物理习题课振动与波动

振动与波动（习题课）哈尔滨工业大学20140419wangz1.动力学判据

受正比、反向的恢复力作用f

k

x动力学方程振动系统机械能守恒2.

能量判据dv

k

x

0dt

mdv

dx

k

x

0dx

dt

mmvdv

kxdx

0积分21

mv

23.

运动学判据x

Acos(t

)相对平衡位置的位移随时间按正余弦规律变化（一次积分）

1

k

x2

恒量2（二次积分）

x

0dt

2

md

2

x

k简谐振动？-简谐振动的判据1.

简谐振动(4)fv

0fvf

0v

0f

0f

v

0(3)(5)(1)(2)v平衡位置弹簧振子mg

smmg

cosmgT单摆oxtATxy0At

x

A

cos(t

)振动曲线描述旋转矢量描述动力学方程描述运动学方程描述dt

2x

t

Acod

2

x

2x

0简谐运动的描述简谐振动的解析描述x

Acos

t

dt

dx

A

sin

t

2

A

cos

t

π

2

xdta

d

A

2cos

t

a

A

2cos

t

π简谐振动的能量1

kx2

1

mx

2

1

kA2

=常数2

2

22

2pE

1

kx2

1

kA2

cos2

(t

)22

211kA

sin

(t

)22kE

mv

常见的简谐运动d

2

g

dt2

l0gT

2

Θ

cos(

t

)2dtd

2

2

0

J

mglT

2

Θ

cos(

t

)d

2

x

kx

0

xt

Acost

dt

2

mT

=2mkl弹簧振子单摆复摆2.阻尼振动考虑与速率成正比的阻力dt

γ

dxdt2m

d2

x

kx00ω20过阻尼β2临界阻尼

β2

ω2xt0欠阻尼

β2

ω200cos(t

)

Acos(

pt

)

tx

A

e

tx

A0ecos(t

)0A

A

e-

t2200-

k

;2

=

;

m

md2

x3.受迫振动mdt2dx+H

cos

pt

kx

γdt220-2p

0p

4.1

振动的一.两个同方向同频率简谐运动的221

2

1

22

1A

A

A

2A

A

cos(

)tg

A1

sin1

A2

sin2A1

cos1

A2

cos2A1A2AOx1

2(

)

2k(1

2

)

(2k

1)A1

A2

A

A1

A2A

A1

A2A

A1

A21

2(

)

其它值(同相)(反相)4.2.

两个同方向不同频率的简谐运动的x拍现象t1

2sin

2

A2

A21

2AA

2xy

cos

4.3.

相互垂直的简谐运动的x

A1

cos(t

10

)y

A2

cos(t

20

)令

20

10x2

y2

=

1

-

2x

Acos(m

t)y

Acos(n

t

0

)

353724m2m4mm4m2m4mmn

:

m0

0图形机械振动小结d2

xm

kxdt21

简谐振动2

阻尼振动3

受迫振动（4

振动的(同方向，同频率振动的dt

γ

dxdt2m

d2

x

kxd2

x）m

dt2dx+H

cos

pt

kx

γdt机

械

波一、平面简谐波波函数：

A

cos[2

(

t

x

)]0u0

y(x,

t)

A

cos(t

kx

)

A

cos(t

x

)

0(1).当x=x

时：0

0T

y(t)

Acos[t

(

2

x

)]0(2).当t=t

时：2y(x)

Acos[(t0

0

)

x]波函数的物理意义：反映了时间和空间的周期性。u22

y

1

2

yx2

t2波动微分方程：波速：横波波速u2

G为剪切模量Yu

纵波波速

1GY为杨氏模量Tu

弦线中的波速T为弦中的张力波的能量2

平均能流密度（波的强度）

I

2A

u12w

dE

2

A2

sin

2

t

kxwdt

w

TT0dV12

2

A12能量密度平均能量密度二、波的y

y1

y2

Acost

A2

A2

2A

A

cos

1

2

1

2式中A

I

I1

I2

2

I1I2

cos

2

r2

r11020

A

A1

A2(

n =

0

1

2……)

