专题：对数函数知识点总结及类型题归纳

16/16专题：对数函数知识点总结1.对数函数的定义：一般地，函数()叫做对数函数.定义域是2.对数函数的性质为a>10<a<1图象性质定义域：（0，+∞）值域：R过点（1，0），即当时，时时时时在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数思考：函数与函数的定义域、值域之间有什么关系？对数函数的图象与指数函数的图象关于对称。一般的,函数与(a>0且a≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线对称(x)存在反函数,一般将反函数记作1(x)如(x)=2x,则1(x)2x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线对称函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线对称专题应用练习一、求下列函数的定义域（1）；（2）；（3）（4）(5)(6)1(51)(72)的定义域是2的定义域是3.求函数的定义域4.函数的定义域是5.函数y＝2(32－4x)的定义域是，值域是.6.函数的定义域7.求函数的定义域和值域。8.求下列函数的定义域、值域：（1）；（2）；（3）（且）．9.函数f（x）（）定义域10.设f(x),则f的定义域为11.函数f(x)=的定义域为12.函数f(x)=的定义域为；13.函数f（x）（）的定义域为14的定义域是1.设f(x)＝(2－2x＋a),(1)如果f(x)的定义域是(－∞,＋∞)，求a的取值范围；(2)如果f(x)的值域是(－∞,＋∞)，求a的取值范围．15.已知函数（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围（3）若函数的定义域为，求实数a的值；（4）若函数的值域为，求实数a的值.16.若函数的定义域为，则函数的定义域为17.已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(2x)的定义域.18若函数(4·2x)的定义域为R，则实数a的取值范围为19已知满足不等式，函数的值域是20求函数的值域。21已知函数f(x)22(1)2().（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.解：f(x)有意义时，有由①、②得x＞1,由③得x＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p＞1(x)的定义域是(1).（2）f(x)2［(1)()］2［-（）2+］(1＜x＜p),①当1＜＜p，即p＞3时，0＜-(,∴2≤22(1)-2.②当≤1，即1＜p≤3时，∵0＜-(∴2＜12(1).综合①②可知：当p＞3时，f(x)的值域是（-∞,22(1)-2］;当1＜p≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,12(1)).二、利用对数函数的性质，比较大小例1、比较下列各组数中两个数的大小：（1），；（2），；（3），；（4），，1.，，的大小关系是2.已知a2>b>a>1，则，，的大小关系是3.已知5>5,试确定m和n的大小关系4.已知0＜a＜1＞1＞1，则的大小关系是5.已知＜＜,比较2b,2a,2c的大小关系.6.设，则7.8.9.设0<x<1，a>0，且a≠1，试比较|（1）|与|（1）|的大小。10.已知函数，则，，的大小关系是三、解指、对数方程：（1）（2）（3）（4）1.已知35,且=2，则A的值是2.已知7［3(2x)］=0，那么等于3.已知7［3(2x)］=0，那么x等于4..若x∈(1,1)23x,则5.若，那么等于6.已知，则7.已知，求的值．四、解不等式：1.2.3.设满足，给出下列四个不等式：①，②，③，④，其中正确的不等式有4.已知：(1)在上恒有，求实数的取值范围。5.已知函数，当时，恒成立，求实数的取值范围。6.求的取值范围，使关于的方程有两个大于的根．（2008·全国）若x∈(1,1)23x,则7.已知0＜a＜1＞1＞1，则的大小关系是8.已知函数f(x)(a＞0≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有(x)|≥1成立，试求a的取值范围9.已知函数f（x）2(x2)在区间（-∞,1-］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.10.若函数在区间上是增函数，的取值范围11.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是12.若函数f(x)=,若f(a)>f(),则实数a的取值范围是13.．设函数若，则的取值范围是（）14.设a>0且a≠1，若函数f(x)＝有最大值，试解不等式>0五、定点问题1.若函数()(a＞0,且a≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则2.若函数()(a＞0,且a≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则3.函数恒过定点.六、求对数的底数范围问题1.（1）若且，求的取值范围2.（2）若，求的取值范围3..若且，则的取值范围4.函数的定义域和值域都是，则的值为.5.若函数在上单调递减，则的取值范围是6.函数0.5(1)在x≥2上单调减，求实数a的范围7..已知(2-)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.8.已知函数(x2-23)在(-∞2)上是增函数，求a的取值范围.9.已知函数f(x)(a＞0≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有(x)|≥1成立，试求a的取值范围.10.若函数在上是增函数，的取值范围是11.使成立的的取值范围是12.若定义在(－1，0)内的函数f(x)＝2a(x＋1)满足f(x)＞0，则a的取值范围是七、最值问题1.函数y＝在[2,10]上的最大值与最小值的差为1，则常数a＝.2.求函数的最小值,最大值.。3.设a＞1,函数f(x)在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为，则4.函数f（x）（1）在［0，1］上的最大值和最小值之和为a，则5.已知,则函数的最大值是，最小值是.6.已知，求函数的最大值与最小值7.已知满足，求函数的最值。8.9.函数f(x)＝＋(1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a＝10.求函数的最小值11.函数在区间上的最大值比最小值大2，则实数．八、单调性1.讨论函数的奇偶性与单调性2.函数的定义域是,值域是，单调增区间是3.函数的递减区间是．4.函数1/3(x2-3x)的增区间是5.证明函数在上是增函数6.函数在上是减函数还是增函数？7.求函数的单调区间，并用单调定义给予证明.8.求(-2x)的单调递减区间9..求函数(-4x)的单调递增区间10.函数(x2-32)的递增区间是11.函数的值域是，单调增区间是．12.若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围1.证明函数(+1)在（0，+∞）上是减函数；2.已知函数f（x）2(x2)在区间（-∞,1-］上是单调递减函数.，求实数a的取值范围.3.已知函数，（其中实数）（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）若在上有意义，试求实数的取值范围小结：复合函数的单调性的单调相同，为增函数，否则为减函数九、奇偶性1.函数的奇偶性是。2.若函数是奇函数，且时，，则当时，3.偶函数在内单调递减，，则之间的大小关系4.已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为5.已知函数若则.6.已知奇函数满足，当时，函数，则．7.8.知函数f(x)(a＞0,且a≠1，b＞0)（1）求f(x)定义域；（2）讨论f(x)奇偶性；（3）讨论f(x）单调性9∈R，且a≠2,定义在区间（）内的函数f(x)=是奇函数1）求b取值范围2）讨论函数f(x)单调性.10.设∈R，且a≠2,定义在区间（）内的函数f(x)=是奇函数.求b的取值范围；（2）讨论函数f(x)的单调性.11.已知函数其中，设.（1）求函数的定义域，判断的奇偶性，并说明理由；（2）若，求使成立的的集合.十、对称问题与解析式1.已知函数的定义域是，且对任意的满足，当时有，请你写出一个满足上述条件的函数。2.已知函数满足（1）求的解析式；（2）判断的奇偶性；（3）讨论的单调性；（4）解不等式3.已知定义域为的函数满足条件：对于定义域内任意都有.(1)求证：，且是偶函数；(2)请写出一个满足上述条件的函数.5.已知函数f(x)(1)(a＞1),若函数(x)图象上任意一点P关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.（1）写出函数g(x)的解析式；（2）当x∈［0，1）时总有f(x)(x)≥m成立，求m的取值范围.解（1）设P（x，y）为g(x)图象上任意一点，则Q（，）是点P关于原点的对称点，∵Q（，）在f(x)的图象上，∴（1），即(x)(1).（2）f(x)(x)≥m,即≥m.设F（x）∈［0，1），由题意知，只要F（x）≥m即可.∵F（x）在［0，1）上是增函数，∴F（x）（0）=0.故m≤0即为所求1）证明设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题设知x1＞12＞1,则点A、B的纵坐标分别为8x1、8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以点C、D的坐标分别为(x12x1)、(x22x2),由于2x138x12x2=38x2,的斜率为k1=,的斜率为由此可知k12,即O、C、D在同一直线上.（2）解由于平行于x轴，知2x18x2，即得2x12x2231,代入x28x118x2，得x318x1=3x18x1,由于x1＞1,知8x1≠0,故x31=3x1,又因x1＞1,解得x1=,于是点A的坐标为（，8).6.已知过原点O的一条直线与函数8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函数2x的图象交于C、D两点.（1）证明:点C、D和原点O在同一直线上；（2）当平行于x轴时，求点A的坐标.7.设函数且．①求的解析式，定义域；②讨论的单调性，并求的值域．十一、对数函数图象1．函数的图象是由函数的图象得到。2.函数的图象是由函数的图象得到。3.函数（）的图象是由函数的图象当时向单位得到;当时向单位得到;当时向单位得到;当时向单位得到。尝试总结：平移变换的法则1.将函数2x的图象向左平移1个单位得到C1，将C1向上平移1个单位得到C2，而C3与C2关于直线对称，则C3对应的函数解析式是2.函数的图像与对数函数的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间：(1)；(2)；(3)；(4)1.已知x1是方程x＋＝3的根，x2是方程x＋10x＝3的根求函数f(x)＝的单调区间2.如图，曲线是对数函数的图象，已知的取值，则相应于曲线的值依次为(

