机械、电脑制图-机械制图

点的投影直线的投影平面的投影内容1点在一个投影面的投影A→aAaA1A2反过来，就无法实现a→A

！P因此，工程上一般需采用多个相互正交的投影面组成投影面体系，用多个投影来表示空间几何元素的位置和形状。24.1.1点的投影图VHXZYWOAa”aa'axaYaz点的三面投影①直观图...正立投影面侧立投影面OZ轴OY轴空间“点”侧面投影正面投影细实线字号：3.5圆点：直径~1

mmOX轴注意：∥V

或⊥V的长度均按水平投影H绕OX旋转W绕OZ旋转直观图 方式3XZOa”aa'axaazYHYW③最后擦去边框，这样的图就是投影图。Y

W②直观图V面与画面重合H面绕OX轴向下旋转90°W面绕OZ轴向右旋转90°aYH4②

a’ax

=

Aa(点与H的距离)Xaax

=

Aa’(点与V的距离)ZOa”5aa'axaYWazYHYWaYH投影特性①

a’a

OX，

a’a”

OZa’a

=

Aa”z(点与W的距离)③

aax=a”az点的二求三已知点的两个投影，可利用点的三面投影特性求其第三个投影。OXZa6a'YHYWa”4.1.2点的坐标与投影的关系如果将投影轴当作坐标轴，将投影面当作坐标面点的坐标与投影的关系为XZYHWaYHaYWa'az

a”,：axOY的距离的距离

a点的Z坐标值=点与H

面的距离7点的X坐标值=点与W

面点的Y坐标值=点与V

面84.1.3两点间的相对位置a'XOZYHYWa”azaYHaYW方位关系:距观察者近的方位:前、左、上X例：已知点A（12，8，10），点B在点A的下方5

mm、左

0mm、前0mm，试完b'axa

≡b成点B的投影。b”5分析：点B在点A的正下方5mm，即点B（12，8，5）。OZYHYWVWH9a'XOZYHYWa”azaYHaYWb'axb”利用重影点的投影可进行可见性判断。在投影中，距观察者近的点为可见点；远离观察者的点为不可见点。表示方法不可见点的重合投影加圆括号表示。a

(b)4.1.4重影点及可见性重影点若两个点的同名投影重合，则称这两个点为重影点。可见性点的投影特性点的二求三两点间的相对位置重影点及可见性要点小结10ABPCDPPEF4.2.1直线在单一投影面上的投影a≡b直线垂直于投影面：直线在该投影面上的投影积聚为点直线平行于投影面：直线在该投影面上的投影反映实长直线倾斜于投影面：直线在该投影面上的投影缩短cdef11124.2.2直线在三投影面体系中的投影相对于投影面名称HVW规定夹角的名称直线与投影面夹角的规定名称投影面垂直线的投影在三投影面体系中，当直线垂直于某一个投影面时，则必同时平行于另两个投影面，这样的直线称为投影面垂直线。ABPa≡b13共有三种投影面垂直线：直线⊥投影面V：正垂线直线⊥投影面H：铅垂线直线⊥投影面W：侧垂线WVH以正垂线

AB

为例，

其投影特性：XOYWZYHAa'≡b'Babb”a”a’

≡b’aba”b”∵AB

⊥V，∴AB∥H，AB∥W。投影特性：投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；另外两个投影反映实长，且垂直于相应的轴。14投影面平行线的投影在三投影面体系中，当直线平行于某一个投影面，同时与另两个投影面倾斜，这样的直线称为投影面平行线。CDPcd共有三种投影面平行线：直线∥投影面V：线直线∥投影面H：水平线直线∥投影面W：侧平线15WVH以水平线CD为例，XOYWZYHCDd'cdd”c”cdc”d”其投影特性：CD

∥H，与V、W

倾斜。d’

c’c'投影特性：投影面平行线在所平行的投影面上的投影反映实长、反映与另外两个投影面的夹角实际大小；另两个投影平行于相应的轴，且缩短。16一般位置线的投影直线与三个投影面都倾斜，这样的直线称为一般位置线。EFPef17以一般位置线EF为例，其投影特性：f’fe”f”e’XOYWZeYH投影特性：三个投影均与轴倾斜、投影缩短，与三个投影面的夹角都不反映实际大小。???VGHh’H

hWh”g”gg'18VGHh’H

hWh”g”gg'GVGW4.2.3线段的实长及其与投影面的夹角..△YGH△XGH△ZGH.

