5573汽车系统动力学基本课件-第章操纵模型

第十一章

基本模型特性分析对实际问题的考虑第六节实例分析与比较第一节第二节第三节第四节第五节概述基本

模型假设运动方程的推导第一节概述背景最简单的车辆模型可由一单质量刚体来表示,该刚体在外力和外力矩作用下具有在道路水平面运动的三个度,即纵向运动、侧向运动和横摆运动。两度基本模型为建立更为复杂的模型提供了必要的基础。第一节动力的需求与供应二、作用于车辆的外力与外力矩1.空气动力与力矩当车辆在 的空气中做直线运动时,主要受到空气阻力、升力和俯仰力矩的作用。当直线行驶的车辆受到稳定的侧风作用时,其平衡状态将受影响。在实际中车辆通常受到的是不稳定的阵风。车辆受到不可

的力和力矩作用,致使其偏离预定轨迹。2.轮胎力与力矩在车辆运动过程中,轮胎主要受到纵向、侧向以及垂向三个方向的力和力矩,驾驶人对这些力和力矩的准确控制始终是间接的。轮胎侧向力的作用是使车辆转弯,驾驶人通过转向系统使车轮产生一个转向角,以此来控制轮胎的侧向力。同时,单个轮胎在转弯过程中会产生回正力矩。第二节

基本

模型假设度基本描述车辆运动(包括侧向速度和横摆角速度)的两模型是基于以下理想化的假设:假设车辆行驶在平坦路面,即无垂向路面不平度输入,因而可以忽略与行驶动力学相关的垂向力影响及耦合作用。包括悬架系统在内的车辆结构是刚性的。忽略了转向系统,将输入直接施加于车轮;或者假设转向系统为刚性,然后以固定的传动比,将输入通过转向盘施加于转向轮。忽略了空气动力。车辆仅受平衡状态(如直线行驶或稳态转向)附近的小扰动,这意味着前轮输入转角足够小,从而保证车辆运动方程为线性的。第二节

基本

模型假设基本 模型的最大问题是:它忽略了簧载质量(即车身)的侧倾运动及其相关影响。由于基本模型中忽略了轮胎的左右载荷转移,所以也就不必考虑车辆的宽度(即轮距)的影响。因此,左右两个轮胎的合力是作用在车轴上,所生成的即为单轨

动力学模型,通常称为“自行车模型”。根据以上假设,车辆被简化成为一个具有两个平动 度(纵向和度(横摆)的单质量刚体。如果再假定车速为度也无须考虑,因而只剩下侧向和横摆两个运侧向)和一个转动恒定,则纵向运动动度。第三节运动方程的推导一、采用牛顿方法的模型推导图11-1与参考基A固结的车辆在接地参考基G中的相对运动图11-1表示的是一个在地面惯性坐标系G中运动着的车辆。严格地说,将G称为惯性参考“基”(Frame),它包括了

分别由三个单位正交矢量(g1、g2、g3)。定义的惯性坐标系g,而车辆由一个固结于本身的参考基A来定义,它包含由三个单位正交矢量(a1、a2、a3)定义的坐标系a;其中a1轴指向车辆前进方向,并与g1轴有一夹角(航向角)ψ,轴g3和轴a3均垂直于地面指向下。第三节运动方程的推导a1a2a3g1cosψ-sinψ0g2sinψcosψ0g3001在基本 模型中,车辆的三个 度分别为:沿a1方向的前进速度u。沿a2方向的侧向速度v。绕a3方向的横摆角速度r,即r=。坐标系a和g之间的相互关系由表11-1的变换公式给出,例如:g1=cosψa1-sinψa2,而a2=-sinψg1+cosψg2。表11-1

坐标系g和坐标系a之间的变换第三节运动方程的推导由此,系统的运动方程就可方便地以牛顿第二定律的形表达,即在惯性参考基G中,线动量的变化率等于作用于车辆上的外力之和;角动量的变化率等于作用于车辆的外力矩之和(参见绪篇第二章中的式(2-1)和式(2-3))。若车辆的质量为m,横摆转动惯量为I,则其线动量在参考基A中表示如下:车辆在参考基A中的角动量为::·

