什么数之后这三个数会成为一个等等差中项如果a,A,b三个数成等差数列，这时我们称A为a与b的等差中项。利用等差数列的概念可知：

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.等差中项如果a,A,b三个数成等差数列，这时我们称A为a与b求出下列等差数列中的未知项(1):3,a,5;(2):3,b,c,-9;求出下列等差数列中的未知项(1):3,a,5;(2):3当（1）定义法：an+1-an或计算an-an-1(n≥2,n∈N*)（2）中项公式法：时，方法总结：等差数列的判定判断一个数列为等差数列的常见方法有：计算看计算结果是否为与n无关的常数计算看计算结果是否为0.当（1）定义法：an+1-an或计算an-an-1(n≥a2=a1+da3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d……an=an-1+d=a1+(n-1)d(n>1)又∵当n=1时，上式也成立∴an=a1+(n-1)d方法1：∵由等差数列的定义可得迭代法∴已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，通项公式是___________;等差数列的通项公式：

a2=a1+d又∵当n=1时，上式也成立方法1：∵由等差数列a2-a1=da3-a2=da4-a3=d……an-an-1=d(n>1)上述各式两边同时相加，得an-a1=(n-1)d方法2：∵由等差数列的定义可得累加法又∵当n=1时，上式也成立∴an=a1+(n-1)d已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，通项公式是___________;

等差数列的通项公式：

a2-a1=d上述各式两边同时相加，得an-a1=(n-1)等差数列的通项公式：若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则

an=a1+(n-1)d（知三求一）注：a1为首项，n为项数，d为公差等差数列的通项公式：若等差数列{an}的首项是a1，公差是d例1：在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得：∴这个数列的首项a1是-2，公差d=3.注:

等差数列的通项公式中，an,a1,n,d这四个变量，知三求一。例1：在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求例2.在等差数列{an}中，（1）已知a1=2，d=3，n=10，求a10解：a10=a1+9d=2+9×3=29（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n解：∵21=3+(n-1)×2∴n=10（3）已知a1=12，a6=27，求d解：∵a6=a1+5d，即27=12+5d

∴d=3（4）已知d=-1/3，a7=8，求a1，

an解：∵a7=a1+6d8=a1+6×(-1/3)∴a1=10例2.在等差数列{an}中，解：a10=a1+9d=2+9例3.(1)等差数列8，5，2,······的第20项是几？

(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13，·····的项？如果是，是第几项？（2）由题意得，a1=-5，d=-4，an=-401

∵an=a1+(n-1)d

∴-401=-5+(n-1)×(-4)∴n=100∴-401是这个数列的第100项解：（1）依题意得，a1=8，d=5-8=-3∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49例3.(1)等差数列8，5，2,······的第20项是几作业：P40习题2.2A组1作业：P40习题2.2A组1第二课时第二课时解：（1）依题意得

a1+4d=10

a1+11d=31

解得a1=-2,d=3∴a25=a1+24d=-2+24×3=70例1.在等差数列{an}中，a5=10，（1）若a12=31，求a25

；（2）若d=2，求a10，a3；an=am+(n-m)d第二通项公式an=a1+(n-1)d第一通项公式解：（1）依题意得例1.在等差数列{an}中，a5=10，1.等差数列{an}中,a2=－5,a6=a3+6,则a1=_______－72.若{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q=______0练习：1.等差数列{an}中,a2=－5,a6=a3+6例2.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.解：设这三个数分别为a-d，a，a+d

则(a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12

∴a=4

又∵

(a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12

解得d=±2

∴当d=2时，这三个数分别为2，4，6

当d=-2时，这三个数分别为6，4，2练习：若四个数成递增等差数列，中间两个数的和为2，首末两数的积为-8，求这四个数例2.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，设项技巧：（1）若有三个数成等差数列，则可设为（2）若有四个数成等差数列，则可设为设项技巧：（1）若有三个数成等差数列，则可设为（2）若有四个例3.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价10元，即最初的4km（不含4km）计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1

=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费

a11=11.2＋(11－1)×1.2=23.2答：需要支付车费23.2元。P39练习2题例3.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价10元，即例4、已知数列{an}的通项公式为an=pn+q，其中p、q为常数且p≠0，判断这个数列是不是等差数列，并证明你的判断．解：取数列{an}中的任意相邻两项an与an-1(n≥2)

