专题限时集训10　直线与圆

9/9专题限时集训(十)直线与圆1．过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()A．y－x＝1 B．y＋x＝3C．2x－y＝0或x＋y＝3 D．2x－y＝0或y－x＝1D[当直线过原点时，可得斜率为eq\f(2－0,1－0)＝2，故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0，当直线不过原点时，设方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，代入点(1,2)可得eq\f(1,a)－eq\f(2,a)＝1，解得a＝－1，方程为x－y＋1＝0，故所求直线方程为2x－y＝0或y－x＝1.]2．若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是()A．1 B．－2C．1或－2 D．－eq\f(3,2)A[由两直线平行的条件可得－2＋m＋m2＝0，∴m＝－2(舍)或m＝1.]3．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2eq\r(3)，则直线的倾斜角为()A．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) B．－eq\f(π,3)或eq\f(π,3)C．－eq\f(π,6)或eq\f(π,6) D．eq\f(π,6)A[由题意可知，圆心P(2,3)，半径r＝2，∴圆心P到直线y＝kx＋3的距离d＝eq\f(|2k|,\r(1＋k2))，由d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝r2，可得eq\f(4k2,1＋k2)＋3＝4，解得k＝±eq\f(\r(3),3).设直线的倾斜角为α，则tanα＝±eq\f(\r(3),3)，又α∈[0，π)，∴α＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).]4．(2021·常州一模)过圆O：x2＋y2＝5外一点P(2，eq\r(5))作圆O的切线，切点分别为A，B，则|AB|＝()A．2 B．eq\r(5)C．eq\f(4\r(5),3) D．3C[根据题意，圆O：x2＋y2＝5的圆心为(0,0)，半径r＝eq\r(5)，若P(2，eq\r(5))，则|PO|＝eq\r(4＋5)＝3，圆O：x2＋y2＝5外一点P(2，eq\r(5))作圆O的切线，切点分别为A，B，则|PA|＝|PB|＝eq\r(9－5)＝2，故点A、B在以P为圆心，半径为2的圆上，该圆的方程为(x－2)2＋(y－eq\r(5))2＝4，联立两个圆的方程：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝5，,x－22＋y－\r(5)2＝4，))变形可得2x＋eq\r(5)y－5＝0，则直线AB的方程为2x＋eq\r(5)y－5＝0，圆O的圆心O到AB的距离d＝eq\f(5,\r(4＋5))＝eq\f(5,3)，则|AB|＝2×eq\r(r2－d2)＝2×eq\r(5－\f(25,9))＝eq\f(4\r(5),3)，故选C．]5．已知圆C：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))2＋y2＝r2(r>0)，直线l：3x＋4y－2＝0.若圆C上恰有三个点到直线的距离为1，则r的值为()A．2 B．3C．4 D．6A[圆C的圆心为(－1,0)，则圆心C到直线l的距离d＝eq\f(|3×－1－2|,\r(32＋42))＝1，又圆C上恰有三个点到直线l的距离为1，所以圆心(－1,0)到直线l的距离为d＝eq\f(r,2)，即d＝eq\f(r,2)＝1，所以r＝2，故选A．]6．已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法不正确的是()A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切C[对于A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝r，∴直线l与圆C相切，A正确．对于B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＞r，∴直线l与圆C相离，B正确．对于C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＜r，∴直线l与圆C相交，C错误．对于D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝r，∴直线l与圆C相切，D正确．综上，故选C．]7．已知点A是直线l：x＋y－eq\r(2)＝0上一定点，点P，Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标是()A．(0，eq\r(2)) B．(1，eq\r(2)－1)C．(0，eq\r(2))或(eq\r(2)，0) D．(eq\r(2)－1,1)或(1，eq\r(2)－1)C[原点到直线l的距离d＝eq\f(\r(2),\r(12＋12))＝1，则直线l与圆x2＋y2＝1相切，当AP，AQ均为圆x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ取得最大值，连接OP，OQ(图略)，由于∠PAQ的最大值为90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，则四边形APOQ为正方形，所以|OA|＝eq\r(2)|OP|＝eq\r(2)，设点A的坐标为(t，eq\r(2)－t)，由两点间的距离公式得|OA|＝eq\r(t2＋\r(2)－t2)＝eq\r(2)，整理得2t2－2eq\r(2)t＝0，解得t＝0或t＝eq\r(2)，因此，点A的坐标为(0，eq\r(2))或(eq\r(2)，0)．