·1

2车辆线动量L在参考基A中的变化率为dLA

dtmu

a

mva

(11

3)H

Ira3L

mua1

m车辆角动量H在参考基A中的变化率为::考基G的角速度,即：由此得到:3dH

Adt

Ira

(11

4)根据参考基G与A的关系,车辆线动量L在惯性参考基G中的变化率为

dLG

dLA

GA

L(11

5)dt

dt式中,“×”表示矢量的叉乘;符号ΩGA表示参考基A相对于惯性参·

·1

2dLGdt

m(u

vr)a

m(u

ur)a

(11

7)GA

ra第三节运动方程的推导··dtdH

G

I

r

a3

(11

8)同理,车辆角动量H在惯性参考基G中的变化率则为:分别以Fx和

Fy表示a1和a2方向的合外力,以

M

z

表示绕a3轴的合外力矩,则系统运动方程写成如下形式:m(u

vr)

Fx

(11

9)m(v

ur)

Fy

(1110)I

r

M

z

(1111)第三节运动方程的推导与车辆侧向速度v相比,车辆质心处的前进速度u通常较大,因此,将u表示为:第三节运动方程的推导u

uc

u(1112)式中,uc表示车辆的恒定前进速度,而Δu则是与v和r为同一数量级的、相对于车速uc的一个扰动量。在小扰动假设下,乘积·Δur和vr的值可以忽略,那么式(11-9)可被解耦。若Fx=0,则u

=0,那么式(11-9)就可被取消,这样,就得到了一个两

度的基本模型,其运动方程为:m(v

ucr)

Fy

(1113)·Ir

Mz

(1114)第五节制动性若前轴的两个轮胎的侧向力合力为Fyf,后轴的两个轮胎的侧向力合力为Fyr,且忽略作用于单个车轮的回正力矩,则式(11-13)、式(11-14)变为:·m(v

ucr)

Fy

f

Fyr

(1115)I

r

aFy

f

bFy

r

(1116)第五节制动性图11-2

垂向载荷和侧偏角与轮胎侧向力的关系曲线下面以系统变量u、v以及输入转向角δf来表达轮胎力。推导过程中做了一些简化处理,忽略了轮胎回正力矩对车轮外倾角的影响,假定轮胎要是轮胎侧偏角和垂向载荷的函数。下面对轮胎侧偏角进行推导。图11-2给出了垂向载荷Fz和侧偏角α与轮胎侧向力Fy的典型关系曲线。第五节制动性性 动力学分析中,假定轮胎载荷Fz为恒定,且侧偏角α较小,所以只需已知α=0时的斜率Cα,在这种情况下,侧向力为:Fy

C

(1117)式中,系数Cα值为正,定义为某特定垂直载荷下的轮胎侧偏刚度。第五节制动性这里,需要说明如下:在式(11-17)中隐含着对符号的约定,轮胎侧偏角α由tanα=vw/uw定义(其中,vw为车轮的侧向速度;uw为车轮的前进速度),则式(11-17)中的轮胎侧偏刚度Cα总定义为正值,而负号表示轮胎侧偏角与轮胎侧向力符号相反。单轨 模型中的Cα值是指整个车轴(包括左右两侧轮胎)的侧偏刚度,可以认为是单个轮胎侧偏刚度的两倍。虽然轮胎侧向力Fy被定义为垂直于车轮的回转平面,但轮转向角δf很小的情况下,可近似假设前轮侧向力Fy与坐标系A中的

a2轴平行。第五节制动性图11-3前后轮侧偏角示意图(以正值标出)由图11-3可知,如果车辆恒定的前进速度为uc,横摆角速度为r,那么左右两侧车轮的前进速度应该分别等于uc±Br/2,其中B表示轮距(参见图11-3)。由于实际上

uc>>(B/2)r,所以可以近似认为车轮的纵向速度与车轮的前进速度相等。第五节制动性那么单轨 模型推导中,前轮的侧向速度为:后轮的侧向速度为：当α很小时,有tanα≈α,则在后轴为非转向轴情况下,后轮侧偏角αr可近似线性地表示为:由于前轮产生一个转向角δf,且定义顺时针方向为正,可得:vf

v

ar(1118)vr

v

br(1119)cru

v

br

(11

20)fcffvtan(

)