，则∵p是一个与n无关的常数∴{an}是一个等差数列数列{an}是等差数列结论：an=pn+q(p、q是常数)例4、已知数列{an}的通项公式为an=pn+q，其中p、q作业：P40习题2.2A组2,3B组22.在等差数列{an}中,已知am+n=A,am-n=B,则a2m=_____作业：P40习题2.2A组2,32.在等差数列{an}中,第三课时第三课时等差数列的常用性质等差数列的常用性质教学课件22高中数学等差数列教学课件22高中数学等差数列教学课件22高中数学等差数列教学课件22高中数学等差数列为等差数列，求证数列中，，数列公差为的首项为、已知数列例}{43}{,}{41nnnnnbbabbdaa+=}{,21)2(44,4}{练习11是等差数列求证令，满足、已知数列nnnnnnbabnaaaa-=³-==-为等差数列，求证数列中，，数列公差为的首项为、已知数列例}{如何判断一个数列为等差数列(4)等差数列的性质证明一个数列是等差数列有哪些方法呢？如何判断一个数列为等差数列(4)等差数列的性质证明一个数列是作业：3、在等差数列{an}中，a6＝19,a15=46，求a4+a17的值．2、在等差数列{an}中，(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求：a1+a20(2)已知a3+a11=10，求：a6+a7+a8作业：3、在等差数列{an}中，a6＝19,a15=46第四课时第四课时教学课件22高中数学等差数列累加法：累乘法：累加法：累乘法：

例4.已知数列{an}中，求数列{an}的通项公式例4.已知数列{an}中，求数列{an}的通项公式

}{3}{2}{1,21)2(44,4}{111的通项公式）求数列（的通项公式）求数列（是等差数列）求证（令，满足、已知数列nnnnnnnnabbabnaaaa-=³-==-作业：}{3}{2}{1,21)2(44,4}{111的通项公式小结3.等差数列的性质设{an}是公差为d的等差数列，那么(1)an=am+(n-m)d1.数列{an}是等差数列an=pn+q(p、q是常数)2.判断等差数列的方法:(定义法)利用an-an-1是否是一个与n无关的常数(中项公式法)判断an与an+1+an-1的关系小结3.等差数列的性质设{an}是公差为d的等差数列，那么小结1.定义：an-an-1=d（n≥2）或

an+1-an=d

(n∈N*)2.通项公式

an

=a1+(n-1)d

{an}为等差数列3.等差数列的性质an+1-an=dan+1=an+dan=a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）小结1.定义：an-an-1=d（n≥2）或2.通项公式2.2等差数列2.2等差数列复习回顾:1.数列定义:按照一定顺序排成的一列数,简记作:{an}2.通项公式:数列{an}中第n项an与n之间的关系式

3.数列的分类(1)按项数分：有穷数列，(2)按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，无穷数列摆动数列，常数列。4.数列的实质5.递推公式:

如果已知{an}的第1项(或前n项),且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.复习回顾:1.数列定义:按照一定顺序排成的一列数,简记作:{1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：

0，5，10，15，20，…

2.2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目.该项目共设置了7个级别.其中较轻的4个级别体重组成数列(单位：kg)：48，53，58，63.1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：

18，15.5，13，10.5，8，5.5.

3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放4.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期)。例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个数列：10072，10144，10216，10288，10360.

4.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把48,53,58,6318，15.5，13，10.5，8，5.5.10072,10144,10216,10288,10360问题1：观察一下上面的这四个数列：

①②③④这些数列有什么共同特点呢？0,5,10,15,20

以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数48,53,58,6318，15.5，13，10.5，1.等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列;

这个常数叫做等差数列的公差，

公差常用字母d表示。2.等差数列定义的符号语言：

an-an-1=d，(n≥2)，其中d为常数或（an+1-an=

d

n∈N+）等差数列的定义：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起每一项与它的前一

1、等差数列要求从第2项起，后一项与前一项作差。不能颠倒。

2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正数，也可以是０和负数。等差数列你注意到了吗？1、等差数列要求从第2项起，后一项与等差数列你注是不是不是

练习

判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d,如果不是，说明理由。（1）1，3，5，7，…（2）9，6，3，0，-3…（3）-8，-6，-4，-2，0，…（4）3，3，3，3，…（6）15，12，10，8，6，…小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：an+1-an是不是同一个常数？是是是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=0是不是不是练习判断下列各组数列中哪些是等差数列，判断题(1)数列a，2a，3a，4a，…是等差数列;(2)数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差数列;(3)若an－an+1=3(n∈N*)，则{an}是公差为3的等差数列;(4)若a2－a1=a3－a2,则数列｛an｝是等差数列。已知数列{an}是等差数列，d是公差，则：当d=0时，{an}为常数列；当d>0时，{an}为递增数列；当d<0时，{an}为递减数列；思考：等差数列的公差与该数列的类型（分类）有关系吗？判断题已知数列{an}是等差数列，d是公差，则：思考：等差数探究在如下的两个数之间插入一个什么数之后这三个数会成为一个等差数列。（1）2，___,8 （2）-6，__,0（3）a,____,b探究在如下的两个数之间插入一个什么数之后这三个数会成为一个等等差中项如果a,A,b三个数成等差数列，这时我们称A为a与b的等差中项。利用等差数列的概念可知：

