移动荷载作用下的结构计算

第6章移动荷载作用下的结构计算6.1移动荷载和影响线的概念6.2静力法作单跨静定梁的影响线6.3机动法作单跨静定梁的影响线6.5固定荷载作用下利用影响线求内力和支座反力6.6确定最不利荷载位置6.4机动法作连续梁影响线1§6-1概述一、移动荷载

荷载的大小、方向一定，但荷载位置连续变化的荷载就称为移动荷载。

汽车或火车轮压产生的移动荷载的特点是：一组竖向集中力（可包括均布荷载），各集中力的大小、方向固定，相互间的位置也固定，作为整体在结构上移动。FP1FP2FP3FP4a1a3a2ba4q2在移动载荷作用下，结构任意截面的内力（M

、FQ

、FN）和位移（△、θ）及支座反力均随移动荷载在结构上的位置变化而变化。

结构在移动荷载作用下，主要讨论下述问题：

1）对于给定截面C，其位移或内力（例如Mc）当给定的移动荷载在什么位置时得到最大值？该问题是求移动荷载的最不利位置问题。2）对于给定的移动荷载组，简支梁AB上哪个截面的弯矩当移动荷载在什么位置时取得最大值？该问题是简支梁绝对最大弯矩的求解问题。

此外，还要讨论简支梁和连续梁的内力包络图的画法等问题。3为求解以上问题，首先讨论单个集中荷载FP=1在结构上移动时结构内力和位移的变化规律,即影响线。影响线定义:当一个指向不变的单位集中载荷FP=1在结构上移动时,表示某一指定量值随荷载位置变化规律的图形,称为该量值的影响线。FP=1xBAlFRA图示简支梁，支座A的反力FRA的变化规律。FRA影响线y14在影响线图形中，横坐标x表示单位移动荷载在梁上的位置；纵坐标y表示当单位荷载在该位置时，某量值的大小。BFP1AFP2某量值的影响线一经绘出就可以利用叠加原理求在具体荷载作用下的反力和内力,如A支座的反力FRA为：FRA影响线y1y215§6-2静力法作单跨静定梁影响线梁弯矩M的正负号：剪力FQ的正负号：轴力FN的正负号：一、内力和支座反力的正负号

竖向反力通常以向上为正，向下为负。6二、简支梁的影响线1.支座反力影响线FP=1xBAlabC用静力平衡方程求出的函数关系，即影响线方程,然后画出函数图形就求得了的影响线。静力法作影响线：FRA影响线FRB影响线1172.弯矩影响线当FP=1在AC段，取CB段作隔离体：当FP=1在CB段，取AC段作隔离体：abFP=1xBAlabCMC影响线

8FQC影响线

llal3.剪力影响线当FP=1在AC段，取CB段作隔离体：当FP=1在CB段，取AC段作隔离体：FP=1xBAlabC9三、影响线与内力图的区别FQC图

MC图内力图

影响线

FQC影响线

MC影响线

xFP=1ACablBACablBFP=1102）纵坐标y：影响线图中，y是当FP=1在该位置时影响系数的值；内力图中，y是梁该截面的内力值。1）横坐标x：影响线图中，x是移动荷载的位置；内力图中，x是梁截面位置。3）荷载位置：求影响线时，F=1是移动荷载；内力图中，荷载位置固定。在FQC影响线图中，竖标是当FP=1自C截面右边靠近Ｃ时，FQC的值；竖标则是ＦP=1

自C截面左边靠近Ｃ点时FQC的值，如右图所示。llal11四、外伸梁的影响线作外伸梁的影响线时，先画出简支梁的影响线，然后延伸至悬臂段。1.支座反力影响线FRA及FRB的影响线如右图示。lFRA影响线

lFRB影响线xFP=1ACablBddED122.C截面弯矩及剪力影响线MC影响线FQC影响线133.作FQA右及A左截面内力影响线先作FQA右影响线。d1MA左影响线FQA左影响线xFP=1ACablBddEDlFQA右影响线小结：外伸梁简支段AB某截面弯矩和剪力的影响线在AB段与简支梁相同，伸臂段图形则是简支段图形的延伸。容易作出Ａ左截面的内力影响线如右图。14§6-3机动法作单跨静定梁的影响线

