年全国中考真题分类解析-29.解直角三角形

解直角三角—选择则AC=（ 考点 解直角三角 利用直角三角形两锐角互余求得∠B的度数，然后根据正切函数的定义即可求解． D．点评 本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系BC的长为（） 考点 解直角三角 根据三角函数的定义来解决，由sinA==，得到BC==． 点评 本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，注意：在Rt△ACB中 （2014•泰州，第6题，3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么称这 A． B．1，1，C．1，1， 1.（2014•孝感，第8题3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，若AC=a，BD=b，则▱ABCD的面积是（ A． D．考点 平行四边形的性质；解直角三角形 过点C作CE⊥DO于点E，进而得出EC的长，再利用三角形面积公式求出即可． 解：过点C作CE⊥DO于点E，∵在▱ABCDAC、BD∴▱ABCD的面积是：absinα×2=absinα．点评 此题主要考查了平行四边形的性质以及解直角三角形，得出EC的长是解题关键∠BAD=60°M、NAB、ADAM：MB=AN：ND=1：2 （2题图A．B．C． 全等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；含30度角的直角三专题 计算题 连接AC，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长，CFMFtan∠MCN．解答 解Rt△ABCRt△ADC，在Rt△BMC中，CM== ∴△MAN过M点作ME⊥ON于E，设NE=x，则CE=2解得 = （2014•浙江杭州10题，3分）已知AD∥BC，AB⊥ADEF分别在射线AD，射线BC若点E与点B关于ACEF关于BD对称，ACBD相交于点G，则（）1+tan∠ADB=C． D．考点：CEEFBDOAB=AE1，利用勾股定理列式求出BE，再根据翻折的性质可得DE=BF=BE，再求出BC=1，然后对各选项CEEFBDO，由轴对称性得，AB=AE1，EFBDABCE ，故A选项结论正确∴2BC≠5CFB在Rt△ABD中，BD===∴∠DEF≠67°C由勾股定理得 ，故D选项结论错误 的判定与性质，熟记性质是解题的关键，设出边长为1可使求解过程更容易理解．坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（ 26米 B．28米 C．30米 D．46米AECB=10mAD．12ABi=1：1.5，∴AE=1.5BE=18∵BC=10∴AD=2AE+BC=2×18+10=46（2014•丽水，第5题3分）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（ C． -Rt△ABCABBC的值，通过解直角三角形AB的长．解答 解：在Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1：∴AB==6米 凉山州，第5题，4分）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤BC=10mAB的长度是（） B．20 D．10考点 解直角三角形的应用－坡度坡角问 在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．解答 解：Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：C． 3（2014•80海里的A处，它沿方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为 C．80海里 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 解：过点P作PC⊥AB于点C，由题意可得出：∠A=30°，∠B=45°，AP=80则PB==40 （2014•江苏苏州,第9题3分）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ B．2 C．2 D．（考点 过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，则AB=AD=2．解答 解：如图，过点A作AD⊥OB于Rt△AODRt△ABD即该船航行的距离（即AB的长）为2km．C． （2014•山东临沂,第13题3分）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行后到CCBC60°B、C之间的距离为（）20海里 D．30海里 解答 解：如图∴在直角△ABC中 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解题的难点是推知△ABC是等腰（2014•青海西宁,9题，3分）12是侧AB1：2.4，AB13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，CMNB点正上方的一点，BC⊥MNAC42°BC约为（0.1 10.8 B．8.9 C．8.0 D．5.8CDBC即可得到．解答 解：延长CB交PQ于点ABBD=5k米，AD=12kAB=13k∵AB=13∴BD=5米，AD=12Rt△CDA中，∠CDA=90∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8∴BC≈5.8米．），2.（2014•，第10题3分去爬山，在山脚看山顶角度为30°在坡比为），12的山坡上走1300米，此时看山顶的角度为60°，求山高 A．600﹣250B．600 C．350+350解答 解∵AB=1300∴AE=1200BE=500EC=x∴DF=x米．解得x=600﹣250．答：山高CD为（600﹣250）米．5.（2014•德州，第7题3分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（ A．4米 D．