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.等差中项如果a,A,b三个数成等差数列，这时我们称A为a与b求出下列等差数列中的未知项(1):3,a,5;(2):3,b,c,-9;求出下列等差数列中的未知项(1):3,a,5;(2):3当（1）定义法：an+1-an或计算an-an-1(n≥2,n∈N*)（2）中项公式法：时，方法总结：等差数列的判定判断一个数列为等差数列的常见方法有：计算看计算结果是否为与n无关的常数计算看计算结果是否为0.当（1）定义法：an+1-an或计算an-an-1(n≥a2=a1+da3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d……an=an-1+d=a1+(n-1)d(n>1)又∵当n=1时，上式也成立∴an=a1+(n-1)d方法1：∵由等差数列的定义可得迭代法∴已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，通项公式是___________;等差数列的通项公式：

a2=a1+d又∵当n=1时，上式也成立方法1：∵由等差数列a2-a1=da3-a2=da4-a3=d……an-an-1=d(n>1)上述各式两边同时相加，得an-a1=(n-1)d方法2：∵由等差数列的定义可得累加法又∵当n=1时，上式也成立∴an=a1+(n-1)d已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d，通项公式是___________;

等差数列的通项公式：

a2-a1=d上述各式两边同时相加，得an-a1=(n-1)等差数列的通项公式：若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则

an=a1+(n-1)d（知三求一）注：a1为首项，n为项数，d为公差等差数列的通项公式：若等差数列{an}的首项是a1，公差是d例1：在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得：∴这个数列的首项a1是-2，公差d=3.注:

等差数列的通项公式中，an,a1,n,d这四个变量，知三求一。例1：在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求例2.在等差数列{an}中，（1）已知a1=2，d=3，n=10，求a10解：a10=a1+9d=2+9×3=29（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n解：∵21=3+(n-1)×2∴n=10（3）已知a1=12，a6=27，求d解：∵a6=a1+5d，即27=12+5d

∴d=3（4）已知d=-1/3，a7=8，求a1，

an解：∵a7=a1+6d8=a1+6×(-1/3)∴a1=10例2.在等差数列{an}中，解：a10=a1+9d=2+9例3.(1)等差数列8，5，2,······的第20项是几？

(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13，·····的项？如果是，是第几项？（2）由题意得，a1=-5，d=-4，an=-401

∵an=a1+(n-1)d

∴-401=-5+(n-1)×(-4)∴n=100∴-401是这个数列的第100项解：（1）依题意得，a1=8，d=5-8=-3∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49例3.(1)等差数列8，5，2,······的第20项是几作业：P40习题2.2A组1作业：P40习题2.2A组1第二课时第二课时解：（1）依题意得

a1+4d=10

a1+11d=31

解得a1=-2,d=3∴a25=a1+24d=-2+24×3=70例1.在等差数列{an}中，a5=10，（1）若a12=31，求a25

；（2）若d=2，求a10，a3；an=am+(n-m)d第二通项公式an=a1+(n-1)d第一通项公式解：（1）依题意得例1.在等差数列{an}中，a5=10，1.等差数列{an}中,a2=－5,a6=a3+6,则a1=_______－72.若{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q=______0练习：1.等差数列{an}中,a2=－5,a6=a3+6例2.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.解：设这三个数分别为a-d，a，a+d

则(a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12

∴a=4

又∵

(a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12

解得d=±2

∴当d=2时，这三个数分别为2，4，6

当d=-2时，这三个数分别为6，4，2练习：若四个数成递增等差数列，中间两个数的和为2，首末两数的积为-8，求这四个数例2.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，设项技巧：（1）若有三个数成等差数列，则可设为（2）若有四个数成等差数列，则可设为设项技巧：（1）若有三个数成等差数列，则可设为（2）若有四个例3.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价10元，即最初的4km（不含4km）计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1

=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费

a11=11.2＋(11－1)×1.2=23.2答：需要支付车费23.2元。P39练习2题例3.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价10元，即例4、已知数列{an}的通项公式为an=pn+q，其中p、q为常数且p≠0，判断这个数列是不是等差数列，并证明你的判断．解：取数列{an}中的任意相邻两项an与an-1(n≥2)

，则∵p是一个与n无关的常数∴{an}是一个等差数列数列{an}是等差数列结论：an=pn+q(p、q是常数)例4、已知数列{an}的通项公式为an=pn+q，其中p、q作业：P40习题