(11

21)u第五节制动性则前轮侧偏角近似为:αf≈-δf(11-22)根据已知的轮胎侧偏刚度与侧偏角的大小,可知前后轮侧向力分别为:Fyf=-Cαfαf(11-23)Fyr=-Cαrαr(11-24)将式(11-20)、式(11-22)、式(11-23)和式(11-24)代入系统运动方程式(11-15)、式(11-16)中,可得:·c

cfcccf

fu

uuu

f

f

r

(C

f

C

r

)

v

(aC

f

bC

r

)

r(11

25)(aC

bC)

(a2C

b2C

)Ir

aC

v

f

r

r(11

26)m(v

u

r)

C

第五节制动性fr

令状态变量X

v,

将系统输入(即前轮转角

)整理到方程的最右边,式(11

25)和式(11

26)则可整理成状态方程形式,即:cccfc

cffmumum)

(a2CIu

Iu

r

fC

f

r

f

r

aC

f

I

CaC

bC

rv

C

fv

u r

(11

27)(aC

bC

b2C

)r

v

r

(11

28)将上面两式写成标准状态方程的矩阵形式,即:X

AX

BU

(11

29)因而,推导出两

度 模型的表达通式,即式(11-29)第五节制动性cc2mumuIuc

f

r

Iuc

C

rbC

r

aC

f

C

f

u

c

;aC

f

bC

ra

C

b2C式中,A

f

C

f

f

I

B

m

;U

(

),为系统的输入。aC第五节制动性二、采用拉格朗日方法的模型推导虽然拉格朗日方程的广义坐标Q通常表示的是参考基A中的位移,但基本在基本模型中的系统变量u、v和r是速度而不是位移,因此,模型的推导中采用拉格朗日方程的特殊形式如下:31

Q12

Q

2Q3dt

u

v

q

v

d

ET

r

ET

F(11

31)dt

v

u

v

ET

F

(11

32)dt

r

vu

令q

u

d

ET

r

ET

F

(11

30)令q

r

d

ET

u

ET第五节制动性二、采用拉格朗日方法的模型推导对基本 模型而言,系统动能和广义力分别为:2

2TE

1

m(u2

v2

)

1

Ir2

(11

33)FQ1

Fx

,

FQ

2

Fy

,

FQ3

Mz

(11

34)这里总势能为零,总耗散能也为零,即Ev

0,ED

0。第五节制动性二、采用拉格朗日方法的模型推导根据式(11-33),求出拉格朗日方程式(11-30)~式(11-32)中的各项分别为:dt

d

ET

d

(mu)

mudt

u

dt

r

ET

r(mv)

mvrvd

ET

d

(mv)

mvdt

v

r

ET

r(mu)

murud

ET

d

(Ir)

Irdt

r

dtET

ETu

v

u(mv)

v(mu)

0v

u第四节

特性分析一、稳态响应分析如果设方程式(11-27)及式(11-28)中的动态项和为零,对输入项(即前轮转角δf)求解,得到输出v和r,即得到了稳态响应结果。将其写成如下状态空间方程的形式:cccfuuaCuc

f

C

f

C

rmu

aC

f

bC

r

C

v

r

aC

bCa2C

b2C

f

r

f

r

uc

f

〔

〕(11

35)根据前面介绍的克莱姆法则,参见式(9-32),即可方便地对上式求解,得出表示车辆的横摆角速度稳态响应rss。所得到横摆角速度稳态响应增益如下:cf

f

r

rfrss

uc

LCf

C

r

(11

36)L2C

C

mu2

(bC

aC

)式中,轴距L=a+b,下标ss表示“Steady

State”,即“稳态”。第四节特性分析图11-4描述稳态转向的基本车辆模型当车辆稳态转向半径为R时,转向曲率ρss则为:ssR

1

(11

37)当车辆以极低车速行驶且不考虑侧偏角影响时,稳态横摆角速度和侧向加速度分别为:(u2

)rss

uc

(11

38)Rass

c

(11

39)R第四节特性分析因此,由式(11-36)表示的稳态横摆角速度响应增益还可写成单位转向角产生的曲率的形式,即:2f

c1ss(11

40)L

u式中,系数κ被称为“不足转向参数”(understeer

parameter),定义为:

m(bC

r

aCf

)