GHh’hg例:求线段HG的实长及其与投影面V的夹角。g'OX.g’h'△YGHLGH求线段HG的实长可利GHGH、GHGV、GHGW任一个直角三角形；而夹角

、

、

则分别在不同的三角形中。19△YGH4.2.4属于直线的点属于直线的点，其投影必在该直线的同名投影上，且分该直线的各投影成比例。

（用图解法）XOYWZYHXOa”b”c”对于侧平线，有两种判断方法：利用侧投影；利用比例法。a’b’abll’a’ab’c'bck20k’4.2.5直线的迹点直线与投影面的交点，称为该直线的迹点。迹点既在直线上（或延长线上），又在投影面上。XO因迹点是投影面上点，所以，迹点的一个投影必在轴上！m’m

≡

Mnn’≡

N21a’b’ab规定：直线与H面的交点—水平迹点（M）直线与V面的交点—正面迹点（N）直线与W面的交点—侧面迹点（S）直线的投影特性何时投影积聚为点、反映实长、投影缩短投影面垂直线、平行线、一般位置线的投影特性线段的实长及其与投影面的夹角属于直线的点迹点的求法要点小结22平面的表示方法几何元素表示线及线外一点两平行线两相交直线平面图形不共线的三点'PACBPABCa'XOb''abb234.3.2平面的投影特性平面在单一投影面上的投影特性平面垂直于投影面：平面在该投影面上的投影积聚为直线(积聚性)平面平行于投影面：平面在该投影面上的投影反映实形（显实性）平面倾斜于投影面：平面在该投影面上的投影为类似形（类似性）24平面在三投影面体系中的投影特性①投影面平行面的投影平行于某一个投影面的平面—投影面平行面：平面平行于V—

面平面平行于H—水平面平面平行于W—侧平面面的投影特性：平行于V：在V上投影反映实形；垂直于H、W：在H、W上投影积聚，且平行于轴。XZYHOa’b’c'ab

ca”c”b”

YW例：25②投影面垂直面的投影垂直于某一个投影面、与另两个投影面倾斜的平面—投影面垂直面：平面垂直于V—正垂面平面垂直于H—铅垂面平面垂直于W—侧垂面XZYHYWOa’b’c'acba”b”c”铅垂面的投影特性：26垂直于H：在H上投影投影积聚，且与轴倾斜；倾斜于V、W：在V、W上投影类似于空间的面。例：③一般位置平面的投影与三个投影面均倾斜的平面——一般位置平面。XZYHYWOa’ab’ba”b”c”c'c一般位置面的投影特性：27与三个投影面均倾斜，所以三个投影都具类似性。例：完成△ABC的侧面投影。4.3.3属于平面的直线和点属于平面的直线定理①：若直线通过属于平面的两个点，则直线必在面上。定理②：若直线通过属于平面的一个点，且平行于属于该平面的一条已知直线，则该直nabccamb

nmOX●●●●abcbcamn线必在面上。mOX●●n28d'平面上点的投影判断一点属于平面的几何条件如果点在平面的任意一直线上，则此点一定属于该平面。例1

已知平面△ABC上的一点K的正面投影k′，求其水平投影k。k●d通过作辅助线求解在面内的点例2

判断空间一点K是否属于平面△ABC。dabcbcaOXkkd29点K不属于平面△ABCd'平面上点的投影判断一点属于平面的几何条件如果点在平面的任意一直线上，则此点一定属于该平面。通过作辅助线求解在面内的点例1

