高考数学知识点总结

高考数学知识点进行集合的交、并、补运算时，记集合本身和空集的特殊情况（答：1，03 3 若ABABA，ABCUABCUACUB，CUAB如：已知关于x的不等式ax50的解集为M，若3M且5M，求实数x2（∵3M，∴a·3532

∵5

a·5552

例：函y

x4lgxx4义域 令t ∴xt2∴f(t)et21t2∴f(x)ex21x21x如：求函fx)

x

x）x）f1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)（yfu)，u(x)，则y（外层）（内层1如：求ylogx22x的单调区12（设ux22x，由u0则0x1且logu，ux121，如图12uuO12x当x(0，1]时，u，又log1u，∴y2当x[1，2)时，u，又log1u，∴y2零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢值是 A. B. C. D.（令fx)3x2a

3x

ax3

a03则x

a或xa33a3a3由已知f(x)在[1，)上为增函数， 1，即aa3∴a函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）若f(x)f(x)总成fx)为奇函函数图象关于原点对若f(x)fx)总成fx)为偶函函数图象关于y轴对若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0如：若fx)

a·2xa22x1

为奇函数，则实数a（∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)a·20a即20

0，∴a又如：fx)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，fx)求f(x)在1，1上的解析式

2x，4x（令x1，0x0，1，fx)

2x4x12x 2x又f(x)为奇函数，∴fx)4x114x又f(0)0，∴fx)

24x2

xx

x函数，T是一个周期。如：若fxaf(x)，（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期即f(ax)fax)，f(bx)fbf(x)与f(x)的图象关y对f(x)与f(x)的图象关x对f(x)与f(x)的图象关对fx)与f1x)yxf(x)与f(2ax)的图象关直线xa对f(x)与f(2ax)的图象关(a，0)对将yf(x)个单位yf(x右移a(a0)个单个单位yf(xa)

yf(x下移b(b0)个单

yf(xa)f(x)f(x)

ff作出ylog2x1及ylog2x1的图yO1xyO1x O

反比例函数：ykk0推广为ybx

k0是中心

b

4ac二次函数yax2bxca0ax

顶点坐标为

4acb2 ，对称轴x 开口方向：a0，向上，函数ymin

4acb2a0，向下，ymax

4acb2

bxc0的两根都大于k2ay 一根大于k，一根小于kfk指数函数：yaxa0，a对数函数ylogaxa0，a y

1

“对勾函数yxkkxyyOkx指数运算：a01a0)，apap

(aman

nam(a0)，annam

(anam对数运算logaM·NlogaMlogaNM0，Nnam

MlogMlogN， 1logna nmm对数换底公式logblogcb

bnnloga

logc

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)fx)fy)，证明f(x)为奇函数（先令xy0f0)0再令y（2）xR，f(x)满足f(xy)fx)fy)，证明f(x)是偶函数（先令xytf(t)(t)∴f(t)f(t)f(t)f(t)∴f(t)f（3）证明单调性：fx2fx2x1x213132xx2xx（3）x3，y（4）yx4

x

9设x3cos，9（5）y4x9，xx（l·R，S

1l·R12212

·R2RR1 sinMP，cosOM，tanyByB PTα A如：若0，则sincostan的大小顺序是又如：求函数y 1 2cosx的定义域和值域 2cosx）1

2sinx sinx 2，如图21 ∴2k5x2kkZ，0y1 sinx1，cosxyyyxO2 2对称点为k，0，kZ 2减区间为2k，2k3k 2图象的对称点为k，0，对称轴为xkk ycosx的增区间为2k，2kk ytanx的增区间为k，kkZ 2振幅|A|，周期T若fx0A，则xx0为对称轴若fx00，则x0，0为对称点，反之也对五点作图：令x依次为0，3，2，求出x与y，依 根据图象求解析式。（求A、、值(x1)如图列出 (x2)解条件组求、正切型函yAtanx，T如：cosx