24米 分析 先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长解答 解：在Rt△ABC中，∵=i=，AC=12米∴BC=6 的定义求出BC的长是解题的关键．二填空1（2014•∠C=90°∠B=37°BC=32 （考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：根据正切的定义得到tanB=，然后把tan37°≈0.75和BC=32代入计算即可． 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，所以tanB=，即tan37°=，6.（2014•济宁，第12题3分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则的长 3+考点 解直角三角形 过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．解答 解：过C作CD⊥AB于 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等4．（2014•内江，第23题，6分）如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于C．若OC=2，则PC的长是考点：含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质．专题：计算题．CPOAQPPD⊥OAPD=PC，在OQCQCQDP中，利用PQQP+PC=QCPC的长即可．解答 解：延长CP，与OA交于点Q，过P作∵OPRt△QOC在Rt△QPD中，cos30°==，即 30度直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握直角三角形（2014•黑龙江,第8题3分）△ABC中，AB=4，BC=3，∠BAC=30°，则△ABC的 2+或2﹣（答对1个给2分，多答或含有错误答案不得分）． 专题 分类 分两种情况过点B或C作AC或AB上的高由勾股定理可得出三角形的底和高， 解：当∠B为钝角时，如图1，过点B作BD⊥AC， 当∠CBBD⊥ACAC 这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是 sin35°=或b≥a —BC=aB为顶点，作∠ABC=35°Cb于点A，然后连接AC即可，①当AC⊥BC时，②当b≥a时三角形只能作一个． 解：：若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是：①当AC⊥BC时，即sin35°=②b≥a时．2（2014•米，则树高BC为 米（用含α的代数式表示．考点 根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函数即可求出BC的高度．解答 解：∵BC⊥AC，AC=7米 4.（2014•株洲，第13题，3分）孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素，则此塔高约为182 sin20°≈0.3420，sin70°0.9397，tan20≈0.3640，tan70°≈2.7475（1题图考点 分析 解答 解：在Rt△ABC中AB=500 BC（观测点A与灯塔底部C在一个水平面上测得灯塔顶部B的仰35°，则观测点ABC的距离约为59m（1（ABCAC的长度．解答 解：在Rt△ABC中≈59（m体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26 专题 应用题分析： 首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．解答： 解：如图，由题意得：斜坡AB的度：i=12.，AE=10，AE⊥B，∴BE=24∴在Rt△ABE中，AB==26（米 （2014•山东潍坊，第17题3分）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上从标杆FE后退4米到点H处在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E 考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题EF:AB=FH:BHAB解答 ∵CD=DG=2， GH、BH3（2014•距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角∠A= 考点 解答 解：由题意得：AB=4米，BC=2米在Rt△ABC中，sinA===，点评 本题考查了解直角三角形的应用，牢记正弦函数的定义是解答本题的关键11.（2014•15（3分）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观C25°CB的距离是24（结果精确到个考点：解直角三角形的应用-分析：BD⊥ACD，在直角△ABDBD△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长． BD⊥AC在直角△ABD中 在直角△BCD点评：本题主要考查了方向角含义，正确求得∠CBD以及∠CAB的度数是解决本题的关52.245°角，那么这个路段最多可以划出17个这样的停车位．（≈1.4）考点 解直角三角形的应用 如图，根据三角函数可求BC，CE，则BE=BC+CE可求，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56﹣BE）÷EF+1，列式计算即可求解．解答 解：如图，BC=2.2×sin45°=2.2×≈1.54米CE=5×sin45°=5×≈3.5米，EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.14米，=17（个17个这样的停车位． 3．（2014•江西，第13题3分）如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转 【答案】12－43【考点】【分析】AC、BD，AO、BO，ACBDEAC2(226转的性质可知AO⊥CO。在Rt△AOC2(2264即得解。【解答ABCD∴AC⊥BD，AB＝AD＝2∴△ABD∴∠BAE＝2

