非线性振动与线性振动对比

机械振动

线性与非线性的比较机械振动的形成——惯性+恢复力惯性：维持系统的运动状态恢复力：维持系统的平衡状态，恒指向平衡位置线性与非线性系统遵循同样的物理原理运动微分方程的建立线性系统具有简单的‘特征’简谐运动特征方程特征根—纯虚根上述方程有非零解，要求系数矩阵的行列式为零满足上述方程的特征向量振型：第一阶振型第二阶振型方程的解线性系统具有‘特征’例：已知质量m,杆长l,求系统运动方程系统的动能和势能非线性振动仍然可以用周期、振幅、相位等来刻画,方法?非线性运动形式通常无法用初等函数表示怎样判断其路径？摆动周期的变化？定性分析摆动周期的变化线性情况相点沿相轨迹匀速圆周运动量纲看物理概念无量纲概括一般规律例：已知质量m,杆长l,求系统运动方程解：系统的动能和势能线性化线性与非线性的联系例：当基座周期运动时，求系统运动方程解：系统的动能和势能线性化？周期系数非线性ThemotionequationWherePistheelasticpotentialenergy-apiecewiselydifferentiable分段线性ThreeElementsAmplitude,FrequencyandPhase(difference)VibratingSystemDrivingSystemPhasedifferenceandvibrationenergyStiffnessincreasePhasemodulationstiffnessincrease:Amplitude-frequencyPhasemodulationstiffnessincrease:Amplitude-frequencyPhasemodulationstiffnessincrease:Phase-frequencyPhasemodulationstiffnessincrease:Phase-frequencyMechanismonstiffnessincreasePhasedifference0-π/2MechanismonstiffnessincreasePhasedifference0-π/2Phasemodulation/stiffnessincreasePhasemodulationstiffnessincrease

非线性振动的近似解析方法

定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置）附近的运动稳定性，它不需要求解系统的动力学微分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程，不能获得系统的频率、振幅等基本参数。

只有极少的非线性系统能获得精确的解析解，因此，对大多非线性系统只能采用近似解析的方法。近似解析方法主要用于弱非线性系统。

非线性振动的近似解析方法谐波平衡法

谐波平衡法的基本思想是设振动系统微分方程的解能用系数未知的傅立叶级数表示，然后将外激励展成同样周期的傅立叶级数，代入方程。由动力学方程两端同阶谐波的系数相等，得到未知系数的线性代数方程组，解方程组，得到振动系统微分方程傅立叶级数形式的解。

讨论非线性系统的在外激励下的受迫振动：设方程的解可以用周期为T的傅立叶级数表示

其中,将外激励力F(t)展开为同样周期的傅立叶级数：

将级数形式的解及其各阶导数和级数形式的激励力一起代入动力学方程中，整理各阶谐波的系数，令相同谐波分量的系数相等，就可以得到级数形式解中各个待定系数a0、a1n和a2n为未知数的2n+1阶线性代数方程组：

解线性代数方程组，得到方程级数解的系数。

非线性振动的近似解析方法摄动法

讨论带小参数的单自由度非自治系统：其中，e为与变量x，t无关的常数。当e充分小时，系统为弱非线性系统，e称作小参数。当e

=0

时，上述系统退化为一个派生系统

设派生系统的周期解为x0

(t)

，当观测到原系统也存在周期解时，可以在派生系统周期解的基础上加以修正构成原系统的周期解x

(t，e)

，并展开为e的幂级数

非线性振动的近似解析方法

将原系统周期解的表达式代入原方程两端，并将f(x,)在基本解(x0,)的领域内展开成泰勒级数:

非线性振动的近似解析方法

按e幂次整理方程，由于方程对e的任意值均成立，并要求方程两边e的同次幂的系数相等，因此可以导出方程各阶近似解的线性微分方程：

由方程的第一式解出派生系统的解，依次代入下一式求出各阶近似解，就可得到原系统的解。这种将弱非线性系统的解按小参数的幂次展开，以求渐近解的方法称为正规摄动法或直接展开法。

非线性振动的近似解析方法

用直接展开法求解杜芬(Duffing)方程给定初始条件将方程右端直接展开为级数的形式代入方程

非线性振动的近似解析方法按同次幂相等的条件得到

非线性振动的近似解析方法由式获得基本解为将基本解代入得解关于x1的线性微分方程得

非线性振动的近似解析方法由可以写出精确到0（e）的一阶渐近解为：

可以看出方程的一阶渐近解中含有与时间t成正比的项tsint，称为永年项。而事实上，例题中系统为保守系统，方程的解应该是有界的。因此，通过正规摄动法或直接展开法得到的响应只在时间t<1的量级中有效，称为非一致有效解。为了获得系统的一致有效解，发展了各种渐近解法，构成了摄动法的各种分支，统称为奇异摄动。如尺度法、平均法、KBM法等，可从参考书中查阅。

