招聘笔试数学系统班理论精讲数与代数

第四章 数列主讲：粉笔教师招考粉笔教师内容导视与考情分析考点分布等差数列：选择题、填空题等比数列：选择题、填空题综合数列：解答题第一节

等差数列一、定义若数列{an}从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，则数列{an}叫做等差数列，这个常数叫做公差。定义式：an＋1－an＝d（常数），是证明一个数列是等差数列的重要工具。第一节

等差数列a8=

a5+(8-5)d第一节

等差数列三、等差数列的相关公式（一）等差中项若a，b，c成等差数列，b叫做a与c的等差中项，则2b=a+c；第一节

等差数列三、等差数列的相关公式（二）基本性质若m+n=p+q，则am+an=ap+aq若m+n=2p，则am+an=2ap若{an}为等差数列，则am，am+k，am+2k，…仍为等差数列。若{an}为等差数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍为等差数列，公差为n2d。下角标：1+5=2+41+9=3+7a1

a21,

3,a3

a4

a55,

7,

9第一节

等差数列三、等差数列的相关公式（二）基本性质若m+n=p+q，则am+an=ap+aq若m+n=2p，则am+an=2ap若{an}为等差数列，则am，am+k，am+2k，…仍为等差数列。若{an}为等差数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍为等差数列，公差为n2d。考点1：等差数列通项公式1.已知{an}为等差数列，a1

+a3+a5=105，a2

+a4+a6=99，则a20等于（

）A.-1

B.1

C.3

D.7考点1：等差数列通项公式1.已知{an}为等差数列，a1

+a3+a5=105，a2

+a4+a6=99，则a20等于（

）A.-1

B.1

C.3

D.73a1＋6d＝1053a1＋9d＝99考点2：等差数列性质2.在等差数列{an}中，若a3

+a4+a5+a6+a7=450，则a2

+a8的值是（

）A.45

B.75

C.180

D.300考点3：等差数列概念3.（2016年

小学﹒单选）已知3x=4，3y=12，3z=36，则x,

y,

z三者之间（

）A．成等差数列不成等比数列C.既成等差数列又成等比数列B.成等比数列不成等差数列D.既不成等差数列又不成等比数列考点3：等差数列概念3.（2016年

小学﹒单选）已知3x=4，3y=12，3z=36，则x,

y,

z三者之间（

）A．成等差数列不成等比数列C.既成等差数列又成等比数列B.成等比数列不成等差数列D.既不成等差数列又不成等比数列考点4：等差数列的和考点4：等差数列的和5．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2

+a4+a15是一个确定的常数，则数列{Sn}中是常数的项是（

）A.S7

B.

S8C.

S11

D.

S13考点4：等差数列的和6.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，S4=20，则该数列的公差d=（

）A.7

B.6

C.3

D.2第二节

等比数列第二节

等比数列二、等比数列的通项公式和前n项和公式an

=a1qn-1推广：an

=amqn-m前n项和公式：注意：必须先看公比是否等于1。第二节

等比数列二、等比数列的相关公式若三个数a，b，c成等比数列，则b2=acb2＝ac是成等比数列的必要而不充分条件。（如：a＝0,b＝0,c＝1）若m+n=p+q，则am·an=ap·aq，特别地，若m+n=2p，则am·an=ap

。2若{an}为等比数列，则am，am+k，am+2k，…仍为等比数列，公比为qk。2x＝a＋b，2y＝b＋c，b2＝ac1．（2016年浙江小学﹒解答）已知等比数列{an}中，a1=1，且2a2，3a3，4a4成等差数列，求数列{an}的通项公式。2a1q＋4a1q3＝6a1q21．（2016年浙江小学﹒解答）已知等比数列{an}中，a1=1，且2a2，3a3，4a4成等差数列，求数列{an}的通项公式。2.（2016年福建小学﹒单选）设等差数列{an}的公差d不为0，a1=4d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于（

）A．1 B.