2

AC，BE=DE=2

AB2RtAB2∴AC＝23

223ABCDO22314

2(226在Rt△AOC中2(22612

AO·CO=1 626

662

2

3×1＝33∴S阴影＝S△AOC－S△ADC=4×（3－3312－435.（2014•16题，3分）ABCD3cm，ECD∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于1或2 （2题图考点 全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角 根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可． 解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，ABCDRt△ADE ∵MAE Rt△ADERt△PNQ，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°= 综上，AP1cm2cm．故答案为：1 三解答13.（2014•株洲，第17题，4分）计算：考点 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值 解答 解：原式点评 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键BDADtan∠C专题：计算题． 角形三边的关系先得到BD=AB=3，再得到AD=BD=3；（2）先计算出CD=2，然后在Rt△ADC中，利用正切的定义求解． （1）∵BD⊥AC，Rt△ADB在Rt△ADC中，tan∠C===30度的直角三角形三边的关系．13（2014•tan∠BAD=sinC的值．考点 解直角三角形 根据tan∠BAD=，求得BD的长，在直角△ACD中由勾股定理得AC，然后利用解答 解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD==点评 本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系CE⊥AB，垂足为点E．若AD=1，AB=2，求CE的长考点 直角梯形；矩形的判定与性质；解直角三角形 利用锐角三角函数关系得出BH的长，进而得出BC的长，即可得出CE的长． 解：过点A作AH⊥BC于H，则AD=HC=1，在△ABH中，∠B=30°，AB=2即 × 此题主要考查了锐角三角函数关系应用以及直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半等知识，得出BH的长是解题关键．5．（2014•内包头，第22题8分AB=2，AD=1，求CD和CE的长（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号考点 梯形；勾股定理 过点D作DF⊥BC，根据∠BCD=45°，得DF=CF，再由AB=2，可得DF=CF=2，由勾股定理得CD的长，因为AD=1，所以BC=2+1，根据∠AEB=60°，可得BE，进而得出CE的长．解答 解：过点D作ABFD 点评 本题考查了梯形的计算以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握14.（2014•22题，8分）Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC于E，EF⊥ABFFAB的一个三等分点（AF＞BFtan∠CAE考点 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定 根据勾股定理可求得，tan∠B==，CE=EF=，在RT△ACE中 解答 （1）证明：∵AE是∠BAC的平分线Rt△ACERt△AFE，∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL∴在RT△ABC中，tan∠B===，在RT△EFB中，EF=BF•tan∠B=，在RT△ACE中 12.（2014•22（8分）AB45km/hC向东航CA60°B45°2小时BBABAB考点：解直角三角形的应用-分析：先过点C作CP⊥AB于P，根据已知条件求出∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，再根据轮船的速度和航行的时间求出BC的值，在Rt△PCB中，根据勾股定理求出BP=CP的值，再根据特殊角的三角函数值求出AP的值，最后根据AB=AP+PB，即可求出答案． 解：过点C作CP⊥AB于P，45km/h2=15×2.45+45×1.41≈100（kmAB18（2014•灯塔80海里的A处，它沿方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果用非特殊角的三角函数及根式考点 解直角三角形的应用－方向角问题 解：如图，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△PBD中，sin45°==AP65° 1（2014•18海里/AP60°40分触礁的？考点 解答 解：过P作AB=18×=12海里∴AB=BP=12在直角△PBD中，PD=BP•sin∠PBD=12× 海里∴海轮不改变方向继续前进没有触礁的 2.（2014•，第20题7分）如图，某数学小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达BB处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上请你根据他们测量数据计算这棵树CD0.1m（考点：解直角三角形的应用－分析：首先利用三角形的外角的性质求得∠ABCBC△BDC中，利用三角函数即可求解． 在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5 答：这棵树CD的高度为8.7米．：1.（2014•海南,第22题9分）如图，一艘在海面DF下600米A点处测得俯角为30°C1464BC点：-CE⊥ABE，依题意，AB=1000，∠EAC=30°，∠CBE=45°CD=x，则BE=xx即可．解答 解：作CE⊥AB于CE=xBE=x，Rt△ACE中，tan30°===解得：x=732（）≈2000米∴C点深度=x+600=2600CDF2600．察，飞机继续向前飞行了800B点，此时测得点F在点B45°的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上高度CF约为多少考点：解直角三角形的应用-分析：易得BC=CF，那么利用30°的正切值即可求得CF长． ．CF1080米．点评：此题考查了考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角20．（2014•南充，第22题，8分）马航MH370失联后，我国积极参与搜救．某53.50°BBA140（参考sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75PA、BP处．分析 （1）过点P作PE⊥AB于点E，在Rt△APE中解出PE即可（2）Rt△BPFBP，分别计算出两艘船需要的时间，即可作出判断．（1）PPE⊥ABE，由题意得，∠PAE=36.5°，∠PBA=45，PExBE=PE=x∵AB=140海里，∴AE=（140﹣x）PA、B60（2）Rt△PBE中，PE=60海里，∠PBE=45°，则BP=PE=60≈84.8海里，B船需要的时间为：≈2.83小时∴A船需要的时间为：100÷40=2.5，∵2.83＞2.5，∴A 21．（2014•白银、临夏,第22题8分）为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代ACCD45cm60cmCE20cmA、C、E在同一条只显示，且∠CAB=75°．（AD1cm 分析 （1）在Rt△ACD中利用勾股定理求AD即可 解（1）∵在Rt△ACD中，AC=45cm，DC=60cm=75（cmAD（2）EEF⊥AB∴EF=AEsin75°=（45+20）sin75°≈62.7835≈63（cmEAB 22（2014•兰州,第24题8分）如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪A处测得电线杆上C处的30°AB1.5CE的长（结果保留根号．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题专题：计算题；压轴题．分析：由题意可先过点AAH⊥CDHRt△ACHCH，进而CD=CH+HD=CH+ABRt△CEDCE的长． 解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，在Rt△ACH中，tan∠CAH=Rt△CDE （答：拉线CE的长为（4+）米．