(11

41)LCf

C

r第四节

特性分析需要的是,很多文献中采用的所谓“稳定性因数”K本质上是与其相同的,同样来表示车辆不足转向与过多转向特性,只不过是相差一个系数(1/L),也就是要除以轴距L,即:按κ值符号的不同,可将车辆稳态转向特性分为三种情况,如图11-5所示。图11-5不同κ值情况下稳态转向曲率和车速的关系第四节特性分析κ=0,称为“中性转

向”(neutral

steer)。此时ρss/δf等于轴距的倒数,对应于实际中车辆的纯滚动状态,有δf≈L/R(图11-6)。κ>0,称为“不足转向”(under-steer)。响应始终是稳定的,并随车速的增加而减少。图11-6

做纯滚动的车辆转向角与转向半径的关系(由于L<<R,因而近似有δf≈L/R)第四节

特性分析3)κ<0,称为“过多转向”(over-steer)。响应随车速的增加而增加,当超过一个临界车速ucrit时,响应趋向∞。临界车速ucrit由下式给出:2critC

f

r

f

ru

(11

43)L L

C

m(aC

bC

)这里,为了更清楚地看出参数κ的物理意义,将式(11-40)结合式(11-37)重新整理后,可得:2fL

uc

R

R

(11

44)第四节

特性分析二、稳定性分析在无转向输入的情况下,系统状态方程式(11

29)变成齐次线性微分方程:X

AX

0(11

45)其解的形式如下:x(t)

eA(t

t0)

x(t

)(11

46)0其中,x(t0)为系统在初始时刻t0时状态变量的取值。若记初始时刻t0=0,则:x(t)

eAt

x(0)(11

47)第四节

特性分析在初始状态不为0的情况下,当且仅当A的特征值为负数或实部为负数时,齐次线性微分方程的解稳定。系数矩阵A的特征值满足|λI-A|=0,即:22ccSmIuDmIu2I

(a

b)

C

C

bC

aC0(11

48)

f

r

f

r

f

r

r

f

I

(C

C

)

m(a2C

b2C

)

或写为:λ2+Dλ+S=0(11-49)第四节特性分析图11-8

单度质量-弹簧-阻尼系统第四节

特性分析这里可以用图11-8所示的一个非受迫阻尼简谐振动系统来类比说明,其系统方程形式如下:mx

cx

kx

0(11

50)其特征方程是：

λ2+2ξωnλ+=0(11-52)简单地说,对图11-8所示的系统来说,当受到一个阶跃输入时,使质量块最快速地回到稳态而又没有出现超调时的阻尼称为系统的临界阻尼ccrit,其大小为2。第四节

特性分析对于刚度项来说,根据稳定裕度(bCαr-aCαf)符号的不同,有两种完全不同的情况:(1)bCαr>aCαfS总为正,其大小随行驶速度uc的增加而减少。系统无条件稳定。系统表现为阻尼振动特性。由于阻尼随车速uc的增加而减少,从而系统可能出现显著的振动。(2)

bCαr<aCαf当车速uc增加到由式(11-43)表示的临界车速ucrit时,S减少到零;当uc>ucrit时,S为负,此时给出了不稳定运动的分界点。阻尼总是很高,且随着车速uc增加而增加,即使当uc取值不大时,阻尼也可能会大于临界值。第四节

特性分析特征方程的解λ称为“特征根”(eigenvalues),可将其绘制在一个复平面内,并在一定范围内改变某些系统参数,以观察特征根位置轨迹的相应变化。由此绘出的图也称为“根轨迹图”(rootlocus)。如图11-9所示,固有频率ωn和阻尼比ξ与特征根λ有如下关系:特征根至原点的距离表示了系统无阻尼固有频率。特征根的虚部即为阻尼固有频率。特征矢量与虚轴之间夹角的正弦即为阻尼比(系统阻尼与临界值之比)。第四节特性分析图11-9特征根与相应的固有频率和阻尼比的关系第四节