3 C.

5 D.

7(k＋3)2d2＝4d·(2k＋3)dk2－2k－3＝04.（2016年山西中学﹒单选）已知函数f(x)=x2-ax+b(a>0，b>0)有两个不同的零点m和n，若m,n和-2三个数适当排序后既能形成等差数列，也能形成等比数列，则a+b的值为（

）A．7 B.

8 C.

9 D.

105.（2016年河北中学﹒解答）一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，如果其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数。5.（2016年河北中学﹒解答）一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，如果其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数。5.（2016年河北中学﹒解答）一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，如果其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数。第三节

综合数列5.（2016年

中学﹒解答）设数列{an}的前n项和为Sn。已知Sn=2-

an。（1）求数列{an}的通项公式；第三节

综合数列一、求数列{an}的通项（二）累加法当已知an+1=an+f(n)时，运用累加法。4.（2016年福建中学﹒解答）已知数列{an}满足a1=3，an+1=an

+2n，（1）求{an}的通项公式an；第三节

综合数列一、求数列{an}的通项4.（2016年福建中学﹒解答）已知数列{an}满足a1=3，an+1=an

+2n，（1）求{an}的通项公式an；第三节

综合数列第三节

综合数列第三节

综合数列一、求数列{an}的通项（四）待定系数构造法当已知an+1=pan+

f(n)（p为常数）时，运用构造法。构造成等差数列或者等比数列来求解。已知数列{an}的首项a1=a,（

a为常数）,an+1=2an+1（n

∈N*,n≥1），求an。an+1+1=2(an+1)令bn=an+1，则b1=a+1，q=2bn=（a+1）2n-1an=bn-1=（a+1）2n-1-1第三节

综合数列（四）待定系数构造法当已知an+1=pan+

f(n)（p为常数）时，运用构造法。构造成等差数列或者等比数列来求解。pf(n)

-

f(n+1)

≠f(n)an=2an-1+1an+1=2(an-1+1)an+1=2an

+3nan+1+3n+1=2(an

+3n)？？2×3n-3n+1≠3nan+1+α3n+1=2(an

+α3n)2α3n-α3n+1=3n2α3n-3α3n=-

α3n=

3n3.（2016年山西中学﹒解答）设数列{an}的前项和Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*，设bn=Sn

-3n，求数列{bn}的通项公式。3.（2016年山西中学﹒解答）设数列{an}的前项和Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*，设bn=Sn

-3n，求数列{bn}的通项公式。Sn+1-Sn=an+1=Sn

+3nSn+1-Sn=Sn

+3nSn+1=2Sn

+3nSn+1+α3n+1=2(Sn

+α3n)2α3n-α3n+1=3n2α3n-3α3n=-

α3n=

3nSn+1+3n+1=2(Sn

+3n)？？3.（2016年山西中学﹒解答）设数列{an}的前项和Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*，设bn=Sn

-3n，求数列{bn}的通项公式。Sn+1-Sn=an+1=Sn

+3nSn+1-Sn=Sn

+3nSn+1=2Sn

+3nSn+1+α3n+1=2(Sn

+α3n)2α3n-α3n+1=3n2α3n-3α3n=-

α3n=

3n3.（2016年山西中学﹒解答）设数列{an}的前项和Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*，设bn=Sn

-3n，求数列{bn}的通项公式。第三节

综合数列熟二、求数列前n项的和（一）公式法主要用于等差或者等比数列，直接套用公式。（二）分组化归法主要用于无法整体求和的数列，可将其通项写成等比、等差等悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和。第三节

综合数列二、求数列前n项的和（三）错位相消法用于求{an

bn

}型的数列，其中{an}为等差数列，{bn}是公比为q的等比q=1和数列，只需用Sn

-qSn便可转化为等比数列的求和，但要注意q≠1两种情况。4.（2016年福建中学﹒解答）已知数列{an}满足a1=3，an+1=an

+2n，求{an}的通项公式an；an

＝2n＋1若bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn。bn=nan

=（2n＋1）n＝

n

2n＋

n4.（2016年福建中学﹒解答）已知数列{an}满足a1=3，an+1=an

+2n，求{an}的通项公式an；an

＝2n＋1