机动法作静定结构影响线是应用虚功原理(虚位移原理)把求影响线的静力平衡问题转化为作刚体位移图的几何问题。对于单跨或多跨梁，由于刚体位移图很容易确定，所以影响线的求解十分简捷。

15机动法作影响线的步骤：1）撤除与Z相应的约束，代以未知力。2）使体系沿Z的正方向发生虚位移，作出荷载作用点的竖向虚位移图，即Z的影响线轮廓。3）再令δZ=1，定出影响线竖标的值。4）基线以上为正的影响线,基线以下为负的影响线，注意：机动法做影响线要满足约束条件16ACDBMB影响线xFP=1ABCDl/2l/2l/2l/217FQB右影响线ADBCFQB左影响线DACB181m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG11m1/43/49/49/29/4

＋＋－－－I.L.Mk(m)1/43/49/49/29/419Qk11/43/41/43/43/23/4＋＋＋－－－I.L.QKMC111m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG1/43/41/43/43/23/422I.LMC(m)＋－120121RD11.51m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG

＋＋－121＋1.5QE21§11-5多跨静定梁的影响线（1M1YA影响线例：作YA、M1、M2、

Q2

、

MB、

Q3

、

YC

、

Q4

、

QC左、

QC右

影响线11ABCD12342m1m1m1m1m1m1m2m1m1mYAM1影响线M2影响线M2（1122（1MBQ2影响线例：作YA、M1、M2、

Q2

、

MB、

Q3

、

YC

、

Q4

、

QC左、

QC右

影响线2ABCD12342m1m1m1m1m1m1m2m1m1mMB影响线Q3影响线1Q21Q3123§11-7利用影响线求量值若已求得指定截面某量值Z的影响线，根据叠加原理，就可以求得固定荷载作用下该量值Z的大小。

右图示梁截面C弯矩MC的影响线已求出，求固定荷载作用下MC的值。0.253m1mA1m1mB0.750.75MC影响线CCBqC0.5m2m20kN15kN10kN一组集中荷载：均布荷载：24FP1FP2FR1FP3FP4FR2FP5FP6FR3ΔxxΔxΔx当若干个荷载作用在影响线某一段直线的范围内时,可以用其合力代替而不改变所求的量值,如下25

把单个集中移动荷载放在影响线的最大或最小竖标位置，就得到最不利荷载位置，进而求得Zmax或Zmin

。

使结构指定截面的某量值Z达到最大值Zmax或最小值Zmin时实际移动荷载的位置，称为最不利荷载位置。1.单个集中移动荷载

对于剪力FQC影响线，将集中力FP放在截面C，见右图，就得到：ABb/la/lFQC影响线C§11-9最不利荷载位置26

对于伸臂梁的MC影响线（见下图），将FP分别放在截面C和E，就得到：2.可任意布置的均布活荷载在影响线正号部分布满均布活载，可以求得Zmax；在影响线负号部分布满均布活载，可以求得Zmin。ADBymaxyminMC影响线CEω1ω3ω2ADBMC影响线CEq求(MC)

max27求(MC)

minqqω1ω3ω2ADBMC影响线CE3.一组移动集中荷载一组移动集中荷载：各集中力的大小、方向及相互间的距离均保持不变，作为整体在结构上移动。为了确定最不利荷载位置，原则上使排列密集、数值较大的集中力放在影响线竖标较大的部位，而且一定有一个集中力位于影响线的某个顶点上。为确定最不利荷载位置，通常分两步：1）求出使Z达到极值的荷载位置。这种荷载位置称为荷载的临界位置;2）从Z的极大值中选出最大值，从Z的极小值中选出最小值，从而确定最不利荷载位置。28下面以多边形影响线为例，说明临界荷载位置的特点及其判定方法。FP1FP2FR1FP3FP4FR2FP5FP6FR3ΔxxΔxΔx前面已知:29