故选C．]8．(2021·青岛一模)已知圆C：x2＋y2－kx＋2y＋eq\f(1,4)k2－k＋1＝0，下列说法不正确的是()A．k的取值范围是k＞0B．若k＝4，过M(3,4)的直线与圆C相交所得弦长为2eq\r(3)，直线方程为12x－5y－16＝0C．若k＝4，圆C与圆x2＋y2＝1相交D．若k＝4，m＞0，n＞0，直线mx－ny－1＝0恒过圆C的圆心，则eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)≥8恒成立B[对于A，方程表示圆可得(－k)2＋4－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)k2－k＋1))＞0，解得k＞0，故A正确；对于B，若k＝4，可得圆方程：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，过M(3,4)的直线与圆C相交所得弦长为2eq\r(3)，则圆心(2，－1)到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时，x＝3，满足条件，故B错误；对于C，(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆心(2，－1)，半径r1＝2,圆x2＋y2＝1，圆心为(0,0)，半径r2＝1，两圆心的距离为r1－r2＝1＜eq\r(22＋－12)＝eq\r(5)＜r1＋r2＝3，两圆相交，故C正确；对于D，直线mx－ny－1＝0恒过圆C的圆心，可得2m＋n－1＝0⇒2m＋eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(2m＋n)＝4＋eq\f(n,m)＋eq\f(4m,n)≥4＋2eq\r(\f(n,m)·\f(4m,n))＝8，当且仅当m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(1,2)时取等号，故D正确．故选B．]9．已知直线l1：4x＋2y－7＝0和l2：2x＋y－1＝0，直线m分别与l1，l2交于A，B两点，则线段AB长度的最小值为________．eq\f(\r(5),2)[由题知，l2：4x＋2y－2＝0，两直线间的距离d＝eq\f(5,\r(42＋22))＝eq\f(\r(5),2).所以线段AB长度的最小值为eq\f(\r(5),2).]10．已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为eq\r(6)，则圆C的方程为________．(x－1)2＋(y＋1)2＝2[∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，∴设所求圆的圆心为(a，－a)．又∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴半径r＝eq\f(2|a|,\r(2))＝eq\r(2)|a|.又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为eq\r(6)，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝eq\f(|2a－3|,\r(2))，∴d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(2)＝r2，即eq\f(2a－32,2)＋eq\f(3,2)＝2a2，解得a＝1，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.]11．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6] B．[4,8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]A[由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r＝eq\r(2)，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝eq\f(|2＋2|,\r(1＋1))＝2eq\r(2)，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝3eq\r(2)，最小距离是d－r＝eq\r(2).易知A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2eq\r(2)，所以2≤S△ABP≤6.故选A．]12．已知点P为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一点，A(0，－6)，B(4,0)，则|eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))|的最大值为()A．eq\r(26)＋2 B．eq\r(26)＋4C．2eq\r(26)＋4 D．2eq\r(26)＋2C[取AB的中点D(2，－3)(图略)，则eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝2eq\o(PD,\s\up7(→))，|eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))|＝|2eq\o(PD,\s\up7(→))|，又由题意知，圆C的圆心C的坐标为(1,2)，半径为2，|eq\o(PD,\s\up7(→))|的最大值为圆心C(1,2)到D(2，－3)的距离d再加半径r，又d＝eq\r(1＋25)＝eq\r(26)，∴d＋r＝eq\r(26)＋2，∴|2eq\o(PD,\s\up7(→))|的最大值为2eq\r(26)＋4，即|eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))|的最大值为2eq\r(26)＋4.]13．