（2014•209分）如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°AB=25米（图则此时应将坝底向外拓宽多少米？（0.01米）（-AAE⊥CDERt△ABEAE，BE中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DC﹣BE即可求解． 解：过A点作AE⊥CD于E．Rt△ABE∴AE=AB•sin62°=25×0.88=22Rt△ADE∴DB=DC﹣BE≈6.586.58﹣坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先，（2014•青岛，第20题8分）如图想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）80mC处，沿索道方向仰望山，求这座山的高度（的身高忽略不计AC的长（0.1m- （1）过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为xm，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别表示出BD和CD的长度，然后根据BD﹣CD=80m，列出方程，求出x的值；（2）在Rt△ACD中，利用sin∠ACD=，代入数值求出AC的长度． 解（1）过点A作AD⊥BE于D，ADxm，Rt△ABD中， ≈=Rt△ACD180（2）Rt△ACD AC282.9米．4（2014•AA′，BB′，CC′110米、310米、710ABi1=1：2BC的坡度i2=1：1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度AAE⊥CC'EBB'FBBD⊥CC'DAE、CEAC即可．AAE⊥CC'EBB'FBBD⊥CC'则△AFB、△BDC、△AECAA'B'F，BB'C'DBFED∴在Rt△AEC中，AC===1000（米．AC1000米． （2014•，第17题7分）如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小180海里的A处，渔船从A处沿方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向BABM之间的最小距离（结果用根号表示20海里/BBMBM的航行时间（结果精确到0.1小时（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）考点 （1）过点M作MD⊥AB于点D，根据∠AME的度数求出∠AMD=∠MAD=45°，再根据AM的值求出和特殊角的三角函数值即可求出答案；（2）Rt△DMB中，根据∠BMF=60°，得出∠DMB=30°MDMB的值，解答 （1）∵AM=180答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是90海里（2）Rt△DMB BM7.4 （2014•248分）AC42°80BC55°C的最短距离（0.1BC的距离（结果保留整数（考点 分析 （1）过C作AB的垂线，设垂足为D，则CD的长为海轮在航行过程中与灯塔（2）在Rt△BCD中，根据55°角的余弦值即可求出海轮在B处时与灯塔C的距离． 解（1）C作AB的垂线，设垂足为D，CDx海里，在Rt△ACD中，tan42°=，则AD=x•tan42°，在Rt△BCD中，tan55°=，则C34.4（2）在Rt△BCD中 ∴BC=≈60海里BC60 7（2014ABB30°10FB的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度（取≈1.73，结果保留整数）考点 解答 解∴BC=CD=10在Rt△BCE中，sin60°=，即=AB=BE+AE=5+1≈10米AB10 9．（2014·云南，第20题6分）如图，在数学实践课中，为了测量学校旗杆CDA1.5ABD32°，AC为22CD的高度.（0.1米.参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62）DB 第20题考点：解直角三角形的应用- 解：过点B作BECD，垂足为E（如图，在Rt△DEB中，DEB90，BEAC22（米，tan32DEBEtan32220.6213.64（米ECAB答：旗杆CD的高度为15.1米．BDE中的有关元素．10．（2014•浙江宁波218分）如图A地到B地的公路需经过CAC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°A、B两地之间修建一条笔直的AB考点 解直角三角形的应分析：BHAB=AH+BH（2）在Rt△BCH中，根据三角函数求得BC，再根据AC+BC﹣AB列式计算即可求解．解答：解：（1）CH⊥ABH．Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=AC•sin25°≈10×0.42=4.2AH=AC•cos∠CAB=AC•cos25°≈10×0.91=9.1Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7AB14.7（2）Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7千米，AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3千米．2.3 11.（2014•18题，8分）“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，A、B两点，小A、BABl上测得如下数据：∠BAD=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82AB的长（0.1米．（1题图考点 解直角三角形的应用 AB=2.（x+82在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB=4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解． 解：设AD=x米，则AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，tan∠BCA=∴AB=AC•tan∠BCA=2.5（x+82在Rt△ABD中，tan∠BDA= 答：AB546.7 （2014•巴中，第27题9分）如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC（确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长BE⊥AD，CF⊥ADE，FBCFE由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20ABi1：2.5，在Rt△ABE中，BE=20米，=，∴AE=50米．在Rt△CFD中，∠D=30°，∴DF=CFcot∠D=20米∴AD=AE+EF+FD=50+6+20≈90.6（米．故坝底AD的长度约为90.6米5（2014•MEC处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两A、BME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C（不写已知、求60°NCN45°CME考点：解直角三角形的应用-方向角问题；作图—分析：（1）到城镇A、B距离相等的点段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等C．（2）CD⊥MND，由题意得：∠CMN=30°，∠CND=45°Rt△CMD D中，用CD表示出MD和ND的长，从而求得CD的长即可． （1）（2）CD⊥MN∵在Rt△CMD中 ∵在 D中，CME 6.（2014•湖南张家界，第21题，8分）如图：我渔政310船在海面上沿正东方向匀速AC60°310船航向不变，航行后到达B点，观测到我渔船C在东北方向上．问：渔政310船再C的距离最近？（C捕鱼时移动距离忽略不计，结果考点 分析 CAB解答 C的距离最近，CDx，Rt△ACD中， Rt△BCD设渔政船从B航行到D需要t小时， 答：渔政310船再按原航向航 小时后，离渔船C的距离最近 13.（(2014年)19.9分）在“海上联合—2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为300．位于军舰A1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为680.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜3据:sin680≈0.9,cos680≈0.4,,tan680≈2.5.3