因为是x的一次函数，所以Z也是x的一次函数。若荷载右移动Δx，则竖标的增量为：则Z的增量为：在影响线图中，α1>0，α2>0，α3<0。因为Z是x的一次函数，所以Z-x图形是折线图形。于是ΔZ/Δx是折线图形中各折线段的斜率。对于折线图形，极值发生在使ΔZ/Δx变号的尖点处。xZ+-+00-极大值点xZ-+-00+极小值点30若移动荷载组在某位置刚好使Z取得极大值，则：当Δx>0，即荷载稍向右移，。当Δx<0，即荷载稍向左移，。

若移动荷载组在某位置刚好使Z取得极小值，则：当Δx>0，即荷载稍向右移，。当Δx<0，即荷载稍向左移，。

总之，当荷载在Z的极值点位置稍向左、右移动时，必须变号。如何使变号？是常数，可以变化的只是FRi。为了使FRi变化，必须有一个集中力位于影响线的顶点，此荷载记作FPcr，当FPcr位于影响线的顶点以左或以右时，会引起FRi发生变化，如下图示。31FP1FP2FR1FPcrFP4FP5FR2FP1FP2FR1FPcrFP4FP5FR2

当移动荷载组左右移动时，能使改变符号的荷载FPcr称为临界荷载，相应的移动荷载组的位置称为临界位置。

在给定的移动荷载组中，能使变号的临界荷载可能不止一个。确定最不利荷载位置的步骤如下：321)

选定一个集中力作为FPcr，使它位于影响线的一个顶点上；3)

对于每个荷载临界位置求出相应的Z值，比较各个Z值，可确定Zmax及Zmin，进而确定相应的最不利荷载位置。2）当FPcr稍作左右移动时，分别计算的值。若变号，则此FPcr即为一临界荷载，相应的荷载位置为临界位置。用同样的方法可以确定其它的FPcr及相应的荷载临界位置。例如下图多边形影响线及移动荷载组，试求荷载最不利位置和Z的最大值。已知q=37.8kN/m,FP1=FP2=FP3=FP4=FP5=90kN。33FP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m30mZ的影响线6m4m8mα1α310.75α2解：2）计算。1）将FP4放在影响线的最大点，移动荷载组的位置如下图示。34Z的影响线6m4m8m10.750.810.906FP1FP2FP3FP4FP5qaa=1.5m6m3.5m1maaaa若荷载稍向右移：若荷载稍向左移：

因为变号，故FP4为临界荷载，相应的荷载位置为临界位置。353）计算Z值

容易确定只有FP4是临界荷载，所以相应的荷载位置就是最不利荷载位置。Z的影响线6m4m8m10.750.810.906FP1FP2FP3FP4FP5qaa=1.5m6m3.5m1maaaa36思考:将放在影响线顶点时,若荷载向左移动时计算得到的,则此位置不是临界位置,那么荷载该向哪边移动,量值才会增大?