特性分析参

数符

号数

值单

位车辆总质量m1000kg车辆横摆惯量I1500kg·m2质心至前轴的距离a1.25m质心至后轴的距离b1.25m前轮侧偏刚度Cαf53kN/rad后轮侧偏刚度Cαr53kN/rad车辆前进速度uc20m/s为便于说明,对车辆参数进行理想化假设,见表11-2。例如,令a=b、Cαf=Cαr,因而稳定裕度为零,车辆恰好具有中性转向特

性。两个特征根分别为λ1=-5.30和λ2=-5.11,因此判定系统是稳定的。且在这种特定条件下,系统恰好处于临界阻尼状态。表11-2

一组特定的车辆

动力学模型参数第四节

特性分析再通过改变车辆质心的位置(即改变质心至前后轴的距离a和b的值)来改变车辆的稳定裕度,修正后的参数及相应转向特性见表11-3。表11-3

基于表11-2修改后的车辆参数及相应的转向特性参

数单

位不足转向中性转向过多转向am1.151.251.35bm1

351.251.15bCαr-aCαfkN·m/rad+10

60-10

6κ(°)/g+0.0860-0.086ucritm/s—∞41第四节特性分析由图11-10可知,在不足转向情况下,当速度增加时,特征值在复平面的位置发生变化,这反映了阻尼比的减小;在过多转向情况下,特征值为一实数,当车速增至临界车速(约为41m/s)时,特征值开始出现正实部,因而此时系统处于不稳定状态;而在中性转向情况下,图中没有标出的特征矢量也是一个实数,且保持在原点的左侧。表11-3基于表11-2修改后的车辆参数及相应的转向特性第四节

特性分析度系统方程式(11-且遵循=iωx的关系,将x代入前面的两

29),各项再约掉eiωt,重新整理得到:X=-(A-iωI)-1BU=G(ω)U(11-57)三、频率响应分析前面已经介绍过,频率响应特性完整地描述了车辆在小扰动下

的动态性能,而稳态响应则是频率为零时频率响应的一个特例。假设系统输入U是正弦波,其通式表达如下:U=U0eiωt(11-55)式中,ω为频率(单位为rad/s),U0为一个常矢量,则方程的解具有如下类似的形式:x=Xeiωt(11-56)其中,X通常为复数,代表了x对输入响应的幅值和相位的变化,第四节特性分析将以上关系式代入方程式(11-29),各项约掉eiωt后得:再用克莱姆法则,参见式(9-32)传递函数可写为如下形式:第四节

特性分析式中,下标r表示实数部分,而i表示虚数部分。第四节特性分析图11-11

具有不同转向特性车辆的横摆角速度幅频和相频响应第四节特性分析如果用极坐标的形式表示复变量Xv/Δf将会更有意义,它表示单位转向角引起的侧向速度增益及相应的相位移,二者都是频率ω的函数。与此类似,Xr/Δf代表了单位转向角引起的横摆角速度增益和与此相应的相位移。一旦得出系统的频响函数,就可方便地求出任何线性分析结果。对本例而言,对车辆侧向加速度ay=+ucr的响应是:iωXv+ucXr。第四节特性分析特和图11-12具有不同转向性车辆的侧向加速度幅频相频响应第四节特性分析图11-13基于零频率稳态响应值规范化的横摆角速度和侧向加速度幅频特性第四节特性分析斯变换,可其中β(s)、r(s)与δ(s)分别为β、r与δ的拉以分别求得为:第五节对实际问题的考虑—车辆的质心位置改变车辆的质量分配将改变a和b值,从而直接影响稳定裕度。然而,实际情况并不这么简单,此时轮胎垂直载荷也同时发生了变化,从而影响轮胎侧偏刚度的变化。假定轮胎侧偏刚度Cαf和Cαr对垂直载荷的影响相对不太敏感(如轮胎受重载的情况),那么通过稳定裕度的定义很容易就可 质心位置变化的影响。一般情况下,质心后移,稳定裕度减小,车辆将趋于过多转向,如在车辆发 后置时即为此种情况。但通常情况下,必须考虑质心位置和轮胎侧偏刚度的综合影响。第五节对实际问题的考虑二轮胎侧偏刚度虽然轮胎侧偏刚度Cαf和Cαr的改变可以通过改变轮胎的尺寸来实现,但实际中绝大多数轿车的前后轮通常不会采用不同尺寸的轮胎。然而也有例外,比 些大功率、发