A

解：过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D.则AD CACD=300，∠BCD=680．AD=x.BD＝BAAD=1000＋x.Rt△ACD

tan

= 4tanRt△BCD∴1000+x=3 7

3tan6801.73tan680∴潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米 9（2014•江苏徐州,258分）如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏15°A相距100km的点B处，再航行至位于点A的南偏东75°B相距200kmC处．CA的距离（1kmCA考点 分析 CA的方向． （1）Rt△ABDRt△ACD中，由勾股定理得：≈173（kmCA173km．（2）在△ABC中，∵AB2+AC2=1002+（100CA75° （2014•江苏盐城,2310分）盐城电视塔是我市标志性建筑之一．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB．在D处用高1.5m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰30°，然后向电视塔前进224mE处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°．求电视塔的高度AB（取1.73，结果精确到0.1m）考点：解直角三角形的应用-分析：AG=xRt△AFGRt△ACGCGGFDE=224m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AB． 解：设AG=x，Rt△AFGRt△ACGAB195.3部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120m，这栋考点 过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数即可求得BD和CD，即可求解． 解：过A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中， Rt△ACD中， 17．（2014•遂宁，第22题，10分）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题 观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有 Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠Ca、b、c，利用三 ，求考点 勾股定理；互余两角三角函数的关系；解直角三角形分析 （1）由前面的结论，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有Rt△ABC中，∠C=90°sinA=，sinB= （1）1．Rt△ABC 渔船鱼群由西向东航行在点C处测得灯塔A在西北方向上灯塔B在北偏东30°方向A、B计算结果用根号表示，不取近似值）考点 AN，NCBN即可得出解答：解：AAF⊥FDF，+1答：灯塔A、B间的距离为（30+20）海里点评 此题主要考查了方向角以及锐角三角函数关系，得出NC的长是解题关键，8（2014•岸的滨河大道和风景带称为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中在河西岸滨河ACA，BD，少米（1米（tan60°≈1.73，tan75°≈3.73）考点 解直角三角形的应用分析 如图，过点D作DE⊥AC于点E．通过解Rt△EAD和Rt△EBD分别求得AE、的长度，然后根据图示知：AB=AE﹣BE﹣100ED﹣=100．通过解该方程求得ED的长度． 解：如图，过点D作DE⊥AC于点E．Rt△EAD同理，在Rt△EBD中，得到EB=．又∵AB=100米，∴AE﹣EB=100米，即﹣则ED=≈≈323（米DAC323米． ，9.(2014年黔东南)黔东南州22（10分）某校九年级某班开展数学活动，和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在，：（：考点 分析 过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，则MN=0.25m．由站在CN、ENxEF．解答 解：过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于EF=EM+MF≈8.8+1.5=10.3（mEF 10.（2014•遵义21（8分）如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面ECBC=25CE=20米，E45°AB（i是指坡面的铅直高度与 过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE=20米，坡度为i=1：，分别求出EF、CF的长度，在Rt△AEH中求出AH，继而可得楼房AB的高．解答 解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点在Rt△CEF中，∵i==∴EF=CE=10米，CF=10米∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10）米Rt△AHE答：楼房AB的高为（35+10）米 35°ONA、CB、D．测量出∠ODB25°DO30cm．BOP考点 解直角三角形的应 （2）Rt△BDE 解：（1）在Rt△BOE中，OE=，在Rt△BDE中，DE= BE≈10.6cm．BOP（2）在Rt△BDE中，BD=≈25.3cm．25.3cm． （2014•山东潍坊2110分）如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B1100C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是450，然后：沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，DB600AB．考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题分析：首先过点AAE⊥CD于点E，过点BBF⊥CD于点F，易得四边形ABFE为矩然后分别在Rt△AECRt△BFD中，利用三角函数即可求得CE与DF的长，继而求得岛A、B的距离．AAE⊥CDEBBFCDCDF，ABFEAB=EF，AE=BF，∴在Rt△AEC中，∠C=450, ∴CE