对于三角形影响线，确定荷载的临界位置比较简便。选一集中力放在Z的影响线顶点，使Z取得极大值的条件可以简化当荷载稍向右移时，当荷载稍向左移时，FP1FP2FR左FPcrFP4FP5FR右αβabc将tgα=c/a及tgβ=-c/b代入上两式：37该式表明，荷载临界位置的特征是：集中荷载FPcr计入哪一边，哪一边荷载的平均集度就大。例求图示结构在图示荷载作用下反力FRB的最大值并确定最不利荷载位置。FP1=FP2=478.5kN，FP3=FP4=324.5kN。6m6mABCFP1FP2FP3FP45.25m1.45m4.80m381）FRB的影响线如下图示。0.1256m6m1ABC0.75830.75mFP1FP2FP3FP45.25m1.45m4.55m0.25m2）将FP2当作FPcr放在影响线顶点：解：所以FP2是临界荷载。393）将FP3当作FPcr放在影响线顶点：FP1FP2FP3FP44.55m0.7m1.45m4.8m1.2m0.26m6m1ABC0.7583所以：相应的FP2位于B处时的荷载位置为最不利荷载位置。所以FP3也是临界荷载。40例求简支梁在中活载作用下跨中截面C的弯矩最大值及相应的最不利荷载位置。已知q=92kN/m，FP1=FP2=FP3=FP4=FP5=220kN。FP1FP5q18.5m5×1.5m10ABC20m20mMC的影响线解：1）将FP5当作FPcr放在影响线顶点，如上图所示。41所以FP5不是临界荷载。2）将均布荷载跨越影响线顶点，使左右两边荷载平均值相等，见下图。FP1FP5q20m5×1.5mx=8.04m4.46m10ABC20m20m3.735.98MC的影响线42上图b)所示荷载位置即为最不利荷载位置。例求下图所示均布移动荷载的最不利荷载位置。均布荷载段横跨影响线顶点，若荷载稍向右移动，则CD范围影响线面积增加了yDdx，影响线面积减少了yCdx，如下页图a）所示。ABCDayCyDq解:所以令即故43另外需要指出，对于剪力影响线，为了确定最不利荷载位置，通常用直观判断并试算即可确定。§11-11简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩一、简支梁内力包络图的概念

在给定的移动荷载作用下，用上一节讨论的方法可以求得指定截面某内力Z的最大值Zmax或最小值Zmin。在结构设计中，需要求出每个截面在给定移动荷载作用下内力的最大值和最小值。在给定移动荷载作用下，将各截面内力Z的最大值Zmax连成一条曲线，同样将最小值Zmin也连成一条曲线，这样的图形称为内力包络图。44作简支梁内力包络图的步骤为：

下面以求下图所示简支梁第三等分截面剪力的最大值和最小值为例进行说明。1）将梁分成若干等分，取等分截面作为求Zmax和Zmin的截面。2）作各等分截面内力Z的影响线。3）利用上一节的方法求各等分截面的Zmax和Zmin，然后把各截面的Zmax或Zmin分别连成曲线，即得简支梁的内力包络图。12m3.5m3.5m82kN82kN82kN82kN1.5m45求剪力最大值(FQ)max=82(0.7+0.575+0.283-0.0083)=127.07kN第三等分截面剪力影响线3.5m3.5m82kN82kN82kN82kN3.4m1.5m0.1m8.4m3.6m0.70.5750.30.2830.008346(FQ)min=-82(0.3+0.0083)=-25.28kN求剪力最小值3.5m82kN82kN0.1m82kN8.4m3.6m0.70.5750.30.2830.0083各截面的剪力最大值和最小值均可求出，然后将所有截面的最大值顶点连线，将所有截面的最小值顶点连线，便得到该梁的剪力包络图。47简支梁剪力包络图(kN)17915394.31272126541.725.316.48.2017915394.31272126541.725.316.48.205.625m6.375m215366465559574578215366465559578同样可以得到简支梁弯矩包络图如下图示。48二、简支梁的绝对最大弯矩简支梁弯矩包络图中的最大竖标，即梁各截面最大弯矩中的最大值，称为简支梁的绝对最大弯矩。与求指定截面的最不利荷载位置不同的是，绝对最大弯矩产生的截面位置并不知道。但可以肯定，绝对最大弯矩产生的截面靠近跨中截面。下面讨论如何求简支梁绝对最大弯矩。设移动荷载的合力FR在FPcr的右侧：FP1FPcrFRFPnlACx…BaDFPiFPn-1FRAbi49考虑AD段平衡：b1FP1FPcrAx…DFPiFRAb1biMD