2

A

A1

A2加强减弱相位差两列相干波，振动方向相同，振幅相同，频率相同，方向相反（初位相为

0）叠加而成驻波二、驻波方程驻波驻波方程

2

y

A

cos

t

x1

y

A

cost

2

x2y

y1

y2

y

2

Acos

2

x

cost

振幅

A'

2

A

cos

2

x特点：(1).相邻的波节（腹）之间的距离是/2。任意两节点间的距离为n/2。相邻节点间各点振动同相，一节点两侧各点振动反相。没有能量的定向 ，两波节之间能量守恒。3、波源观测者同时相对介质运动Ssu

v

R

u

v

R

vRv

u

0

v

sTS

u

v三、1.

波源效应，观察者相对介质运动vs

0,

vR

02、观测者,

波源相对于介质运动

(s

0,R

0)s

SvSvs

0,

vR

0Ru

uv

u

u

v

T u

vsSRS

u

v

R

u

v

R

u

v

R

vRvuT

uv

u

v

1振动问题的分类：1、已知振动方程，求特征参量2、已知条件（或者振动曲线），建立振动方程3、证明、判断一个物体的振动是否是简谐振动4、简谐振动的习题选讲1.水平弹簧振m

=6kg，重物簧倔强系数k

=24N/m，重物质量在平衡位置。设以一水平恒力F

=10N

向左作用于物体(不计摩擦),使之由平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。习题5.11解：设物体的运动方程为x

=

Acos(t

+

)恒外力所做的功等于弹簧获得的机械能，当物体运动到最左端时，这些能量全部转化为弹簧的弹性势能Fs

1

ks2

1

mv2

1

kA2

,

A

2

2

22Fs

210

0.05

0.204mk

24mkFx–A

–s

O角频率

m

6k 24

2rad/s物体运动到–A

位置时计时，初相为

=所以物体的运动方程为x

=0.204cos(2

t

+)(m)习题2：

的振动曲线。求：简谐振动的运动方程由状态a运动到状态b，再由b运动到c的时间状态d的速度和加速度【解】方法1

解析法00

012

2

32

cos

Ax

v0

0

Asin0

0

sin0

0x

Acosxc

0

cos(5

2

/

3)

00v

0

sin(5

2

/

3)

0原点：t

0c点：t

5s3

2

6

1

方法2

旋转矢量法（1）t

0v0

0确定旋转矢量x0

3

2

6t

5

6

1

振动方程为x

A

cos(1

t

2

)

(SI)6

3t-A-A/2AA/2xO由状态a运动到状态b，再由b运动到c的时间分别是多少状态d的速度和加速度-A/2AA/2xa-Aπ/3π/6

/

6

/3

2s

b

abat

/

6

/

6

1s

c

bcbt3dv

A

sin

0.451AAcos372

2

2Am/sd

2a

2

x

6

3.

一质点同时参与两个同方向同频率的谐振动，其振动规律为x1=0.4cos(3t

+/3)，x2=0.3cos(3t

-/6)(SI)。求：(1)合振动的振动函数；(2)另有一同方向同频率的谐振动x3

=0.5cos(3t

+3)(SI)当3

等于多少时，x1,x2,x3

的合振幅最大？最小？解：(1)解析法A

221

2

1

2

2

1A

A

2A

A

cos(

) 0.42

0.32

2

0.4

0.3cos(

)

0.5

(m)6

311

1

22

)A

sin

A

sin

A1

cos1

A2

cos2

tg

(1

tg

[0.4

cos63

]0.4

sin

0.3sin(

)3

6

0.3cos(

)

0.12振动函数

x

0.5cos(3t

0.12

)

(m)另法：相量图法1A

12A2A

21A

4tg

A

3

A2

0.5m

0.21

0.21

0.123x

0.5cos(3t

0.12

)