3tan tan3Rt△BFD中，∠BDF=600，BF=900，BF=900

tan

tan

33∴AB=EF=CD+DF－CE=19900+ －900=19000+33AB是(19000+300√3）（2014•山东烟台，第21题7分）坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与线OB的夹角为60°，求浮BC之间的距离．OA交BC于点﹣∠ACD=90°Rt△ACDAD=AC•tan∠ACD=米，CD=2AD=3BC之间的距离．OABCD．∵AO在Rt△ACD中 =（米∴CD=2AD=3米，又∵∠O=60°，∴△BOD，∴C=BD﹣CD=4.53=1.5BC1.5点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣Rt△ACD是解题5．(2014年资阳，第19题8分)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，BAB30°4C处，AC45°的方向上（A、B、C在同一平面上ABC的最短距离．考点 分析 xABC的最短距离． 解：过A作AD⊥BC于D，则AD的长度就是A到岸边BC的最短距离．在Rt△ACD中，∠ACD=45°，设AD=x，则CD=AD=x，Rt△ABD所以BD==x，答：这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为（6﹣2）公里 8（2014•2.7ABD45°C30°，求塑像CD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：）考点 分析 BE求得DE、CE，再根据CD=DE﹣CE计算即可求出答案． 解：在Rt△DEB中，DE=BE•tan45°=2.7米，在Rt△CEB中，CE=BE•tan30°=0.9米，则CD=DE﹣CE=2.7﹣0.9≈1.2米．CD1.2 6．(2014年市，第22题10分)解放桥是市的标志性建筑之一，是一座结构的如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至A′C′的位置时，A′C′的长为 如图②，某校数学小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数． 分析 （2）PQ=xRt△PMQMQRt△PNQNQMN=40m，可得关于x的方即可．解答 （I）∵在Rt△PMQ中，tan∠PMQ=在Rt△PNQ中 2（2014•浙江台州，第21题10分）如图，某翼装从离水平地面高AC=500m的A处出发，沿这俯角为15°的方向，直线滑行1600D点，然后打开降落伞以75°的俯角BBC（1考点 首先过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，进而里锐角三角函数关系得出DE、AE的长，即可得出DF的长，求出BC即可． 解：过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，解得：DE=1552（m解得；AE=416（m∴DF=500﹣416=84（m解得：BF=22.68（m∴BC=CF+BF=1552+22.68=1574.68≈1575（m 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确构造直角三角形得出CF，BF的长3022中，每个菱形的边10cm60度。36A、B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器362（2

=

=

=2.45【考点【分析（1）DE．根据菱形的性质和角的和差关系可得∠CDE=∠BED=90°，再根CD，EB的位置关系； 【解答∵∠ACD=∴∠ADB=∠ADB+∠BDE+A、D、B∵BE＝2OE＝2×10×cos30°＝1033Rt△BED中，3