后置的运动型跑车,如保时捷(Porsche

Boxster)汽车,就是采用了前后不同型号的轮胎来提高后轮侧偏刚度Cαr,以避免过多转向。另外,改变轮胎的胎压也能小幅度地改变Cαf和Cαr。在轮胎正常工作载荷范围内,增加胎压可使轮胎侧偏刚度增加。因此,在车辆设计和使用中,这种调节胎压的方法经常会用来补偿车辆装载条件的变化对车辆转向特性的影响。第五节对实际问题的考虑三载荷的轴向转移车辆在转弯过程中,车辆载荷在左、右车轮上将重新分配,即外侧轮胎载荷增加,内侧轮胎载荷相应减少。在忽略了悬架变形的车辆模型假设下,两侧的车轮沿车轴方向的轮胎载荷转移量可直接由图11-14所示的原理及方法进行简单的计算若轮胎侧偏刚度与垂直载荷成正比,那么载荷轴向转移的

“净效果”将是零。因为内侧轮胎减少的侧向力将被外侧车轮增加的侧向力所补偿,因此,两个车轮上总的侧向力将保持不变。第五节对实际问题的考虑图11-14计算车辆转弯时车轮第五节对实际问题的考虑图11-15载荷转移对左右轮胎侧向力合力的影响第五节对实际问题的考虑图11-15表明了给定侧偏角情况下,垂直载荷与轮胎侧向力的非线性关系。由图可见,由于载荷的轴向转移,使轮胎总的侧向力会有一个“净”减小量。也就是说,车辆转向时,其内侧轮胎与外侧轮胎的侧向力之和总小于静态平衡条件下的轮胎侧向力之和。车辆设计中,必须要考虑载荷轴向转移的影响,以减少车辆前、后轮胎有效侧偏刚度的变化。设计者可以通过采用车辆前、后悬架侧倾刚度的匹配关系机理来控制载荷转移的影响。由于总的载荷转移量作用于车辆的前、后轴,那么前、后悬架侧倾刚度的比例在控制车辆 稳定性中就成为一个重要因素。前后悬架的相对侧倾刚度决定了前后分配的比例。第五节对实际问题的考虑四车轮外倾角的影响由图11-16可见,车轮外倾角会向转弯的外侧倾斜,因而导致可用的转向轮的净侧向力多少会有点损失。图11-16转向时由车身侧倾引起的总轮胎侧向力“净”损失示意图第五节对实际问题的考虑五变形转向的影响图11-17

车辆转向时变形转向作用的原理(对后轮转向进行了放大)第五节对实际问题的考虑当车辆转弯时,车轮定位参数的变化实际上是由悬架运动学效应和变形作用共同决定的。当侧向力作用于车轮时,由于橡胶衬套等引起的悬架弹性,使其具有产生微小转向角的能力,这是悬架的一个重要特征。通常不希望这种副作用存在,但有时也可利用它来改善车辆的

性能。车辆转向时变形转向作用的原理如图11-17所示。由图可见,后轮胎侧向力导致一个附加转向角δr产生(此例中δr与δf同相)。这种情况下,增加了不足转向趋势,因此对一给定的弯道,前轮转角需根据情况做出调整,其影响结果可以看作是改变了轮胎的有效侧偏刚度值。在所示的例子中,后轮胎有效侧偏刚度Cαr,e增大,因而提高了车辆稳定裕度,即增加了不足转向趋势。第六节实例分析与比较图11-18两种车型的稳态响应比较第六节实例分析与比较表11-4别克轿车和法拉利跑车的车辆模型参数参

数符

号单

位别克1949法拉利Monza质量mkg20451008转动惯量Ikg·m254281031质心到前轴距离am1.4881.234质心到后轴距离bm1.7121.022前轮侧偏刚度CαfkN/rad7