非线性振动的近似解析方法讨论受简谐激励作用的准谐波系统，其微分方程为：方程为无阻尼系统的杜芬方程，其中e<<1。

当方程有周期解时w=W。通过摄动法，并利用周期性条件，获得方程的解为：

非线性振动的近似解析方法

设w0为相关线性系统的固有圆频率，则得到A0与w的关系：对不同的eb值，|A0|随激励频率变化的规律如下图所示。可以看出其特性与线性系统有很大的差别。质量－软刚度系统质量－硬刚度系统

非线性振动的近似解析方法

数值分析方法就是对非线性系统进行数值积分，在时域内把响应的时间历程离散化，对每一时间步长内可按线性系统来进行计算，并对每一步的结果进行修正。这种方法又称为逐步积分法或直接积分法。

数值分析方法得到广泛应用的原因

一个原因是因为非线性分析理论发展的不完善性，对很多问题无法进行理论上的分析；另一个原因是数值分析理论的发展和计算工具性能的提高使得数值分析成为可能。

非线性振动的近似解析方法常用的数值分析方法

非线性振动的数值方法是把非线性方程化为对每一时间步长Dt内的线性方程来求解，常用的数值分析方法有纽马克（Newmark）法、威尔逊（Wilson）

法、Runge－Kutta法等。纽马克（Newmark）法梯形法

最早由欧拉提出，其基本思想是将方程的解，即位移响应展成泰勒级数，并只保留一阶导数。即关于

t＋Dt瞬时的速度和位移均可由前一步t瞬时的速度和位移来表示：或非线性振动的数值分析方法

在有了t瞬时的位移和速度后，由满足t瞬时的微分方程得到

t瞬时的加速度：由以下两式得到

t＋Dt瞬时的速度和位移：

依此类推，给定初值和后，就可以获得任何

瞬时系统的运动速度和位移。位移截断误差为0(Dt2

)。非线性振动的数值分析方法

欧拉法的几何意义是用折线代替曲线，计算精度较低，一般只用于起步或与其它方法配合使用。

高斯对欧拉法进行了改进，用t瞬时和

t＋Dt瞬时的平均速度代替欧拉法中t瞬时的速度，即：

这里用导数的平均代替t瞬时的导数值，称为梯形法，它采用

t＋Dt瞬时的微分方程，因此，为隐式格式。

xn+1的表达式也可以写成如下的形式：

用平均加速度代替t瞬时的导数值是纽马克法的一个特例。非线性振动的数值分析方法

纽马克法的积分格式：

纽马克法来自于梯形法，它按照泰勒级数展开式，保留到二阶导数加速度项，并引入两个参数g和b对截去的高阶小量作修正。

通常，取g<1/2会产生负阻尼，即积分计算中导致振幅的增长，因此，最常用的参数为g＝1/2，而变动b。这种方法又称为纽马克b法。当g＝1/2，b＝1/2时方法是无条件稳定的。非线性振动的数值分析方法

非线性振动的数值分析方法

纽马克法每步积分满足t＋Dt时的末端方程：由积分格式解出末端速度与加速度矢量得：代入末端方程，得：其中：从第一式可解出t＋Dt时的位移。非线性振动的数值分析方法

威尔逊（Wilson）法以线性加速度法为基础，引入参数，在时域范围内，假设加速度按线性规律变化，在数学上先得到瞬时的一组方程，称为预报方程，然后再求出瞬时的位移、速度和加速度。

设t为自t开始的时间变量，适用于，根据线性加速度的假设可得在此时间域内的加速度为积分后得非线性振动的数值分析方法

当t=qDt时，可得到t+qDt

瞬时的速度和位移解出得到的表达式：非线性振动的数值分析方法

取t+qDt

瞬时的方程

由于加速度按线性变化，因此，外力fn+q也可以近似取为线性变化：综合以上各式，便可以得到求解位移xn+q的方程式：：其中，非线性振动的数值分析方法

有了t+qDt

瞬时的位移可依次求出t+Dt

瞬时的加速度、速度和位移：当时，方法无条件稳定。

Runge－Kutta法对常微分方程进行数值求解的有力工具，它可以有效地解决常微分方程的初值问题对于一阶常微分方程，其初值问题一般表达为：非线性振动的数值分析方法