(2021·深圳外国语学校模拟)已知A(－2,0)，B(2,0)，若圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1上存在点M满足eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝0，实数a不可能是()A．－1 B．－0.5C．0 D．1D[以AB为直径的圆方程为x2＋y2＝4，eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝0，则MA⊥MB，∴M在以AB为直径的圆上．由题意以AB为直径的圆与已知圆有公共点，∴2－1≤eq\r(2a－12＋2a＋22)≤2＋1，解得－1≤a≤eq\f(1,2).ABC均满足，D不满足．故选D．]14．(2021·天津二模)已知直线l：mx＋y－2m－2＝0与圆C：x2＋y2－8y＝0交于A，B两点，若∠ACB＝eq\f(π,2)，则直线l的方程为__________．x－y＝0[直线l：mx＋y－2m－2＝0与圆C：x2＋y2－8y＝0交于A，B圆C的圆心(0,4)，圆C的半径为4，直线恒过P(2,2)，∠ACB＝eq\f(π,2)，|CP|＝2eq\r(2)，所以AB的斜率为1，所以直线l的方程为：y－2＝x－2.即x－y＝0.]15．已知直线l：(λ＋2μ)x＋(λ－μ)y－4λ－8μ＝0交⊙O：x2＋y2＝25于A，B两点，C为l外一动点，且|AC|＝2|BC|，则|AB|的最小值为________；当|AB|最小时，△ABC面积的最大值为________.612[由(λ＋2μ)x＋(λ－μ)y－4λ－8μ＝0，得λ(x＋y－4)＋μ(2x－y－8)＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0，,2x－y－8＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝0，))所以直线(λ＋2μ)x＋(λ－μ)y－4λ－8μ＝0经过定点M(4,0)，设O为坐标原点，若|AB|最小，则OM⊥AB，此时|AB|＝2eq\r(25－42)＝6.法一：设A(4,3)，B(4，－3)，C(x，y)，由|AC|＝2|BC|，可得eq\r(x－42＋y－32)＝2eq\r(x－42＋y＋32)，化简得点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y＋5)2＝16，则点C的轨迹是圆心为(4，－5)，半径为4的圆，易知圆心(4，－5)在直线AB上，因而C点到AB的最大距离为4，故△ABC面积的最大值为eq\f(1,2)×6×4＝12.法二：设BC＝x，则AC＝2x，由余弦定理知36＝x2＋(2x)2－2·x·2x·cos∠ACB，得x2＝eq\f(36,5－4cos∠ACB)，从而S△ABC＝eq\f(1,2)x·2x·sin∠ACB＝eq\f(36sin∠ACB,5－4cos∠ACB)＝－9×eq\f(0－sin∠ACB,\f(5,4)－cos∠ACB)，其中eq\f(0－sin∠ACB,\f(5,4)－cos∠ACB)可以看成单位圆上的点(cos∠ACB，sin∠ACB)与点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，0))连线的斜率，可求得其最小值为－eq\f(4,3)，所以△ABC面积的最大值为12.]16．已知圆C1：x2＋y2＝r2与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论不正确的是()A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0B．2ax1＋2by1＝a2＋b2C．x1＋x2＝aD．y1＋y2＝2bD[圆C2的方程为x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，两圆的方程相减，可得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，即得2ax＋2by＝a2＋b2，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的坐标代入，可得2ax1＋2by1＝a2＋b2,2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减可得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，所以选项A、B均正确；由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝17．(2021·福州一模)已知圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，过点M(2,0)的直线与圆C交于P，Q两点(点Q在第四象限)．若∠QMO＝2∠QPO(O为坐标原点)，则点P的纵坐标为________．eq\f(1,2)[圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，因为∠QMO＝2∠QPO，由三角形的补角可知，∠QMO＝∠QPO＋∠MOP，所以∠QPO＝∠MOP，故△OMP为等腰三角形，所以OM＝MP＝2，设P(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＋x－22＝4,x－22＋y－12