数值分析教学课件：01 计算方法中常用的一些概念

数值分析NumericalValueAnalysis数值分析研究的对象

数值分析是计算数学的范畴，有时也称它为计算数学、计算方法、数值方法等，其研究对象是各种数学问题的数值方法的设计、分析及其有关的数学理论和具体实现的一门学科，它是一个数学分支。是科学与工程计算（科学计算）的理论支持。数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用数学的广泛性与实际试验的高度技术性的特点。数值分析研究的对象它是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程。许多科学与工程实际问题（核武器的研制、导弹的发射、气象预报）的解决都离不开科学计算。目前，试验、理论、计算已成为人类进行科学活动的三大方法。数值分析研究的对象

它与其他学科相结合也产生一些边缘科学，如计算力学、计算物理、计算生物学及计算经济学等。

计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计算(即使是函数也是通过数值分析方法处理，转化为四则运算而形成了的一个小型论软件包)。

本门课程将着重绍进行科学计算所必须掌握的一些最基本、最常用的算法，并分析其误差。

科学计算的过程，是从数学模型的提出到上机计算得出结果的完整过程。（下图表明了其中的主要步骤和相互关系）数学化离散化程序化数学模型构造算法编制程序上机运行输出结果实际问题数值分析研究的对象数值分析研究的任务①将计算机不能直接计算的运算，化成在计算机上可执行的运算。②针对数值问题研究可在计算机上执行且行之有效的新的计算公式。例：解线性方程组，已有Cram法则，但不可行。③误差分析，即研究数值问题的性态和数值方法的稳定性。数值分析研究的目的①学习一些常用的数值方法，掌握数值方法的基本理论，为进一步研究新算法奠定基础。初步掌握一种软件包：Matlab,Mathematic等的使用方法。课程主要内容代数插值法；曲线拟合与函数逼近；数值积分与数值微分；

线性代数方程组数值求解的直接法；线性代数方程组数值求解的迭代法；非线性方程与方程组数值求解；常微分方程数值求解。第一章绪论主要内容：一些常用概念；数值计算中的误差；运算误差分析；算法的基本概念；数值型算法的特点；算法设计的基本方法；算法的复杂度；数值型算法的稳定性。1.计算方法中常用的一些概念

数值问题数值解算法计算量病态问题良态问题数值稳定算法数值问题、数值解、算法

由一组已知数据（输入数据），求出一组结果数据（输出数据），使得这两组数据之间满足预先制定的某种关系的问题，称为数值问题。经过计算机的计算求出的解，或由数值计算公式得出的解称为数值解。一般数值解是近似值。由给定的已知量，经过有限次的四则运算及规定的运算顺序，求出所关心的未知量的数值解，这样所构成的整个计算步骤，称为算法。

计算量一个算法所需要的乘法和除法总次数称为计算量。计算量的单位为flop，表示完成一次浮点数乘或除法所需要的时间。算法的计算量可以衡量算法的优劣，因为它体现着算法的计算效率，通常算法的计算量越小，则算法的计算效率越高，因而该算法也越好。由于计算机做加减法要比乘除法快得多，故算法的计算量可以不考虑加减法的时间。例:设A，Ｂ，Ｃ分别为10×20，20×50，50×10的矩阵，计算D=ABC就有如下不同的算法和计算量算法1：D=(AB)C计算量N1=15000flop;

算法2：D=A(BC)计算量N2=12000flop.

病态问题因初始数据的微小变化，导致计算结果的剧烈变化问题称为病态问题。病态问题也称为坏问题、不良问题，这类问题通常是问题本身固有的。求解病态问题应该特别注意，因为实际问题的数据都是近似的或经计算机计算要对输入数据做舍入处理，这都引起原始数据的扰动，若所求解的正好是个病态问题，则采用通常算法计算就会出现很隐蔽的错误，导致不良的后果。病态问题在函数计算方程组求根及方程组求解中都是存在的，它的计算或求解应用专门的方法或将其转化为非病态问题来求解。

