四边形中的旋转、折叠问题

.4/4四边形中的旋转、折叠问题例题：如图,在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后,点B恰好落在x轴上,记为B′,折痕为CE,已知tan∠OB′C＝．〔1求B′点的坐标；〔2求折痕CE所在直线的解析式．例题：〔1如图①,ABCD的对角线AC、BD交于点O。直线EF过点O,分别交AD、BC于点E、F求证：AE=CF。〔2如图②,将ABCD〔纸片沿过对角线交点O的直线EF折叠,点A落在点A1处,点B落在点B1处。设FB1交CD于点G,A1B1分别交CD、DE于点H、I。求证：EI=FG。例题：〔2012•XX如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点〔不与点A、点D重合将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH．〔1求证：∠APB=∠BPH；〔2当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；〔3设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式,试问S是否存在最小值？若存在,求出这个最小值；若不存在,请说明理由．〔2012•XX如图,已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4．将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O．〔1如图1,求证：A,G,E,F四点围成的四边形是菱形；〔2如图2,当△AED的外接圆与BC相切于点N时,求证：点N是线段BC的中点；〔3如图2,在〔2的条件下,求折痕FG的长．解：〔1由折叠的性质可得,GA=GE,∠AGF=∠EGF,∵DC∥AB,∴∠EFG=∠AGF,∴∠EFG=∠EGF,∴EF=EG=AG,∴四边形AGEF是平行四边形〔EF∥AG,EF=AG,又∵AG=GE,∴四边形AGEF是菱形．〔2连接ON,∵△AED是直角三角形,AE是斜边,点O是AE的中点,△AED的外接圆与BC相切于点N,∴ON⊥BC,∵点O是AE的中点,∴ON是梯形ABCE的中位线,∴点N是线段BC的中点．〔3作OM⊥AD,设DE=x,则MO=x,在矩形ABCD中,∠C=∠D=90°,故AE为△AED的外接圆的直径．延长MO交BC于点N,则ON∥CD,∵四边形MNCD是矩形,∴MN=CD=4,∴ON=MN﹣MO=4﹣x,∵△AED的外接圆与BC相切,∴ON是△AED的外接圆的半径,∴OE=ON=4﹣x,AE=8﹣x,在Rt△AED中,AD2+DE2=AE2,∴22+x2=〔8﹣x2,得x=DE=,OE=4﹣x=,∵△FEO∽△AED,∴=,解得：FO=,∴FG=2FO=．故折痕FG的长是．对应练习1.〔2012•XX如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE,则CE的长为〔2.〔2012•XX如图,菱形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A在x轴上,∠B=120°,OA=2,将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置,则点B′的坐标为〔3.〔2012•XX如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B与CD的中点重合,若AB=2,BC=3,则△FCB′与△B′DG的面积之比为〔第17题第17题4.如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于F点,若CF=1,FD=2,则BC的长为_______．5.矩形纸片ABCD的边长AB=4,AD=2．将矩形纸片沿EF折叠,使点A与点C重合,折叠后在其一面着色〔如图,则着色部分的面积为〔<试题82页6.〔2010XX潍坊如图,直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,BC＞AD,AD＝2,AB＝4,点E在AB上,将△CBE沿CE翻折,使B点与D点重合,则∠BCE的正切值是________．<89页>7.梯形中的对角线〔88页8..如图,将正方形对折后展开〔图④是连续两次对折后再展开,再按图示方法折叠,能够得到一个直角三角形,且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有[] <A>4个 <B>3个 <C>2个 <D>1个9如图所示,把一长方形纸片沿MN折叠后,点D,C分别落在D′,C′的位置．若∠AMD′＝36°,则∠NMD′等于〔A144°〔B126°〔C108°〔D72°AABCDD′C′NMF<第10题>ABCDE<F>BA<F>ABCDE<F>BA<F>DECG<第8题>图2图1<A>75cm2<B>cm2<C>cm2<D>cm2例题：在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,取FD的中点G,连结EG、CG,如图〔1,易证EG=CG且EG⊥CG.〔1将△BEF绕点B逆时针旋转90°,如图〔2,则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.〔2将△BEF绕点B逆时针旋转180°,如图〔3,则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想,并加以证明.解〔1EG=CGEG⊥CG<2分>〔2EG=CGEG⊥CG<2分>证明：延长FE交DC延长线于M,连MG∵∠AEM=90°,∠EBC=90°,∠BCM=90°∴四边形BEMC是矩形.∴BE=CM,∠EMC=90°又∵BE=EF∴EF=CM∵∠EMC=90°,FG=DG∴MG=FD=FG∵BC=EM,BC=CD∴EM=CD∵EF=CM∴FM=DM∴∠F=45°又FG=DG∵∠CMG=∠EMC=