)．3.方程的解的个数为4.已知关于x的方程的两根均大于1，则实数的取值范围是5.方程的实根个数是个.则x1＋x2＝6.已知f(x)＝1＋3，g(x)＝22，比较f(x)与g(x)的大小7.设a>0且a≠1,求证：方程2a的根不在区间[-1,1]内8.若，且，则满足的关系式是

（）9.若是偶函数，则的图象是

(

)．（A）关于轴对称（B）关于轴对称（C）关于原点对称（D）关于直线对称10方程实数解所在的区间是(

)．（A）

（B）（C）

（D）11.已知x、y为实数，满足（4y）2=，试求的最大值及相应的x、y的值．十二、附加内容（补充）本节主要介绍以下几个问题一、反函数的定义二、反函数的求法三、反函数存在的条件四、反函数的性质及互为反函数,反函数的定义一般的,如果y是x的一个函数((x)),另一方面也是y的函数((y)),将此函数称作函数(x)的反函数。一般仍用x表示自变量表示函数值,这样(x)的反函数记作1(x)1(x)与(x)互为反函数与互为反函数注意：1(x)与[f(x)]-1不同，前者表示反函数，后者表示f(x)的倒数求函数36的反函数解：由已知：3-2,这样36的反函数为3-2与({>0})互为反函数(由中解出x,求出原函数的值域,为反函数的定义域二,反函数的求法步骤1、从(x)中解出x;2、求出原函数的值域即为反函数的定义域；3，x、y互换并加注定义域即为所求反函数存在的条件y是x的函数，要求每个x对应惟一一个y;x是y的函数，要求每个y对应惟一一个x;所以：反函数存在的等价条件是该函数的x与y一一对应在定义域内单调，它存在反函数；一般的，定义域内单调一定有一一对应，故：一个函数在定义域内单调，则它一定存在反函数思考：存在反函数，是否一定在定义域内单调？（不一定，如1）反函数的简单性质1、原函数与反函数的定义域与值域对调2、f[1(y)]1[f(x)]（由于x与y一一对应）3、原函数与反函数的图象关于直线对称。从而，原函数在定义域内单调，反函数也单调，而且与原函数具有相同的单调性1.求出函数2(-1<x<1)的反函数解：2(y∈R)反函数为：(X