数值稳定算法

在计算过程中产生的舍入误差能被控制在一定的范围内，且对最后的结果影响不大的算法称为稳定算法。不是数值稳定的算法称为数值不稳定算法。

数值不稳定算法会导致计算结果失真，对数值不稳定的算法常采用转化成相应的数值稳定的算法来处理。

2.对算法所要考虑的问题计算速度。例如，求解一个20阶线性方程组，用加减消元法需3000次乘法运算，而用克莱姆法则要进行次运算，如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。2.对算法所要考虑的问题2.存储量。

大型问题有必要考虑。3.数值稳定性。

在大量计算中，舍入误差是积累还是能控制，这与算法有关。3.数值计算中的误差来源及种类

---模型误差、参数误差、截断误差、舍入误差。1.模型误差（也称描述误差）模型误差是在建立数学模型时，由于忽略了一些次要因素而产生的误差，它是数学建模阶段要考虑的误差，不是计算方法可以解决的。2.参数误差（也称观测误差）测量已知参数时，数据带来的误差，它也不是计算方法能解决的问题。观测得到的物理量：如问题、长度、电压等。

数值计算中的误差3.截断误差（也称方法误差）截断误差是对参与计算的数学公式做简化可行处理后所产生的误差（用有限过程代替无限过程或用容易计算的方法代替不容易计算的方法），是计算方法关注的内容。4.舍入误差（也称计算误差）舍入误差是由于计算机只能表示有限位数字，因而只能取有限位数进行计算所得的误差，它也是计算方法关注的内容。数值计算中的误差舍入误差不可避免，很难控制。求解过程中产生的误差现实问题数学模型离散格式模型误差建模离散舍入误差观测模型截断误差数值解计算

数值计算中的误差误差的基本概念

绝对误差

---近似数x*

关于准确数x

的绝对误差：

E(x)=x

－x*（或E(x*)=x

－x*)）

---近似数x*

关于准确数x

的绝对误差限：

｜E(x)｜=｜x

－x*

｜

---工程上表示准确数x

的范围：

x*

－

x

x*

+

或x=

x*

---函数值的绝对误差：

E[f(x)]

f'(x)

E(x)

数值计算中的误差相对误差

---近似数x*

关于准确数x

的相对误差：---函数值的相对误差限：---近似数x*

关于准确数x

的相对误差限（实际应用）：

数值计算中的误差有效数字设x*是x的一个近似值，如果x*的绝对误差限是它的某一位的半个单位，则说近似值准确到这一位，若该位到x*

的第一位非零数字攻有n位，则称这n

位数字为有效数字。例题下列近似值的绝对误差限都是0.005，试问各个近似值有几位有效数字？（3，2，无）

数值计算中的误差有效数字

---用x*

表示x

时准确到小数点后第k

位：---近似数x*

具有n(>0)位有效数字：

数值计算中的误差一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字．例：10/3通过四舍五入得到的如下近似数，各精确到哪一位，各有哪几个有效数字？（1）3.3

（2）3.33例：按四舍五入原则写出下各数具有５位有效数字的近似数。

(1)187.9325(2)0.03785551(3)8.000033(4)2.7182818

数值计算中的误差有效数字与相对误差的关系

---n

位有效数字的近似数x*其相对误差：---相对误差为

的近似数x*至少具有n位有效数字。注：在未标明近似数的绝对误差时默认该近似数准确到末位数字，从其最左边的非零数字起直到最右边的一位数字止均为有效数字。4.数值计算中应注意的几个问题某些原则

---１．使用收敛稳定的计算方法；２．小心处理病态的数学问题；３．注意简化计算步骤，减少算术运算的次数；４．避免两个相近的数相减，避免绝对值太小的数作除数；５．防止大数“吃掉”小数．4.数值计算中应注意的几个问题(1)需要1+2+3+…+n次乘法;(2)需要n次乘法.注意简化计算步骤:4.数值计算中应注意的几个问题避免两个相近的数相减：4.数值计算中应注意的几个问题避免绝对值太小的数作除数:计算机运算时，绝对值很小的数作除数会溢出停机，而且当绝对