(m)(2)当3

=

=0.12

时，Amax

A

A3

1.0mA2x/6/3O1AA当

3

=

=

-0.88

时，

Amin

A

A3

0习题4：一质量为m

=10

g的物体作简谐振动，振幅为A

=10cm,周期T

=2.0

s。若t

=0时，位移x0=-5.0

cm，且物体向负x方向运动，试求：（1）t

=0.5

s时物体的位移；（2）t

=0.5

s时物体的受力情况；（3）从计时开始，第一次到达x

=5.0cm所需时间；（4）连续两次到达x

=5.0

cm处的时间间隔。A

0.10m【解】（1）由已知可得简谐振动的振幅角频率

2

T

rad/s)振动表达式为x

0.10cost

o

(SI)t

0时x

0.10coso

0.05mv

0.05sino

0x0.1O-0.05t

0o

2

3由旋转矢量法可得振动方程x

0.1cost=0.5s时物体的位移?x

0.1cost

2

3

0.1cos0.5

2

3

0.0866m（2）

t

=

0.5

s时物体受到的恢复力?

由（1）得k

m2

0.012

0.099N/mF

kx

0.0086N(SI)（3）从计时开始，第一次到达x

=5.0

cm所需时间；（4）连续两次到达x

=5.0

cm处的时间间隔。x0.1-0.05

O0.053t

01t

5

3

2

3

1s第一次到达x=5.0cm时的相位为

5故第一次达到此处所需时间为2t

2

3

0.67s连续两次到达x

=5.0

cm处的相位差为3

25.

已知t

=2s

时一列简谐波的波形如图，求波函数及O

点的振动函数。x(m)y(m)0.5Ou

=

0.5m/s1

2

3解：波函数标准方程

t

x

y

Acos

2

T

已知A

=0.5m，

=2m，T

=

/u

=2/0.5=4s

4

2

由0.5

y(t

2,x

0.5)

0.5cos

2

2

0.5

2

2得

3

2

即

2 2

所以波函数为

y

0.5cos

t

x

(m)

2 2

0.5

cos

t

(m)OO

点的振动函数为y为什么不取y(t=2,x=0)求？6

一波长为λ

的平面简谐波，已知A

点的振动方程为y=Acos(ωt+φ)试求在图中四种坐标选择情况下此简谐波的表达式解：yO

Aux（1)yu(2)x

p

O

AyO

Alux(3)

u（1）

y

A

cos

(t

x

)

u（2）

y

A

cos

(t

x

)

（3）

uy

Acos(t

x

l

)

u（4）

y

A

cos(t

x

l

)

uA(4)ylppx

p

O7.平面简谐波沿x

轴正向，振幅为A，频率为v，速度为u。(1)t

=0

时，在原点O

处的质元由平衡位置向x

轴正向运动，写出波函数；(2)若经反射面反射的波的振幅和入射波振幅相等，写出反射波波函数,并求在x

轴上因两波叠加而的各点的位置。解：(1)O

处质元的振动函数y

Acos2所以入射波的波函数为(2)有半波损失，即相位突变，所以反射波波函数为O反射面波密xu3

/

4uy

Acos

2

vt

2

x

Acos

2

vt

2

v

x

2

2

O反射面3

/

4uu2

v

3

2

v

3

u

4

2y

Acos

2

vt

4

x

波密xu

Acos

2

vt

2

v

x

2

入射波和反射波叠加，此题反射点肯定是波节，另一波节与反射点相距

/2，即x

=

/4

处。8.

振幅为A，频率为，波长为的一简谐波沿弦线

，在端A点反射（如图），假设反射后的波不衰减。已知：OA

=7/8，OB

=/2，在t

=

0时，x

=

0处媒质质元的合振动经平衡位置向负方向运动。求B点处入射波和反射波的

振动方程。OyxBA解：设入射波的表达式为x

)2y1

A

cos(t

则反射波的表达式为2

8