信号与系统 第5章 离散时间系统的时域分析

1第七章离散系统的时域分析连续系统微分方程卷积积分拉氏变换连续傅立叶变换离散系统差分方程卷积和Z变换离散傅立叶变换Discretesystems离散时间信号与系统22．离散时间系统与连续时间系统的对比离散连续数学模型差分方程微分方程时域求解方法卷积和卷积变换域Z变换、傅氏、离散正交变换系统函数傅氏、拉氏、系统函数精度高、可靠性好、重量体积小、便于大规模集成无此优点一维、二维系统注重一维利用可编程元件技术、存储器设备灵活通用无此优点3一、离散时间信号的定义与表示方法①定义：只在某些离散瞬时给出函数值，时间上不连续的序列，离散时间间隔是均匀的：T为时间间隔，nT称为时间宗量，②一般记为{}离散时间信号------序列4离散信号的表示方法-3-2-101234*线段长短代表各序列值大小*横轴只在n=整数时才有意义5序列的三种形式61．翻转：已知序列x(n)、y(n)

则：2．移位：二、离散时间信号的基本运算4．相乘：5．乘系数：3．相加：76．尺度变换（压缩、扩展）：注意：有时需去除某些点或补足相应的零值。压缩（每隔a-1取一点）()nxo123412323()2nxo1234132扩展（每两点插a-1零点）()nxo1234132o1234132()n/2x87．差分：8．累加：()nxo1111-134…23o112-1333与连续信号微分对应与连续信号积分对应91、单位阶跃序列nO)(n111-23L三、基本离散时间信号(n-k)kO111-23LnL102、单位冲激序列1112利用单位冲激序列可表示任意序列例：133、矩形序列144、斜变序列155、指数序列16x(n)=Asin(nω0+φ) 式中:A为幅度;φ为起始相位;ω0为数字域的频率，它反映了序列变化的速率。图:正弦序列(ω0=0.1π)ω0=0.1π时,x(n)序列如图所示，该序列值每20个重复一次循环。6、正弦序列17

序列值为复数的序列称为复指数序列。复指数序列的每个值具有实部和虚部两部分。复指数序列是最常用的一种复序列：或式中，ω0是复正弦的数字域频率。7、复指数序列18对表示，序列的实部、虚部分别为如果用极坐标表示，则因此有：198、序列的周期性如果对所有n存在一个最小的正整数N，满足则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。现在讨论上述正弦序列的周期性。由于则20若Nω0=2πm,当m为正整数时，则

这时的正弦序列就是周期性序列，其周期满足N=2πm/ω0（N，m必须为整数）。可分几种情况讨论如下。（1）当2π/ω0=N/m为正整数时，周期为2π/ω0，见图1-8。（2）当2π/ω0=N/m不是整数，而是一个有理数时（有理数可表示成分数），则式中，m,N为互素的整数，则为最小正整数，序列的周期为N。21（3）当2π/ω0是无理数时，则任何m皆不能使N取正整数。这时，正弦序列不是周期性的。同样，指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的情况相同。22§7.３

离散时间系统数学模型离散线性时不变系统离散系统的数学模型从常系数微分方程得到差分方程已知网络结构建立离散系统数学模型1、离散时间系统23x(n)离散时间系统y(n)24一、离散线性时不变系统线性：1、叠加性：

2、齐次性：时不变性25连续系统的数学模型

基本运算：各阶导数，系数乘，相加二、离散系统的数学模型

26输入是离散序列及其时移函数输出是离散序列及其时移函数系统模型是输入输出的线性组合

系数乘，相加，延时单元阶数等于未知序列变量序号的最高与最低值之差常系数线性差分方程离散系统的数学模型

27延时加法器乘法器离散系统的方框图表示

28例1：后向差分方程多用于因果系统例2：前向差分方程多用于状态方程2930三、从常系数微分方程得到差分方程在连续和离散之间作某种近似利用计算机来求解微分方程就是根据这一原理来实现的31取近似：32

V(n)…………RRRRRRRRV(0)V(1)V(2)V(n-2)V(n-1)KCL33四、已知网络结构建立离散系统数学模型网络结构图：3435)()2()1()(21nxnyanyany+----=36一般情况：＝1374、变换域法（Z变换法）逐次代入求解，概念清楚，比较简便，适用于计算机，缺点是不能得出通式解答。