RungeKutta法的公式：

非线性振动的数值分析方法

非线性振动的分叉与混沌简介

分叉与混沌是非线性系统最有趣的现象，也是目前研究的一个热点。下面简单介绍一下分叉和混沌的简单概念和示例

。

分叉问题起源于力学失稳现象的研究。若任意小的参数变化会使结构不稳定的动力学系统的相轨迹发生突然变化，则称这种变化为分叉。分叉与混沌的基本概念

研究一个含参数的动力学系统：

其中，x为状态变量，m

为分叉参数或称控制变量。当参数m连续变化时，若系统的相迹结构在处发生突然变化，则称系统发生分叉。平衡点和极限环随参数m

变化的图形称为分叉图。

Hopf分叉研究一个平面动力系统:

该系统相轨迹随参数m

的变化而变化的情形如下图所示：

从图上可以清晰地看出，当参数m由负数经过零变化到正数时，从系统平衡点“冒”出一个极限环，这就是所谓的Hopf分叉。

分叉与混沌的基本概念

混沌振动

混沌振动是一种由确定性系统产生对于初始条件极为敏感而具有随机性和长期预测不可能性的往复非周期运动。

考虑一个由非线性弹簧和线性阻尼组成的弹簧质量系统在简谐激励作用下的受迫振动。弹性回复力与变形的关系满足：

则系统的运动方程为分叉与混沌的基本概念

设上述系统的参数为：取两组差别很小的初值：

两个初值下的时间历程分叉与混沌的基本概念

从图中可以看到，随着时间的变化，开始很接近的两个信号越来越分开，这就是系统对初值的敏感性，这也是混沌振动的一个基本特征，这也使得混沌振动具有长期不可预测性。

仅有初值敏感性还不能称为混沌振动，混沌振动还必须是往复的非周期性运动，这是非线性系统的又一个特征。

分叉与混沌的基本概念

系统在相平面上的两条轨线图混沌运动的往复非周期性

混沌振动的往复非周期性可以用相平面图的几何方法表示出来。分叉与混沌的基本概念

Poincare映射

－刻划混沌的一个工具

当周期运动的周期很长时，仅根据相平面图难以区分周期振动和混沌振动，而Poincare映射的几何方法能更好地刻划混沌振动的往复非周期性。Poincare映射就是按系统激励的周期采样，将相轨线离散化为相点，用较少的数据获得较多信息。不同的Poincare映射图形对应着不同的运动形态。

Poincare映射为孤立点<=>系统运动是周期运动；Poincare映射为封闭曲线<=>系统运动是拟周期运动；Poincare映射为分形<=>系统运动是混沌运动。分叉与混沌的基本概念

系统的Poincare映射图具有分形结构的Poincare映射图分叉与混沌的基本概念

混沌，指一种貌似无规则的运动，但支配它的规律却是用确定型方程来描述的。上面提到的庞加莱在总结天体力学中的问题时，已经对这种现象有了认识。到20世纪50年代，有些物理学家(如玻恩(M.Born))也已明确知道经典力学中会有长期动态的不可预测性。但混沌现象和理论开始受到重视，一般认为始于60年代两件事。一是罗仑兹(E.Lorenz)在天气预报方程的研究中发现，尽管描述用的方程是确定性的，天气长期动态却是不可预测的。另一个是，几位数学家证明了有关经典力学动态的一个定理，即现在按他们的姓称谓的卡姆(KAM)理论。