2（∵x3，∴7x5，∴x5，∴x13 如：函数ysinxsin|x|的值域（x0时，y2sinx2，2，x0时，y0，∴y

x'x

P'（x'，y'），则y'y如：函y2sin2x1的图象经过怎样的变换才能得ysinx 4（y2sin2x1原来2倍

142sin x14

4左平移

2

y2sinx1个单位y2sin纵坐标缩短到原来的1 ysin如：1sin2cos2sec2tan2tan·cotcos·sectan4sincos0……称为1的代换2“k·”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象2cos9tan7sin21 6又如：函数ysintan，则y的值coscotA.正值或负 B.负 C.非负 D.正sin（y cos

sin2cos 0，∵cos 0，∵降幂公式sinsincoscossin

2sincoscoscossinsin

sin2tantantan·

2cos2112sin2cos21tan2

1tan2

sin2

21cos2asinbcos

sin，tana2a2sincos

2sin 4sin

cos2sin 3（1）角的变换：如

如：已知sincos1tan2，求tan2的值1（由已知得sincos2sin2又tan3

2sin

31，∴tan2tan

2

1）1tan·

12·

b2c2a2

b

2bccosAcosA

a2Rsin正弦定理：sin

sin

2Rb2Rsinc2Rsin 1a·bsin ∵ABC，∴AB∴sinABsinC，sinABcos 如ABC中，2sin2ABcos2C2求角

2

2

，求cos2Acos2B的值又ABC，∴2cos2CcosC1cosC1或cosC1（舍2又0C，∴C3（2）由正弦定理及a2b21c2得22sin2A2sin2Bsin2Csin2 1cos2A1cos2B4∴cos2Acos2B34反正弦arcsinx，x 2反余弦arccosx0，，x反正切arctanx，xR 2（1）a

c0acbcc0ac（2）ab，cdacb（3）ab0，cd0ac（4）ab011，ab01 n（5）ab0anbn，nan（6）|x|aa0axa，|x|axa或x如：若110，则下列结论不正确的是 A.a2C.|a||b||a

D.ab

aba2b22aba，bR；ab

2

a22aa222

a

a，bR当且仅当ab时等号成立a2b2c2abbccaa，b当且仅当abc时取等号ab0，m0，n0，bbm1an a b 如：若x0，23x4的最大值x（设y23x42

323 当且仅当3x4，又x0，∴x23

24 又如：x2y1，则2x4y2x2（∵2x22y 221，∴最小值为22x2如：证明11

…1n（

……n11111……

n 212）解分式不等fx)如：x1x12x23如：对数或指数的底分a1或（解集为x|x12 2 会用不等式|a||b||a求证f(xf(a)证明|f(xf(a)||(x2x13a2|(xa)(xa1)|(|xa||xa||xa1||xa又|x||a||xa|∴f(x)f(a)2|a|2如：afx)恒成立afx)的最小afx)恒成afx)的最大值afx)能成afx)的最小例如：对于一切实数xx3x2a恒成立，则a的取值范围或者x3x2x3x25，∴a定义：an1and(d为常数)，ana1n前n项和Sn

a1ann

na1

nnd2性质：an是等差数若mnpq，则amanapaq数列a2n1，a2n，kanb仍为等差数列若三个数成等差数列，可设为ad，a，a

，b是等差数列S，T为前n项和

S2m1

bm a为等差数San2bn（a，b为常数，是关于n的常数 0的二次函数 S的最值可求二次函数San2bn的最值；或者求出a中的正

n

an1an当a10，d0， an1如：等差数列an，Sn18，anan1an23，S31，则n（由anan1an233an13，∴an1又S3

a12

·33a1，∴a aa a

∴S

n11定义an1an

q为常数，q0），a

a等比中项：x、G、y成等比数G2xy，或Gna1(q前n

a1qn

（要注意 1

性质：an是等比数若mnpq，则am·anap（n1时，a1S1，n2时，anSn如

满足1a 2 n112

121

n2时1a1a2 12得：1a2 n∴an (n∴an

(n［练习数列

满足S

5

3（注意到an1Sn1Sn代入得n2时，anSnSn1 解：a a3

an1·a又a13，∴a

3由anan1f(n)，a1a0，两边相加n2时，a2a1两边相加a3a

f(3) ……an

f(n)ana1f(2)f(3)……∴ana0f(2)f(3)……［练习 数列a，a1，a3n1 （a

13n22可转化为等比数列，设anxcan1ancan1c令(c1)xd，∴x

c∴a d是首项为a

c

c

c

a

dc

a

dcn1c

c［练习数列an满足a19，3an1an4，求a 4

2anan

由已知得：

an21∴11

2

an1为等差数列11，公差a an

11n1·11nan∴a

n 如：an是公差为d的等差数列，求a k1k 1 1

ak

akak

d

d0ak1

1 1∴a

k1k

k1dak ak111

11

1……1

1d a

a

2

3

n11 1 d

an1［练习

11

12

……

1123……（an……

2

n和，可由SnqSn求Sn，其中q为bn的公比。n如：S12x3x24x3…… 1nnx·Sx2x23x34x4……n1xn1nn12：1xS1xx2……xn1n