1、迭代法

2、时域经典法3、全响应＝零输入响应＋零状态响应零输入响应求解与齐次通解方法相同零状态响应求解利用卷积和法求解，十分重要求解过程比较麻烦，不宜采用。

求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种全响应＝自由响应

＋强迫响应§7.4常系数差分方程的求解38一、迭代法当差分方程阶次较低时常用此法例1此法较简单，只能得到数值解，不易直接得到闭合形式（公式）解答。39例240二、时域经典法差分方程特征根：有N个特征根齐次解：非重根时的齐次解L次重根时的齐次解共轭根时的齐次解41例242特解：自由项为的多项式

则特解为自由项含有且不是齐次根，则特解自由项含有且是单次齐次根，

则特解自由项含有且是K次重齐次根 则特解43特解：自由项为正弦或余弦表达式

则特解为自由项中的k是齐次解a的m次重根时，则特解是44将选定的特解形式代入差分方程求出待定系数，于是得到完全解的闭式：完全解=齐次解+特解45例346例4自由响应或固有响应强迫响应47例548三．零输入响应+零状态响应1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次C由起始状态定（相当于0-的条件）齐次解：2.零状态响应：起始状态为0，即求解方法经典法：齐次解+特解卷积法49例650例751求系统的零输入响应。例8解:52求起始状态（0-状态）

题目中y(0)=y(1)=0,是激励加上以后的,不能说明状态为0,需迭代求出y(-1)=,y(-2)=。53注意在求零输入响应时，要排除输入的影响——找出输入之前的初始状态。54零状态响应求解:利用卷积和法求解.一、单位脉冲响应

单位脉冲响应是激励为单位脉冲序列δ(k)时系统的零状态响应，称为单位脉冲响应，记为h(k)。

h(k)=T[{0},δ(k)]

例1已知某系统的差分方程为：

y(k)-4y(k-1)+3y(k-2)=2kK0初始条件为:y(-1)=-1、y(-2)=1.求系统单位脉冲响应h(k)。55解：根据h(k)的定义有

h(k)–4h(k–1)+3h(k–2)=δ(k)（1）

h(–1)=h(–2)=…=h(-)=0（1）迭代法：

递推求初始值h(0)和h(1)、h(2)等。8h(k)=δ(k)+4h(k–1)-3h(k–2)h(0)=δ(0)+4h(–1)-3h(–2)=1h(1)=δ(1)+4h(0)-3h(–1)=4h(2)=δ(2)+4h(1)-3h(0)=13

….方程（1）移项写为56(2)经典法

1）先求初值：k=0h(0)=δ(0)+4h(–1)-3h(–2)=12）对于k>0，h(k)满足齐次方程

h(k)–4h(k–1)+3h(k–2)=0

其特征方程为：

r2-4r+3=0

特征根：

r1=1,r2=3

齐次解：

h(k)=C1(1)k+C2(3)k

，k>0

代入初始值：h(0)=C1+C2=1,h(-1)=C1+C23-1=0

解得：

C1=-1/2,C2=3/2单位脉冲响应：h(k)=(-1/2)+(3/2)(3)k,k≥0

或写为：h(k)=[(-1/2)+(3/2)(3)k]ε(k)57

例2：若方程为：

y(k)–5y(k–1)+6y(k–2)=f(k)–3f(k–2)，k≥0

求单位脉冲响应h(k)解：h(k)满足

h(k)–5h(k–1)+6h(k–2)=δ(k)–δ(k–2)1）令只有δ(k)作用时，系统的单位脉冲响应h1(k),它满足：

h1(k)–5h1(k–1)+6h1(k–2)=δ(k)

其特征方程为：

r2-5r+6=0

特征根：

r1=2,r2=3

齐次解：

h(k)=C12k+C23k

，k>0582)令只有3δ(k-2)作用时，根据线性时不变性，

h2(k)=3h1(k-2)=3（-22k-2+33k-2)ε(k-2)3)有δ(k)-3δ(k-2)作用时

h

(k)=h1(k)+h2(k)=[-22k+33k]ε(k)-3（-22k-2+33k-2)ε(k-2)代入初始值：h1(-1)=C12-1+C23-1=0h1(0)=C1+C2=δ(0)+5h1(0–1)-6h1(0–2)=1,