这两件事也分别代表混沌理论两类对象和两种方法：罗仑兹的对象是耗散系统(这类系统和周围环境有联系，在自然和工程中广泛存在)，而卡姆的对象是保守系统(当作是孤立的、封闭的，在天体研究和统计物理中常见)。罗仑兹依靠的是数值计算，卡姆用的是严格数学推理，这两种方法在混沌理论研究里都是必不可少的。Poincaré’sNoteonChaos“Ifweknewexactlythelawsofnatureandthesituationoftheuniverseattheinitialmoment,wecouldpredictexactlythesituationofthatsameuniverseatasucceedingmoment.Butevenifitwerethecasethatthenaturallawshadnolongeranysecretforus,wecouldstillonlyknowtheinitialsituationapproximately.Ifthatenabledustopredictthesucceedingsituationwiththesameapproximation,thatisallwerequire,andweshouldsaythatthephenomenonhadbeenpredicted,thatitisgovernedbylaws.Poincaré’sNoteonChaosButitisnotalwaysso;itmayhappenthatsmalldifferencesintheinitialconditionsproduceverygreatonesinthefinalphenomena.Asmallerrorintheformerwillproduceanenormouserrorinthelatter.Predictionbecomesimpossible,andwehavethefortuitousphenomenon.”（ina1903essay“ScienceandMethod”byPoincaré）Non-linearDynamicPhenomena•LinearEquation–Dampedlinearoscillator•NonlinearEquation–DampedDuffingoscillator–DampedpendulumNonlinearsystemsNonlineardynamicsystemscontainproductsorfunctionsofthedependentvariable.Non-linearDynamicPhenomenaLinearSystemFixednaturalfrequencyRespondsatexcitationfrequencyOnesolutionor“attractor”Non-linearSystemNaturalfrequencydependsonamplitudeMayrespondatfrequenciesotherthanexcitationfrequencyPossibilityofmultiplesolutionsor“attractors”Linear-SmallAmplitudePendulumNon-linearPhenomena–VariableNaturalFrequencyNon-linear-LargeAmplitudePendulumNon-linearPhenomena-JumpphenomenaforharmonicExcitationNon-linearPhenomena–EffectsofJumpPhenomenonSuddenchangesinamplitudeofvibrationcanoccurforsmallchangesinfrequency.Itispossibletohavemorethanonestablesolutionataparticularfrequency.TheregionE-Bisunstable.Initialconditionsdeterminewhichofthetwosolutionsisattained,e.g.alargeinitialvelocitymayjumpthesystemtotheuppersolution.Sub-harmonicmotionSuper-harmonicmotionQuasi-periodicmotionChaoticmotion(randomlike)Non-linearPhenomena-TypesofResponsetoHarmonicExcitationHarmonicInputLinearSystemNonlinearSystemHarmonicmotionExamplesofSystemsExhibitingChaos-BiologicalSystemsDescribedinitiallybyRobertMay.Humanphysiology–Brain-normalbrainactivityisthoughttobechaotic.–Heart-normalheartactivityismoreorlessperiodicbuthasvariabilitythoughttobechaotic.Fibrillation(lossofstabilityoftheheartmuscle)isthoughttobechaotic.ExamplesofSystemsExhibitingChaos-FluidSystemsWeathersystems–Modelsoftheweatherincludingconvection,viscouseffectsandtemperaturecanproducechaoticresults.FirstshownbyEdwardLorenzin1963.Longtermpredictionisimpossiblesincetheinitialstateisnotknownexactly.Turbulence–Experimentsandmodellingshowthatturbulenceinfluidsystemsisachaoticphenomenon.ExamplesofSystemsExhibitingChaos-MechanicalSystemsSystemswithclearance–Gearsystems-gearscan“rattle”againsteachotherinachaoticmanner–Rotorsystems-clearanceinbearingscaninducechaoswhichcanbeusedtodiagnosebearingfaultsTwopotentialwellsystem–Ifapendulumorthetipofacantileverbeamissetupbetweentwostrongmagnetsthependulumorcantileverwillbeattracttooneorothermagnet.Thefinalsolutionofwhichattractorisachievedischaotic.TwoPotentialWellDivergenceonPhasePlaneForcedTwoPotentialWellDivergenceonPhasePlanePoincareMapRepresentationSampledDataPoincareMapExamplesofSystemsExhibitingChaos–LogicMapx-Rotationoftheeddyy-Horizontaltemperaturedistributionz-Verticaltemperatureprofilea=10,b=28,c=8/3ChaosintheLorenz’sEquationsAnAtmosphericModelDivergenceofCloseSolutionsLyapunovExponentDivergencebetweenclosetrajectoriesismeasuredbytheLyapunovexponentTheLyapunovexponentiscalculatedbypropagatingtwoinitiallyclosetrajectoriesandmeasuringthedivergenceineachdimensionwithtime.OnepositiveLyapunovexponentforasystemimplieschaoticmotion.Lyapunov

ExponentsLyapunovA.M.(1857-1918)AlexanderLyapunovwasborn6June1857inYaroslavl,RussiainthefamilyofthefamousastronomerM.V.Lypunov,whoplayedagreatroleintheeducationofAlexanderandSergey.AlexanderLyapunovwasaschoolfriendofMarkovandlaterastudentofChebyshevatPhysics&MathematicsdepartmentofPetersburgUniversitywhichheenteredin1876.In1885hebrilliantlydefendshisMScdiploma“Ontheequilibriumshapeofrotatingliquids”,whichattractedtheattentionofphysicists,mathematiciansandastronomersoftheworld.ThesameyearhestartstoworkinKharkovUniversityatth