BE2BE233

106(103)2(10∴AB=BD+AD=203=20×2.45≈49cm(103)2(10【点评】此题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质和平行线的判定，主要是三角函数1.（2014•省,第18题8分）如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条10km，CD30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号．考点：分析：B点作BE⊥l1，交l1E，CDF，l2GRt△ABE中，根据三角函数求得BE，在Rt△BCF中，根据三角函数求得BF，在Rt△DFG中，根据三角函数求得FG，EG=BE+BF+FG即可求解．解答 解：过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于在Rt△ABE中，BE=AB•sin30°=20×在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷=km，3．（2014•江西省抚州市，第21题9分）如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是2GDP上滑动，∠CED的大小也随之发20cmAH=DE=EG=20cm．当∠CED=60°C、D当∠CED60°120°Acm？（（结果精确到0.1cm）（参考数据≈1.732，可使用科学计算器）考点 解直角三角形的应用；菱形的性质分析 （1）证明△CED是等边三角形，即可求解分别求得当∠CED60°120°AD分别求得当∠CED是60°和120°，两种情况下DG的长度，即可求得x的范围． 解：（1）连接CD（图1）．∴△CED当∠CED=120°EEH⊥CDH（2），在直角△CHE中 A43.9cm；∴△DEGEEI⊥DGI．在直角△DIE中 x120°60°时，连接菱形的较短的对角4．（2014•2312分号，此时B船位于A船的北偏西72°方向，距A24海里的海域，C船位于A船的北偏东33°B78°方向．求∠ABC（2）A30（小时考点 分析：（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到∠DBA的度数，则∠ABC即可求的长，则BC即可求得，进而求得时间． （1）∵BD∥AE，（2）AH⊥BC 则A到出事地点的时间是：≈≈0.57小时．0.57小时能到达出事地点．点评 本题主要考查了方向角含义，正确三角函数的定义是解决本题的关键6.（2014•潜江仙桃，第20题6分）如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正的长为6米，落在牌上的CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面．分析过点CCE⊥ABE过点BBF⊥CDF过点BBF⊥CDFRt△BFD中，分别求出DF、BF的长度Rt△ACE中，求出AE、CE的长度，继而可求得AB的长解答：解：过点CCE⊥ABE，过点BBF⊥CDF，过点BBF⊥CDF，Rt△BFD中，BFCERt△ACE答：铁塔AB的高为（37.（2014•江苏第24题8分为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护需测量其长度如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB=45°，AC=24m，∠BAC=66.5°，求这棵古杉树AB的（BBD⊥ACDRt△ADBRt△CDBBDADCD，AC=AD+CD=24m，列出方程求解即可．解答 解：过B点作BD⊥AC于∴在Rt△ADB中，AD=，Rt△CDB中，CD=BD，AB明种植的两棵树间的坡面距离AB6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC5.3～5.7米范围内，问种植的这两棵树是否符合这个要求？（20°ABAC5.3﹣5.7范围内解答 解：由题意得：Rt△ACB中，AB=6米5.3～5.7（2014•鄂州，第21题9分）小方与同学一起去郊游，看到一棵大树斜靠在一小土30°CB10DABA45°，AB倾斜角∠1=75°．AD 得方x的值，在Rt△ADE中可求出AD；AB （1）在Rt△ACE中，∠C=30°，Rt△ADE+1答：AD的长为（5+5）米BBF⊥ACF，BF=y，在Rt△CBF中，CF=BF=y，Rt△BFA中，AF=BF=y，+10在Rt△ABF中，AB==10米．答：树高AB的长度为10米．（2014•217分）某校九年级四个数学活动小组参加测量操场旗杆高度的综Aα，CDCDCB处之间的距离CB，四个小组测量和计算数据如下表所示：CD的长BC的长AB的长AB的高度（0.1m四组学生测量旗杆高度的平均值为 0.1m考点：解直角三角形的应用- （1）首先在直角三角形ADE中利用∠α和BE的长求得线段AE的长，然后与线段BE相加即可求得旗杆的高度；解答 （1）∵∴AE=DE×tanα=15.2×tan28°≈8.04∴AB=AE+EB=1.56+8.04≈9.69.6（2）四组学生测量旗杆高度的平均值为（9.8+9.6+9.7+9.6）÷4≈9.7式”（我国著名数学家．（1）B1B=30米，∠B1=22°，∠ABC=30°AC（（ 根据B1B=B1C﹣BC，列方程求得AC的长；B1B=AB=xABCxACBCB1C（1（2tan7.5°的值． （1）则BC== ∴∠B1=∠B1AB=在直角△ABC = （3）如答图3所示，图中三角形依次是含有7.5°角、15°角和30°角的直角三角形．设AC=a，则AB=2a，BC== 在Rt△AB1C中，由勾股定理得：AB1===2．（2014•187分）AB24CA处，视线与水平线夹角∠ADE39°CD1.5米，AB（（EDE=BC=24CD=BE=1.5 解：过D作DE⊥AB于点E，BCDEDE=BC=24米，CD=BE=1.5Rt△ADEAB20.9，14.