解得：

C1=-2,C2=3单位脉冲响应：h1(k)=[-22k+33k]ε(k)59二、单位阶跃响应所以：由于：或：60三、任意序列零状态响应即：利用单位冲激序列可表示任意序列1.序列的时域分解………012nk-1f(k)f(-1)f(0)f(1)f(2)f(n)任意离散序列f(k)可表示为

f(k)=…+f(-1)δ(k+1)+f(0)δ(k)+f(1)δ(k-1)+f(2)δ(k-2)+…+f(n)δ(k–n)+…612.任意序列作用下的零状态响应yzs(k)f(k)δ(k)

h(k)由时不变性：δ(k

-n)h(k-n)f(n)δ(k-n)由齐次性：f(n)h(k-n)由叠加性：‖f(k)‖yzs(k)卷积和62结论：一个LSI系统可以用单位脉冲响应h(n)来表征，任意输入的系统输出（零状态响应）等于输入序列和该单位脉冲响应h(n)的卷积和。LSIh(n)x(n)y(n)63卷积和的定义已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义:为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为

f(k)=f1(k)*f2(k)注意：求和是在虚设的变量n下进行的，n为求和变量，k为参变量。结果仍为k的函数。卷积和64例：f(k)=akε(k),h(k)=bkε(k)，求它两卷积和。解：yf(k)=f(k)*h(k)当n<0,ε(n)=0；当n>k时，ε(k-n)=0ε(k)*ε(k)=(k+1)ε(k)65二、卷积的图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元：k换为n→得f1(n)，f2(n)（2）反转平移：由f2(n)反转→f2(–n)右移k→f2(k–n)（3）乘积：f1(n)f2(k–n)（4）求和：n从–∞到∞对乘积项求和。注意：k为参变量。下面举例说明。66例：f1(k)、f2(k)如图所示，已知f(k)=f1(k)*f2(k)，求卷积。解：（1）换元（2）f2(n反转得f2(–n)（3）f2(–n)右移k得f2(k–n)（4）f1(n)乘f2(k–n)（5）求和，得f(k)=?f2(n)0123-2-1n012n-1f1(

n)41233-2123123f2(-n)67012n-1f1(n)41233-2123当k<0,f2(k-n)012n-1f1(n)41233-2123f2(-n)当k=0,012n-1f1(n)41233-2123f2(1-n)当k=1,012n-1f1(n)41233-2123f2(2-n)当k=2,68012n-1f1(n)41233-2123f2(3-n)当k=3,234n1f1(n)412350123f2(4-n)当k=4,当k=5,当k

6,234n1f1(n)12350123f2(5-n)234n1f1(n)12350123f2(6-n)64469234n1f

(k)271350150….4619…..0-1f1(k)f2(k)f

(k)70结论:

当x(n)的非零区间为[N1,N2]，非零长度L1=N2-N1+1，

h(n)的非零区间为[M1,M2]时，非零长度L2=M2-M1+1，系统的输出y(n)=x(n)*h(n)的非零区间为[N1+M1,N2+M2]，非零长度为L=（N2+M2）-（N1+M1）+1=L1+L2-171三、卷积的列表法求解当k=0,当k=1,当k=2,以此类推：f(3)、f(4)……72归纳：f1(0)f2(0)f1(1)f1(2)f1(3)…f2(1)f2(2)f2(3)…f1(0)f2(0)f1(1)f2(0)f1(0)f2(3)f1(0)f2(2)f1(0)f2(1)f1(1)f2(1)f1(1)f2(2)f1(1)f2(3)f1(2)f2(0)f1(2)f2(1)f1(2)f2(2)f1(2)f2(3)f1(3)f2(0)73例1f1(k)={1，3，2，4，0…}

f2(k)={2，1，3,0…}

求f(k)=f1(k)*f2(k)↑k=0↑k=0…f2(0)2f2(1)1f2(2)3f2(3)0…f1(0)12130f1(1)36390f1(2)24260f1(3)484120f1(4)00000f(k)={2，7，10，19，10，12}

↑k=074四、不进位乘法求卷积例1f1(k)={1，3，2，4}

f2(k)={2，1，3}

1，3，2，42，1，3解×————————3，9，6，121，3，2，42，6，4，8+————————————2，7，10，19，10，12求f(k)=f1(k)*f2(k)与列表法，本质是一样的。↑k=0↑k=0f(k)={2，7，10，19，10，12}

↑k=075例2f1(k)={0，2，1，5，0}↑k=1f2(k)={0，3，4，0，6，0}↑k=03，4，0，62，1，5解×————————15，20，0，303，4，0，66，8，0，12+————————————6，11，19，32，6，30求f(k)=f1(k)*f2(k)f(k)={0，6，11，19，32，6，30}↑k=176四、卷积和的性质1.满足乘法的三律：(1)交换律,(2)分配律,(3)结合律.2.f(k)*δ(k)=f(k)，f(k)*δ(k–k0)=f(k–k0)3.f(k)*ε(k)=f1(k–k1)*f2(k–k2)=f1(k–k1–k2)*f2(k)=f1(k)*f2(k–k1–k2)=f

(k–k1–k2)5.[f1(k)*f2(k)]=f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2(k)求卷积和是本章的重点。77例1

如图复合系统由三个子系统组成，其中