已知平面△ABC上的一点K的正面投影k′，求其水平投影k。abbcakOXk●d例2

判断空间一点K是否属于平面△ABC。dabbcaOXkkdcc点K不属于平面△ABC平面的表示方法常用的是:两平行线、两相交直线、平面图形平面的投影特性何时投影积聚为直线、反映实形、类似形投影面平行面、垂直面、一般位置面的投影特性属于平面的直线和点要点小结31例：完成五边形ABCDE的水平投影。b’分析：利用面上画线，线上找点的方法。gfdecbag’f’e’d’c’a’XO32hgfedcbah’g’f’e’d’c’b’a’XO例：完成多边形ABCDEFGH的水平投影。33分析：a’b’∥e’f’a’h’∥f‘g’∥e’d

’∥b’c’h’g’d’c’四点共线此方法不适宜本题！！要充分利用图形特点作图！即简捷，又准确。作图：·ah∥bcd、g

在ch

上fe∥abde∥gf∥cb顺序连接各点(描粗)几何元素间的相对位置关系5几何元素间的平行问题几何元素间的相交问题几何元素间的垂直问题相对位置综合问题内容3536定理：若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。5.1.1直线与直线平行例：完成平行四边形ABCD的投影。c'c解题步骤：∵

DC∥AB,BC∥AD∴d‘c’∥a‘b’，b’c’∥a’b’；dc∥ab，bc∥ab。XOa'd'b'abdC应符合点的投影规律。若需完成其侧投影时，要保证作图的准确性。d"YHYWc"Z

b"a"37例：判断AB与CD是否平行。d"ZYHYWc"a"b"c'cXOa'd'b'abd方法一：利用侧投影判断38求得结果：a”b”不平行于c”d”，所以AB与CD不平行。395.1.2直线与平面平行定理：若直线平行于面上的任一直线，则该直线与该平面平行。推理：若直线的投影与投影面垂直面的投影相互平行，则此直线与该平面平行。e'e②过点K作一水平线平行于面（AB×CD)。①解题步骤：作KE∥AB,即KE∥(AB×CD)。②解题步骤：先作面上任一水平线BI再作KF∥IB,则水平线KF∥(AB×CD)1Oa'X1'

b'c'd'k'kabcdf'f例：①过点K作一直线平行于面（AB×CD)。40415.1.3平面与平面平行定理：若两个平面上的两条相交直线相互平行，则此二平面互相平行。推理：若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。1'1Oe'ea'Xb'c'd'k'kabcdf'42f作k‘f’∥1‘b’→

kf∥1b→

KF∥IB又∵KE∥BA∴(KE×KF)∥(AB×CD)例:(KE×KF)∥(AB×CD)?直线与直线平行空间两直线相互平行直线与平面平行同名投影相互平行直线与平面上任一直线平行平面与平面平行直线与平面平行两平面上的两相交直线对应平行二平面互相平行要点小结435.2.1直线与直线相交两直线相交相交条件:两直线各同名投影均相交，且交点符合点的投影规律，即两直线只有一个公有点。44a'b'c'd'a'b'c'd'XOXOabd不相交相交k'kabcdk'ck1k2例：判断两直线是否相交。45a'Xb'c'd'abcd相叉相叉条件:两条直线没有公有点，也不平行。其投影的交点为两直线的重影点。不相交，也不平行——交叉Ok1k2l1246l

'1k'

2(k

')k

'(l1)l2l475.2.2直线与平面、平面与平面相交⒈直线与平面相交直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。要

的问题：求直线与平面的交点。判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。只

直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。abcmncnam⑴平面为特殊位置bk求K在正面的投影mn

与平面ABC相交于K点；平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。1(2●)k●●2●1●还可通过重影点判别可见性。km(n)bmncbaac空间及投影分析直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，而交点K的水平投影k也积聚在该点上,求正面投影k’①求交点②判别可见性点1位于平面上，在前；点2位于MN上，在后。故k

2为不可见。1(2)k●●●21●●用面上取点法49⑵直线为特殊位置⒉

两平面相交两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。的问题：①如何求两平面的交线方法：⑴确定两平面的两个共有点。⑵确定一个共有点及交线的方向。②判别两平面的相互遮挡关系，即：可见性。50可通过正面投影直观地进行判别。abcdefcfdb

eam(n)求平面ABC与DEF的交线平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求

得交线上的一个点便可作出交

线的投影。①求交线②判别可见性从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上其水平投影可见。n●m●