（10分（2014•内赤峰，第21题，10分）位于赤峰市宁城的“大明塔”是我国辽代的佛塔，距今已有1千多年的历史．如图，同学为测量大明塔的高度，在地面的点EBCC30°BE26F处，测得塔顶端A52°OB为半径的圆内接正八边形，B点在正八边形的一个顶点tan52°≈1.28，-△CBEECOF△AOF解答 解：∵在直角△CBE中∵在直角△AOF．81米．15.（2014•天水，第19题9分）根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶60千米/Ml（直线）MN30米（如图所示A5点所用时间6秒，∠AMN=60，∠BMN=45°．AB （2）求得从A到B的速度，然后与60千米/时比较即可确定答案． 解（1）在Rt△AMN中，MN=30，∠AMN=60°，Rt△BMN中，（2）∵A56（30+3016.（2014•276分）ABCDBC 分析 首先根据题意画出示意图，根据三角形外角的性质得出 ，利用正切函数的定义求出tanD==．解答 如图∴BD=2AC=2×Rt△ABD 三角形，勾股定理，正切函数的定义，难度适中．求出BD的值是解题的关键．16（2014年江苏，第23题）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．ODBD=OD﹣OBx的方程，解方程即可求解．在Rt△CDO中，cos∠CDO=∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣x=1，解得x=8．故梯子的长是8米知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为0.1m（考点 解直角三角形的应 过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解．解答 解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于∵CDDE的夹角∠CDE12°，∠ACD在Rt△ACF中，CF=AC•sin∠CAF≈0.744m，在Rt△CDG中，C A 17.（2014•2210分）1所示倒入一个水平放置的P2是它的平面示意图，请0.1cm（AP，BPNP的长，进而得出容器 解：过点P作PN⊥AB于点N， （cm≈5.5（cmPN的长是解题关18（2014•①的身高②的影长③的脚到旗杆底部的距离DA（ AB即可求解．解答 解：情况一，选用DDG⊥ABBCDG在直角△AGD19（2014•0.1mAD⊥BCDFGE，则△AGEAExm，在直角△AFEAEAD即可求得．解答 解：作AD⊥BC于点D，交FG于点在直角△AFE中，设AE长是xm，则tan∠AFE= ，即tan18°= 解得：x≈9.．A7（2014•CDD点的俯角∠EAD45°．BDCD的高度（结果保留根号1- 得两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；（2）AE、DCFABDFAF=BD=DF=60，Rt△AFC中利用∠FAC=30°CFCD的长．解答 （1）BD60（2）AE、DCFABDFRt△AFC ∴建筑物CD的高度为（60﹣20）米AF2个直角三角形是解决本题的突现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北60°CB的东南方向上，MNDC正好在观测点D75°方向上．D100AACC，在去营救的途中有无触暗礁？（参考数据：≈1.41，≈1.73）2-分析 （1CE⊥AB+1（2）DF⊥ACFAD的长和∠DAFDF100比较即可（1）AE=x海里，在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°=x；在Rt△BCE中，BE=CE=x．在△ACD中，∠DAC=60°，∠ADC=75°，则∠ACD=45°．DDF⊥ACF，答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（﹣1）海里所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁9.（2014•荆门,第20题10分）自古以来就的．如图，我国甲、乙两艘海监船某天在附近海域巡航某一时刻这两艘船分别位于正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，20海里/小时，18海里/C处．（3考点 作CD⊥AB于点D，由题意得：∠ACD=59°，∠DCB=44°，设CD的长为a海里，分别在Rt△ACD中，和在Rt△BCD中，用a表示出AC和BC，然后除以速度即可求得时 解：如图，作CD⊥AB于点D，设CD的长为a海里，∵在Rt△ACD中，∵在Rt△BCD中，20海里/小时，18海里/ 10（2014•A37°，BC=20mAB．（-ABCAB解答 解：如图，在直角△ABC中AB=BC•tanC=20×tan37°≈20×0.75=15（mAB﹣仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关11（2014•行了，如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在DCADE和一条新的斜坡．若修建的斜坡BE的坡比为：1，求休闲平台DE的长是多少米一座建筑物GH距离A点33米远（即AG=33米，在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G，H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直HG⊥CGGH高为多少米？-分析 （1）由三角函数的定义，即可求得DF与BF的长，又由坡度的定义，即可求EFDE（2）首先设GH=x米，在Rt△DMH中由三角函数的定义，即可求得G