信号与系统 第6章 离散系统的Z域分析

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信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一.时域分析法

1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域分析法，近代时域分析法，卷积积分。

2.离散时间信号与系统：序列的变换与运算，卷积和，差分方程的求解。引言：2二.变换域分析法

1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域分析。

2.离散时间信号与系统：

Z变换，DFT(FFT)。

Z变换可将差分方程转化为代数方程。3第一节、Z变换单边Z变换双边Z变换一、Z变换的定义:41由连续信号、离散信号对照导出Z变换:二、Z变换的导出215抽样信号单边拉氏变换2由采样信号的拉氏变换引出Z变换6令,其中z为一个复变量则广义上讲T=1单边Z变换双边Z变换推广：73对z变换式的理解-<n-1，z的正幂数级构成左边序列0n

<，z的负幂数级构成右边序列8§8.3z变换的收敛域1．收敛域的定义收敛的所有z值之集合为收敛域。对于任意给定的序列x(n)，能使ROC:Regionofconvergence不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的z变换，故在确定z变换时，必须指明收敛域。三、收敛域92.级数收敛的判别方法10例：11几类序列的收敛域（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列12（2）右边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列收敛半径圆外为收敛域13（3）左边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列收敛半径圆内为收敛域，若则不包括z=0点14（4）双边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列圆内收敛圆外收敛有环状收敛域没有收敛域15例1：右边序列16例2：左边序列收敛半径圆内为收敛域，若则不包括z=0点17例3：有限长序列收敛域为除了0和的整个平面8个零点7阶极点一阶极点18例4：双边序列19四、典型序列的Z变换单位脉冲序列单位阶跃序列斜变序列指数序列正弦余弦序列20单位脉冲序列收敛域：相当n1=n2=0时的有限长序列。其收敛域应包括即 充满整个Z平面。21单位阶跃序列n0)(n1123LROC:22斜变序列的z变换（用间接方法求）已知

两边同时乘以z-1

，可得23n是离散变量，所以对n没有微积分运算；z是连续变量，所以对z有微积分运算；24指数序列1．右边序列注意：z变换相同时，左边序列的定义。25正弦与余弦序列

单边余弦序列

同理26自己验证：27第二节、Z反变换

一.定义：已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。记作28二.Z反变换的导出令29正：反：0cC为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.30三.求Z反变换的方法

直接计算围线积分比较麻烦，一般不采用此法求z反变换，求解逆z变换的常用方法有：l

留数法l

部分分式法l

幂级数311.留数法<1>.留数定理：返回§2.2用留数求围线积分一阶极点：S阶极点：32例解：必然是因果序列，右边序列3334二、部分分式法35例右边序列1、1/41/31/3362、右边序列左边序列1/41/31/31/4373、左边序列左边序列1/41/31/438可以直接看出序列x(n)是的系数，三、幂级数展开法(长除法）如果z变换X(z)能表示成幂级数的形式，则39右边序列的逆z变换左边序列的逆z变换-<n-1，z的正幂数级构成左边序列0n

<，z的负幂数级构成右边序列40例41例42例：求，的逆变换x(n)解：由ROC看出x(n)应为因果序列

利用幂级数公式

立即可看出

43第三节、Z变换的基本性质一、线性性质有任意常数a，b则：44已知并且例：45二、移序性质证：4647证：48证：49X(n)若是双边序列，原序列长度不变，只影响在时间轴上的位置。不影响收敛域。502．单边z变换的位移性质nO()nnx)(4n)()2(nnx-4n)()2(nnx+411-O11-O11-若x(n)为双边序列，X(n)若是双边序列，左移或右移过n=0处。51例线性移位例：52三、z域微分对F(z)关于z求微分并乘上-z共m次或对F(z)关于z-1求微分并乘上z-1共m次.例：解1：53四、z域积分解2：54解：移位积分例：55五、z域尺度变换例：解：56六、时域卷积定理57证明：移位性质58()zjImab0()zRe收敛域解：例：59七、初值、终值定理初值定理证明：对因果序列有：?60终值定理证明：61终值存在的条件

(1)F(z)的极点位于单位圆内，收敛半径小于1，有终值;例：

，终值为0(2)若极点位于单位圆上，只能位于，并且是一阶极点.例：，终值为162三．零输入响应+零状态响应1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次C由起始状态定（相当于0-的条件）齐次解：2.零状态响应：起始状态为0，即求解方法经典法：齐次解+特解卷积法第四节、Z域分析求解差分方程回顾:63例664例765一、应用z变换求解差分方程应用z变换求解差分方程，是根据z变换的线性性质和移位性质，把差分方程转化为代数方程。

6667z变换求解差分方程

设离散系统线性时不变系统的激励为f(n)，响应为y(n)，则描述n阶系统的后向差分方程可写为：68零输入响应零状态响应全响应+=69例1系统初始态全为0，零输入响应为0，系统全响应即零状态响应。707172差分方程零输入响应一般在时域求解，变换域复杂，零状态响应用变换域简单，故多在变换域进行求解。73例2用经典法求零输入响应：74用变换域法求零状态响应：75二、系统函数H(z)

设离散系统线性时不变系统的激励为f(n)，响应为y(n)，则描述n阶系统的后向差分方程可写为：系统函数H(z)定义为激励在n=0时进入，从而系统的响应（）与激励的比值。式176由于系统的零状态响应可表示为：通过式1、式2，可知系统函数即单位脉冲响应的z变换。式277例3787980三、系统z域框图时域框图z域框图加减法器81aaaa时域框图z域框图乘法器延时器DZ-1DZ-182例483D-2DD3D-1画时域框图：z域框图只需对时域框图延时器替换，相应时域序列变为相应z变换。84四、s域和z域的关系连续信号的拉氏变换离散信号的拉氏变换即z变换s域和z域的关系：s域和w域的关系：85为了说明s域和z域联系简单化，我们令r=1，即对z域以z=1（单位圆为界进行说明）86>0zS11Sz<0>0(s的右半平面)对应于R=>1(z平面单位圆外)a:<0(s的左半平面)对应于R=<1(z平面单位圆内)c:b:=0(s平面虚轴)对应于R==1(z平面单位圆上)1Sz=0s域和z域的关系Im(z)Re(z)Im(z)Re(z)Im(z)Re(z)a:b:c:87=0(s平面的实轴)对应于eT(z平面的正实轴)=0,=0(s平面的原点)对应于点z=1()d：e：Sz=0Re(z)Im(z)1Sz=0,=0Re(z)Im(z)d:e:88五、离散系统的稳定性和因果性对于一个LSI系统来说，其稳定的充要条件是：我们来分析H(z)的收敛域满足什么条件时，LSI系统稳定。H(z)收敛的条件是：

可以看出，若H(z)的收敛域包括|z|=1，则可以从②式推出①式，此时，系统稳定。①②89结论①：如果LSI系统函数H(z)的收敛域包括单位圆|z|=1，则

该系统稳定。

再来分析因果系统：

因果系统的收敛域形式是：|z|>Rx-结论②：一个因果稳定系统的系统函数H(z)的收敛域一定是：

r<|z|≤其中，0<r<1

即：H(z)的全部极点必须在单位圆内。Re[z]jIm[z]1r90稳定因果系统非稳定非因果系统

稳定非因果系统91例59293解(2)：D-2D0.7画时域