21xn x1时，Sn 1

1

nnx1时，Sn123……n Sna1a2an1an相Snanan1……a2a12Sna1ana2an1……a1an［练习

1

1

1

1x2∴原f(1)f(2)f1f(3)f1f(4)f1

3 4111131 若每期存入本金p元，每期利率为r，nSnp1rp12r……p1nrpn

r……等差问若（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利）x元，满足p(1r)nx1rn1x1rn2……x1r11rn 1rn

pr11rn（2）n个不同元素中，任取m（mn）个元素，按照一定的排成一nnnAmnn1n2……nm1n

n

m规定：0!（3）组合：从n个不同元素中任取m（mn）个元素并组成一组，叫做从n个不nnAmCmn

nn1……nm1 Am Am

m!nnn组合数性质CmCnm，CmCm1

，C0C1……Cn

A. B. C. D.中间两个分数不相等55x1x2x3(ab)nC0anC1an1bC2an2b2…Cranrbr…Cnbn rnrn b(rnnnnn

Cnrrn 系数和：C0C1Cnn C1C3C5…C0C2C4 n2n2

n1

表示∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第126或第726C5 又如：12x2004aaxax2…… x2004x a0a1a0a2a0a3……a0a2004（令x0，得：a0令x1，得：a0a2a2004

包含关系：AB，“A发生必导致B发生”称B包含AAAB事件的和（并）：AB或AB“A与B至少有一个发生”叫做A与事件的积（交）：A·B或AB“A与B同时发生”叫做A与B的积互斥事件（互不相容事件）：“AB不能同时发生”叫做A、B“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事AA，AAA与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立P(A)

若A、B互斥，则PABP(A（4）P(A)1如果在一次试验中ApnAk次的概率：P(k)Ckpk1 104件次品，6 2P4 C C52 P4

C C32解析：3次（1件3∴mC2·42613

C2·42·6

52件次品。∴nA5，mC2A2A3

CACAA5A

（）抽取系统样常用总体个较多它的主要特是均衡若分每部分取一个分层抽样主特征是层按比抽样主要于体中有明差异它们共同特是每个被抽到的概率相，体现抽样的观性和性。其中，频小长方形的面组距频样本平均值：x1n

1

……xnn样本方差：S21x1x2x2x2xnx2n如：从10名与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按分层随机抽样，则组成此参赛队的 C4C6（105C6

|a| 零向量0，|0| 相等的向

a bab0存在唯一实数，使b OAOB OAOB e1e2是平面内的两个不共线向量a为该平面任一向量，则存在唯 axiyj，称(x，y)为向a的坐标，记作ax，y，即为向量的坐 设ax1，y1bx2，y 则abx1，y1y1，y2x1y1，x2yax1，y1x1，y1若Ax1，y1，Bx2，y2则ABx2x1，y2y1 22

，A、B两点间距离公 a·b|a|·|b|cos叫做向量a与b的数量积（或内积） 为向a与b的夹角， bbBa a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积 ①a·bb· ②(ab)ca·cb· ③a·bx1，y1·x2，y2x1x2 （3）重要性质ax1，y1bx2，y2 ①a⊥ba·b0x1·x2y1·y2 aba·b|a|·|b|或a·b ab（b0，惟一确定x1y2x2y1 ③ |a|2x2y2，|a·b||a|·|b| ［练习

已知正方形ABCD，边长为1ABaBCbACc，|abc|22 若向量ax，1，b4，x，当x 时a与b共线且方向相 ab均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|a3设P1x1，y1，P2x2，y2，分点Px，y，设P1、P2是直线l上两点，P点 l上且不同于P1、P2，若存在一实P1PPP2叫做P分有向线P1P2所成的比（0，P段P1P2内，0，P在P1P2外），xx1 xx1 1

，P为PP中点时 y 1 yy y 1 如：ABC，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3则ABC重心G的坐标是x1x2x3y1y2y3 ※.线∥线线

a∥b，b面，aa∥面 ∥面，面，bPA⊥面，AO为PO在

影，a面，a⊥OAa⊥PO；a⊥POPPOa⊥b，a⊥c，b，c，bcOaaαbOcαalβa⊥面，b⊥面βaab＝0o时，b∥或b［练习如图，OA为α的斜线OB为其在α影，OC为α内过O点任一直线证明：cosAαβ β DBD1和底面ABCDBD1AD HHGDC （①arcsin3；②60o；③ 6 如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PDABCDP