上式中Mcr为D截面左侧荷载对截面D力矩的代数和。令得到上式表明，当MD取得极值时，FPcr与FR之间的距离a被梁中点平分。50

荷载FPcr可以有不同的选择，实际上因为a较小，截面D靠近跨中截面C，故FPcr通常是使跨中截面的弯矩取得极大值的临界荷载。确定FPcr以后，按照FPcr与FR之间的距离a被梁中点平分的原则确定移动荷载在梁上的位置，进而求出弯矩的极值。FP1FPcrFRFPnl/2l/2ACx…Ba/2a/2DFPiFPn-1FRAbi51或

当FR在FPcr左侧时，在公式中，a<0。现说明如下：52如右图示梁：考虑AD段平衡FP1FPcrFRFPnl/2l/2ADx…Ba/2a/2CFPiFPn-1FRAb1biFP1FPcrAx…DFPiFRAb1biMD53令得到如果只使用这一公式，则式中必有a<0。或54小结：1）确定FPcr，可选使跨中截面弯矩取得极大值的集中力为FPcr。2）求移动荷载的合力FR，并根据FR与FPcr之间的距离被梁中点平分的原则确定移动荷载在梁上的位置。有时可能有几个集中力移出或移到梁上，此时应重新计算合力确定移动荷载的位置。3）利用公式求(MD)max。

需要指出，上式求得的只是一个极大值，并不一定就是绝对最大弯矩。应求出可能的几个极大值，从中求得绝对最大弯矩。55例求图示简支梁的绝对最大弯矩，已知FP1=FP2=FP3=FP4=280kN。解：合力为荷载位置如图示，FR在FPcr的右侧。选FP2为FPcr。FP1FP3FRFP46m6mADB0.36m0.36mCFP2=FPcr0.84m4.8m4.8m0.12m0.72m56

当FP2在梁中点以右时，移动荷载在梁上的位置如图示。此时FP4已移到梁外。合力合力相对位置：FP1FP3FRFP46m6mADB0.56m0.56mCFP2=FPcr1.76m4.8m4.0m0.8m1.44md为FR至FP2的距离。57绝对最大弯矩为：此时FR在FPcr的左侧，故取58§11-13超静定结构的影响线

超静定力就是超静定结构的内力和支座反力。作超静定力的影响线有两种方法：1）根据平衡条件和变形协调条件用力法、位移法或力矩分配法等直接求出超静定力的影响系数。此法与静定力影响线的静力法相应。2）利用超静定力的影响线与挠度图之间的比拟关系作影响线，此法与静定力影响线的机动法相应。59

如下图示连续梁，讨论用第二种方法求某量值Z1=FRC的影响线。ABCD原结构xFP

=1力法基本体系ABDxFP

=1Z1=FRCC1）撤除与FRC相应的约束，代之以未知力Z1=FRC。力法基本体系为n-1=2次超静定结构。602）建立力法方程。δ11——基本体系由Z1=1引起的在Z1方向的位移。δ1P——基本体系由FP=1引起的在Z1方向的位移。见图b)。见图a)。ABDxFP

=1δ1PCa)b)ABDδ11CδP1Z1=FRC

=1δP1图61于是力法方程成为：

上式中δP1是x的函数，是Z1=1引起的在移动荷载FP=1方向上的位移。与FP=1同向为正，反向为负，见图b)。δ11为常数。3)

由位移互等定理可得：。ABDδ11CδP1Z1=FRC

=1δP1图ABDZ1=FRC

影响线b)c)62则。上式中，令，

由上式可见，Z1影响线与δP1(x)曲线形状相同，只是正负号相反。Z1影响线见上页图c)。小结：1）撤除与Z1相应的约束，使原结构成为n-1次超静定结构。2）使体系产生沿Z1的正方向产生位移，作结构在Z1=